Метод контурных токов

В любой исследуемой электрической цепи всегда выделяются характерные для неё участки, которые в электротехнике используются для графического описания схемных решений. Они выделяются в соответствии с известными законами, представленными в электротехнике правилами Кирхгофа. Исходя из этих правил и руководствуясь общими законами физики, был разработан метод контурных токов, или короче МКТ.

Метод контуров

Суть метода

В соответствии с традиционным подходом к исследованию электротехнических цепей, в них выделяются так называемые «ветки» (участки, рёбра или звенья), а также независимые узлы. Для описания представленных таким образом схем принято вводить системы уравнений, основанных на законах Кирхгофа. В эти уравнения входят независимые переменные, представленные значениями протекающего через рёбра и узлы тока.

Вследствие такого представления число введённых переменных будет совпадать с общим количеством уравнений для тока, что вполне достаточно для их однозначного решения (нахождения корней).

Рассматриваемый здесь метод – это очень простое и удобное решение, позволяющее выделить в ветвях и узлах независимые параметры. При этом допускается, что по каждому контуру может протекать предполагаемый (виртуальный) ток. Если исследуемое ребро входит в состав одного контурного образования, величины протекающих по ним потоков будут совпадать. Если же это ребро относится к сразу нескольким независимым контурам, они могут быть представлены суммой, состоящей из отдельных компонентов.

Поскольку вся исследуемая схема состоит из нескольких различающихся по степени связанности контурных цепочек, то протекающий по выделенной ветке сигнал может быть представлен как сумма токов, определяемая с учётом направления протекания.

Особенности метода

Метод контурных токов предполагает принятие за искомую величину ряда токовых параметров, которые относятся к независимым друг от друга контурам. Вследствие этого число искомых неизвестных и соответствующих им уравнений становится равным набору контуров.

С его помощью протекающие в ветвях токи можно рассчитать, если воспользоваться следующим алгоритмом:

• Сначала чертится схема электрической цепочки с обязательным обозначением всех входящих в её состав элементов (включая источники напряжения);
• Затем на ней выделяются контуры с током, направление которого обозначается посредством графического овала со стрелкой;

• Для обозначения значений токов применяется специальный набор цифровых символов или их комбинаций;
• После этого, воспользовавшись одним из законов Кирхгофа, переходят к составлению системы уравнений для выделенных контуров;
• В приведённых тождествах контурные токи имеют направление, которое совпадает с линией обхода контуров, а в смежных ветвях протекают общие для них потоки. При этом падение напряжения на включенных в цепь элементах (резисторах в частности) вычисляется для каждого из компонентов тока отдельно;
• На следующем этапе расчёта предполагается нахождение решений системы уравнений и получение искомых значений токовых величин (с учётом их направлений);
• На завершающей стадии вычислений от полученных величин переходят к их реальным значениям.

Для проведения расчётов такого класса могут применяться самые различные приёмы. Один из них – онлайн расчёты, осуществляемые с помощью специальных программных средств, позволяющих использовать системные калькуляторы.

Разновидности контурного представления

Планарные графы

Для более наглядного изображения системы независимых контуров применяется достаточно простой метод представления их в виде планарных графов.

Планарные графы

На таком представлении узлы и ветви электрического тока указываются в плоскости изображения так, что пересечение ребер между собой практически невозможно. Вследствие этого она (плоскость) делится на пространства, ограниченные рядом замкнутых рёберных цепочек, представляющих собой систему из независимых контуров.

Дополнительная информация. Использовать этот метод удобнее всего при необходимости проведения ручного расчёта.

В определённых условиях его применение не представляется возможным или совсем исключается (когда электрическая схема не укладывается в границах графа, например).

Граф в виде древа

Ещё один способ представления контуров состоит в выделении в схеме отдельных древ, изображаемых в виде нескольких звеньев исследуемой цепи. Такие графы в данном случае являются односвязными, то есть не имеющими в своём составе замкнутых контуров. Для приведения их к удобному для расчёта виду используется приём постепенного исключения из рассмотрения некоторых звеньев цепи.

Этот способ имеет следующие особенности:

• Древо принимает максимальный вид, когда при восстановлении исключенного ранее звена принцип замкнутости контуров нарушается. Таким образом, этот метод предполагает постепенное исключение из схемы выделенных звеньев, осуществляемое по определенному алгоритму;
• Каждый последующий шаг состоит в выборочном исключении ещё одного звена;
• Если после очередного шага односвязность графы нарушается, исключённое ранее звено восстанавливается путём разбивки его на две части;
• Если при этом новый граф не меняет своих свойств, звено переводится в разряд исключенных из рассмотрения.

В конечном счёте, количество убранных из цепи звеньев выравнивается с числом имеющихся во всей цепочке контуров.

Пример расчета сложных цепей

Примеры решения систем уравнений могут быть представлены при условии придания исходным параметрам конкретных значений. Лишь в этом случае метод контурных токов может быть реализован во всей своей полноте.

Пример расчёта

Для решения задач такого класса составляется система уравнений, каждое из которых соответствует одному из контуров. При этом направления протекания токов выбираются по часовой стрелке, а сами они обозначаются определённым образом. Для нахождения корней этих уравнений используются известные в математике алгоритмы.

В заключение отметим, что преимущества, которые предоставляет метод контурных токов, заключаются в существенном сокращении числа используемых при вычислении уравнений. Но при его применении не исключены проблемы, связанные с невозможностью определения искомых параметров с высокой степенью точности.

Видео

https://www.youtube.com/watch?v=Us7wluKaE1E