Методы измерения АЧХ

Классическим методом измерения АЧХ является подача на вход исследуемого объекта гармонического сигнала изменяемой частоты с постоянной или известной для каждой частоты сигнала амплитудой. В этом случае измеряется отношение модулей амплитуды выходного и входного сигналов (коэффициента передачи) исследуемой системы для разных частот .

Для сокращения времени, необходимого для формирования АЧХ, изменение частоты лучше производить с помощью генератора качающейся частоты — измерительного генератора, плавно перестраивающего частоту своего сигнала с неизменной амплитудой во времени. Обычно эти генераторы изменяют плавно свою частоту генерации от низких частот до высоких, затем быстро переключают частоту на низшую, периодически повторяя процесс. Такие генераторы называют генераторами качающейся частоты (ГКЧ) или «свип-генераторами» (от англ. sweep — мести метлой).

Указанные методы последовательной смены частот не пригодны для устройств с работающей автоматической регулировкой усиления (АРУ), выравнивающей различия в значениях АЧХ на разных частотах при времени перехода от одной частоты к другой, превышающем постоянную времени срабатывания АРУ. Они также не позволяют оценить интермодуляционные искажения между действующими одновременно сигналами разных частот. Метод измерения АЧХ с помощью линейно-частотно модулированных сигналов (ЛЧМ) не позволяет осуществлять когерентное накопление во времени напряжений сигнала для частотных компонент, поэтому его точность ограничена условием достаточно больших отношений сигнал-шум. По этой причине метод не пригоден для формирования трехмерных АЧХ, характеризующих зависимость линейного динамического диапазона от частоты, поскольку при слабых отношениях сигнал-шум дает большие погрешности.

Существуют измерители АЧХ, основанные на иных принципах, например, измерители, подающие на вход исследуемой системы широкополосный сигнал, широкополосный импульс с короткими фронтами или измерители с шумовым сигналом, имеющим в полосе частот, существенном для измерения, постоянную спектральную плотность мощности. Отклик системы анализируется с помощью анализатора спектра или фурье-измерителя АЧХ, выполняющего фурье-преобразование отклика системы из временно́й в частотную область для формирования полного вида АЧХ.

Любому методу измерения АЧХ присущи те или иные достоинства или недостатки. Приемлемый способ применения измерения зависит от конкретной задачи.

Свойства передаточной функции, полюсы и нули передаточной функции

1. Для стационарных систем (т.е систем неизменяемыми параметрами компонентов) и с сосредоточенными параметрами передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной s{\displaystyle s}:

W(s)=R(s)Q(s)=bsm+b1sm−1+⋯+bmasn+a1sn−1+⋯+an{\displaystyle W(s)={\frac {R(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\dots +a_{n}}}}.

2. Знаменатель и числитель передаточной функции — это характеристические полиномы дифференциального уравнения движения линейной системы. Полюсами передаточной функции называют корни характеристического полинома знаменателя, нули — корни характеристического полинома числителя.

3. В физически реализуемых системах порядок полинома числителя передаточной функции m{\displaystyle m} не может превышать порядка полинома её знаменателя n{\displaystyle n}, то есть m≤n{\displaystyle m\leq n}

4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.

5. При формальной замене s=jω{\displaystyle s=j\omega } в W(s){\displaystyle W(s)} получается комплексная частотная характеристика (КЧХ) системы, описывающая одновременно амплитудно-частотную (в виде этой функции) и фазо-частотную характеристики системы как её.

Дискретная передаточная функция

Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть u(k){\displaystyle u(k)} — входной дискретный сигнал такой системы, а y(k){\displaystyle y(k)} — её дискретный выходной сигнал, k=,1,2,…{\displaystyle k=0,1,2,\dots }. Тогда передаточная функция W(z){\displaystyle W(z)} такой системы записывается в виде:

W(z)=Y(z)U(z){\displaystyle W(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}},

где U(z){\displaystyle U(z)} и Y(z){\displaystyle Y(z)} — z-преобразования для сигналов u(k){\displaystyle u(k)} и y(k){\displaystyle y(k)} соответственно:

U(z)=Z{u(k)}≡∑k=∞u(k)z−k{\displaystyle U(z)={\mathcal {Z}}\left\{u(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }u(k)z^{-k}},

Y(z)=Z{y(k)}≡∑k=∞y(k)z−k{\displaystyle Y(z)={\mathcal {Z}}\left\{y(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }y(k)z^{-k}}.

Передаточные функции основных соединений звеньев

В системах автоматического управления звенья могут находиться в самых различных сочетаниях. Однако систему любой сложности всегда можно рассматривать как совокупность трех видов соединений элементарных звеньев: последовательного, параллельного и встречно-параллельного соединений (с обратной связью).

1. Последовательное соединение.

Последовательное соединение – это такое соединение звеньев, при котором выходная величина предыдущего звена является входной величиной последующего.

Для данного рисунка x_вых1=х_вх2, х_вых2=х_вх3

По определению ПФ:

Для каждого звена можем записать:

Учитывая, что x_вых1=х_вх2, х_вых2=х_вх3 исключаем из уравнений промежуточные переменные:

Отсюда, ПФ последовательных звеньев:

Вывод: передаточная функция группы последовательно соединенных звеньев равна произведению отдельных звеньев.

2. Параллельное соединение звеньев.

Параллельным называют соединение звеньев, при котором входные воздействия всех звеньев одинаковы, а их выходные сигналы алгебраически суммируются.

Для данного рисунка x_вх1(p)=х_вх2(p)=х_вх3(p)=х_вх(p)

x_вых(p)=х_вых1(p)+х_вых2(p)+х_вых3(p)

Для каждого звена можем записать:

откуда

Вывод: передаточная функция группы параллельно соединенных звеньев равна сумме отдельных звеньев.

3. Встречно-параллельное соединение звеньев с обратной связью.

Встречно-параллельным называется такое соединение звеньев, при котором выходная величина звена подается обратно на его вход через другое звено. Часто такое соединение называют соединением с обратной связью (ОС). При этом звено в прямой цепи называется звеном, охваченным обратной связью, а звено, стоящее в цепи обратной связи – звеном ОС. Сигнал с выхода звена ОС может складываться или вычитаться с входным сигналом. Соответственно, ОС называется положительной или отрицательной.

x_вх1(p)=х_вх(p)±х_ос(p)

Для каждого звена можем записать:

Нужно исключить переменные х_вх1 и х_ос

Умножаем левую и правую часть на W₁(p)

или

Частный случай: — единичная обратная связь.

Приведем систему с неединичной обратной связью к этому виду:

Типовые динамические звенья

При исследовании сложных технических объектов широко применяется принцип декомпозиции, то есть разбиения сложного на простые составляющие. В ТАУ широко используют разбиение сложных САУ на элементарные звенья – типовые звенья.

Типовыми называют звенья, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями не выше 2-го порядка.

Для описания большинства реальных технических систем достаточно типовых звеньев:

1. Безинерционное-усилительное звено.

2. Интегрирующее звено.

3. Дифференцирующее звено.

4. Апериодическое звено 1-го порядка.

5. Инерционное звено 2-го порядка.

А) апериодическое звено 2-го порядка;

Б) колебательное звено 2-го порядка;

В) консервативное колебательное звено.

6. Звено запаздывания.

ФЧХ

ВЧХ

АЧХ

ДУ ОФДУ ПФ АФХ

ПХ

ФЧХ

МЧХ

АЧХ

Инерционное звено 2-го порядка.

ДУ:

Примеры:

другой вид: , ,

r — показатель колебательности.

ОФ:

ПФ:

Для анализа решения рассмотрим характеристическое уравнение:

а) r>1 D>0 – разные вещественные корни;

б) r=1 D=0 – одинаковые вещественные корни;

в) 01 D– пара комплексно-сопряженных корней;

г) r=0

а) r>1

имеем пару вещественных корней, в этом случае характеристическое уравнение можно разложить на два многочлена:

В этом случае передаточную функцию звена 2-го порядка можно представить в виде произведений ПФ 1-х порядков.

ПХ:

б) r=1, T₁=T₂=T

ПХ: — при r>=1 имеем апериодическое звено 2-го порядка.

в) 0<r<1

ПХ:

a — показатель затухания колебаний.

Такое звено называется колебательным звеном 2-го порядка.

г) r=0

Имеем незатухающие колебания. Такое звено называется консервативным колебательным.

Частотные характеристики.

ВЧХ:

МЧХ:

АЧХ:

ФЧХ:

w	A(w)	j(w)
k
w=1/T	k/2rTw	-p/2
w¥	-p

r0 A(w)¥

Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ).

Комплексную частотную передаточную функцию при изменении угловой частоты можно представить двумя вещественными характеристиками: амплитудно-частотной и фазо-частотной. Недостатками этих характеристик является сложность их представления в широком диапазоне изменения угловой частоты. Расчет и построение этих характеристик существенно упрощается при использовании логарифмических масштабов.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) показывает, как изменяется в логарифмическом масштабе в зависимости от угловой частоты амплитуда гармонического сигнала, передаваемого звеном или системой относительно амплитуды входного гармонического сигнала. Для количественного выражения ординат ЛАЧХ использована логарифмическая единица усиления мощности гармонического сигнала 1бел , применяемая в акустике.

Логарифмическая единица усиления мощности 1бел , характеризует усиление мощности сигнала в 10 раз. Мощность гармонического сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, поэтому 1 Б соответствует усиление амплитуды сигнала в раза. Практически используют дольную единицу 1 децибел = 0,1 Б, соответствующую усилению мощности сигнала в раза и увеличению амплитуды в раза.

Логарифмы угловой частоты lgω выражаются в декадах; 1 дек соответствует увеличению частоты в 10 раз, lgω = 0 соответствует ω = 1 с-1.

Аналитическое выражение ЛАЧХ G(ω) определяется логарифмированием квадрата модуля комплексной частотной функции и умножением на 10 для перевода в дольные единицы усиления мощности – децибелы:

.

График ЛАХЧ строят в логарифмических координатах. Усиление мощности сигнала, в децибелах, откладывают по оси ординат, а логарифмическое увеличение частоты, в декадах – по оси абсцисс. Расположение характеристики выше ординат характеризует усиление амплитуды и мощности гармонического сигнала на выходе звена или системы относительно входного. Если характеристика или ее часть расположена ниже оси абсцисс, это соответствует ослаблению амплитуды и мощности сигнала. В точке пересечения характеристикой оси абсцисс, называемой частотой среза ω_ср.

ω = ω_ср; Þ .

Термин «частота среза» обозначает частоту гармонического сигнала, выше которой амплитуда сигнала на выходе звена или системы становится меньше, чем на входе (происходит срезание амплитуды и мощности сигнала).

Логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ) – это зависимость относительного изменения фазы гармонического сигнала при передаче его звеном или системой от логарифма угловой частоты. На графике изменение фазы ψ, выраженное в угловых градусах или радианах, откладывают по оси ординат. Логарифмическую частоту, в декадах, откладывают по оси абсцисс. Логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики обычно совмещают по координате lgw, или располагают одну под другой.

Изображение характеристик в логарифмических координатах имеет по сравнению с обычными частотными характеристиками следующие преимущества:

1. Форма логарифмических частотных характеристик не зависит от параметров звена: коэффициента усиления и постоянной времени; форма характеристик определяется формулой частотной передаточной функции.

2. ЛАЧХ смещается по оси ординат вверх при увеличении коэффициента усиления звена, вниз – при уменьшении коэффициента усиления.

3. ЛАЧХ и ЛФЧХ смещаются по оси абсцисс влево при увеличении постоянной времени звена, вправо – при уменьшении постоянной времени.

Использование характеристик типовых звеньев сводит все расчеты характеристик к вычислению двух координат: логарифма коэффициента усиления и логарифма величины, обратной постоянной времени, называемой частотой сопряжения либо частотой среза. Частота сопряжения характеристики звена определяет расположение характеристик на оси абсцисс. Обычно построение ЛАХЧ выполняют упрощенным способом, заменяя действительные характеристики линейными отрезками. При построении ЛФХЧ используют шаблоны.

Свойства передаточной функции, полюсы и нули передаточной функции

1. Для стационарных систем (т.е систем неизменяемыми параметрами компонентов) и с сосредоточенными параметрами передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной s{\displaystyle s}:

W(s)=R(s)Q(s)=bsm+b1sm−1+⋯+bmasn+a1sn−1+⋯+an{\displaystyle W(s)={\frac {R(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\dots +a_{n}}}}.

2. Знаменатель и числитель передаточной функции — это характеристические полиномы дифференциального уравнения движения линейной системы. Полюсами передаточной функции называют корни характеристического полинома знаменателя, нули — корни характеристического полинома числителя.

3. В физически реализуемых системах порядок полинома числителя передаточной функции m{\displaystyle m} не может превышать порядка полинома её знаменателя n{\displaystyle n}, то есть m≤n{\displaystyle m\leq n}

4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.

5. При формальной замене s=jω{\displaystyle s=j\omega } в W(s){\displaystyle W(s)} получается комплексная частотная характеристика (КЧХ) системы, описывающая одновременно амплитудно-частотную (в виде этой функции) и фазо-частотную характеристики системы как её.

Линейные стационарные системы

Пусть u(t){\displaystyle u(t)} — входной сигнал линейной стационарной системы, а y(t){\displaystyle y(t)} — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция W(s){\displaystyle W(s)} такой системы записывается в виде:

W(s)=Y(s)U(s){\displaystyle W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}}, где s = jω [рад/с] — оператор передаточной функции, U(s){\displaystyle U(s)} и Y(s){\displaystyle Y(s)} — преобразования Лапласа для сигналов u(t){\displaystyle u(t)} и y(t){\displaystyle y(t)} соответственно

U(s)=L{u(t)}≡∫+∞u(t)e−stdt{\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }u(t)e^{-st}\,dt},

Y(s)=L{y(t)}≡∫+∞y(t)e−stdt{\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }y(t)e^{-st}\,dt}.

Свойства передаточной функции, полюсы и нули передаточной функции

1. Для стационарных систем (т.е систем неизменяемыми параметрами компонентов) и с сосредоточенными параметрами передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной s{\displaystyle s}:

W(s)=R(s)Q(s)=bsm+b1sm−1+⋯+bmasn+a1sn−1+⋯+an{\displaystyle W(s)={\frac {R(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\dots +a_{n}}}}.

2. Знаменатель и числитель передаточной функции — это характеристические полиномы дифференциального уравнения движения линейной системы. Полюсами передаточной функции называют корни характеристического полинома знаменателя, нули — корни характеристического полинома числителя.

3. В физически реализуемых системах порядок полинома числителя передаточной функции m{\displaystyle m} не может превышать порядка полинома её знаменателя n{\displaystyle n}, то есть m≤n{\displaystyle m\leq n}

4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.

5. При формальной замене s=jω{\displaystyle s=j\omega } в W(s){\displaystyle W(s)} получается комплексная передаточная функция системы, описывающая одновременно амплитудно-частотную (в виде этой функции) и фазо-частотную характеристики системы как её.

Дискретная передаточная функция

Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть u(k){\displaystyle u(k)} — входной дискретный сигнал такой системы, а y(k){\displaystyle y(k)} — её дискретный выходной сигнал, k=,1,2,…{\displaystyle k=0,1,2,\dots }. Тогда передаточная функция W(z){\displaystyle W(z)} такой системы записывается в виде:

W(z)=Y(z)U(z){\displaystyle W(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}},

где U(z){\displaystyle U(z)} и Y(z){\displaystyle Y(z)} — z-преобразования для сигналов u(k){\displaystyle u(k)} и y(k){\displaystyle y(k)} соответственно:

U(z)=Z{u(k)}≡∑k=∞u(k)z−k{\displaystyle U(z)={\mathcal {Z}}\left\{u(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }u(k)z^{-k}},

Y(z)=Z{y(k)}≡∑k=∞y(k)z−k{\displaystyle Y(z)={\mathcal {Z}}\left\{y(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }y(k)z^{-k}}.

Линейные стационарные системы

Пусть u(t){\displaystyle u(t)} — входной сигнал линейной стационарной системы, а y(t){\displaystyle y(t)} — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция W(s){\displaystyle W(s)} такой системы записывается в виде:

W(s)=Y(s)U(s){\displaystyle W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}}, где s = jω [рад/с] — оператор передаточной функции, U(s){\displaystyle U(s)} и Y(s){\displaystyle Y(s)} — преобразования Лапласа для сигналов u(t){\displaystyle u(t)} и y(t){\displaystyle y(t)} соответственно

U(s)=L{u(t)}≡∫+∞u(t)e−stdt{\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }u(t)e^{-st}\,dt},

Y(s)=L{y(t)}≡∫+∞y(t)e−stdt{\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }y(t)e^{-st}\,dt}.

Линейные стационарные системы

Пусть u(t){\displaystyle u(t)} — входной сигнал линейной стационарной системы, а y(t){\displaystyle y(t)} — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция W(s){\displaystyle W(s)} такой системы записывается в виде:

W(s)=Y(s)U(s){\displaystyle W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}}, где s = jω [рад/с] — оператор передаточной функции, U(s){\displaystyle U(s)} и Y(s){\displaystyle Y(s)} — преобразования Лапласа для сигналов u(t){\displaystyle u(t)} и y(t){\displaystyle y(t)} соответственно

U(s)=L{u(t)}≡∫+∞u(t)e−stdt{\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }u(t)e^{-st}\,dt},

Y(s)=L{y(t)}≡∫+∞y(t)e−stdt{\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }y(t)e^{-st}\,dt}.

Линейные стационарные системы

Пусть u(t){\displaystyle u(t)} — входной сигнал линейной стационарной системы, а y(t){\displaystyle y(t)} — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция W(s){\displaystyle W(s)} такой системы записывается в виде:

W(s)=Y(s)U(s){\displaystyle W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}}, где s = jω [рад/с] — оператор передаточной функции, U(s){\displaystyle U(s)} и Y(s){\displaystyle Y(s)} — преобразования Лапласа для сигналов u(t){\displaystyle u(t)} и y(t){\displaystyle y(t)} соответственно

U(s)=L{u(t)}≡∫+∞u(t)e−stdt{\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }u(t)e^{-st}\,dt},

Y(s)=L{y(t)}≡∫+∞y(t)e−stdt{\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }y(t)e^{-st}\,dt}.

Свойства передаточной функции, полюсы и нули передаточной функции

1. Для стационарных систем (т.е систем неизменяемыми параметрами компонентов) и с сосредоточенными параметрами передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной s{\displaystyle s}:

W(s)=R(s)Q(s)=bsm+b1sm−1+⋯+bmasn+a1sn−1+⋯+an{\displaystyle W(s)={\frac {R(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\dots +a_{n}}}}.

2. Знаменатель и числитель передаточной функции — это характеристические полиномы дифференциального уравнения движения линейной системы. Полюсами передаточной функции называют корни характеристического полинома знаменателя, нули — корни характеристического полинома числителя.

3. В физически реализуемых системах порядок полинома числителя передаточной функции m{\displaystyle m} не может превышать порядка полинома её знаменателя n{\displaystyle n}, то есть m≤n{\displaystyle m\leq n}

4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.

5. При формальной замене s=jω{\displaystyle s=j\omega } в W(s){\displaystyle W(s)} получается комплексная передаточная функция системы, описывающая одновременно амплитудно-частотную (в виде этой функции) и фазо-частотную характеристики системы как её.

Дискретная передаточная функция

Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть u(k){\displaystyle u(k)} — входной дискретный сигнал такой системы, а y(k){\displaystyle y(k)} — её дискретный выходной сигнал, k=,1,2,…{\displaystyle k=0,1,2,\dots }. Тогда передаточная функция W(z){\displaystyle W(z)} такой системы записывается в виде:

W(z)=Y(z)U(z){\displaystyle W(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}},

где U(z){\displaystyle U(z)} и Y(z){\displaystyle Y(z)} — z-преобразования для сигналов u(k){\displaystyle u(k)} и y(k){\displaystyle y(k)} соответственно:

U(z)=Z{u(k)}≡∑k=∞u(k)z−k{\displaystyle U(z)={\mathcal {Z}}\left\{u(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }u(k)z^{-k}},

Y(z)=Z{y(k)}≡∑k=∞y(k)z−k{\displaystyle Y(z)={\mathcal {Z}}\left\{y(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }y(k)z^{-k}}.

Свойства передаточной функции, полюсы и нули передаточной функции

1. Для стационарных систем (т.е систем неизменяемыми параметрами компонентов) и с сосредоточенными параметрами передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной s{\displaystyle s}:

W(s)=R(s)Q(s)=bsm+b1sm−1+⋯+bmasn+a1sn−1+⋯+an{\displaystyle W(s)={\frac {R(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\dots +a_{n}}}}.

2. Знаменатель и числитель передаточной функции — это характеристические полиномы дифференциального уравнения движения линейной системы. Полюсами передаточной функции называют корни характеристического полинома знаменателя, нули — корни характеристического полинома числителя.

3. В физически реализуемых системах порядок полинома числителя передаточной функции m{\displaystyle m} не может превышать порядка полинома её знаменателя n{\displaystyle n}, то есть m≤n{\displaystyle m\leq n}

4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.

5. При формальной замене s=jω{\displaystyle s=j\omega } в W(s){\displaystyle W(s)} получается комплексная частотная характеристика (КЧХ) системы, описывающая одновременно амплитудно-частотную (в виде этой функции) и фазо-частотную характеристики системы как её.

Дискретная передаточная функция

Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть u(k){\displaystyle u(k)} — входной дискретный сигнал такой системы, а y(k){\displaystyle y(k)} — её дискретный выходной сигнал, k=,1,2,…{\displaystyle k=0,1,2,\dots }. Тогда передаточная функция W(z){\displaystyle W(z)} такой системы записывается в виде:

W(z)=Y(z)U(z){\displaystyle W(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}},

где U(z){\displaystyle U(z)} и Y(z){\displaystyle Y(z)} — z-преобразования для сигналов u(k){\displaystyle u(k)} и y(k){\displaystyle y(k)} соответственно:

U(z)=Z{u(k)}≡∑k=∞u(k)z−k{\displaystyle U(z)={\mathcal {Z}}\left\{u(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }u(k)z^{-k}},

Y(z)=Z{y(k)}≡∑k=∞y(k)z−k{\displaystyle Y(z)={\mathcal {Z}}\left\{y(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }y(k)z^{-k}}.

Линейные стационарные системы

Пусть u(t){\displaystyle u(t)} — входной сигнал линейной стационарной системы, а y(t){\displaystyle y(t)} — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция W(s){\displaystyle W(s)} такой системы записывается в виде:

W(s)=Y(s)U(s){\displaystyle W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}}, где s = jω [рад/с] — оператор передаточной функции, U(s){\displaystyle U(s)} и Y(s){\displaystyle Y(s)} — преобразования Лапласа для сигналов u(t){\displaystyle u(t)} и y(t){\displaystyle y(t)} соответственно

U(s)=L{u(t)}≡∫+∞u(t)e−stdt{\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }u(t)e^{-st}\,dt},

Y(s)=L{y(t)}≡∫+∞y(t)e−stdt{\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }y(t)e^{-st}\,dt}.

Дискретная передаточная функция

Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть u(k){\displaystyle u(k)} — входной дискретный сигнал такой системы, а y(k){\displaystyle y(k)} — её дискретный выходной сигнал, k=,1,2,…{\displaystyle k=0,1,2,\dots }. Тогда передаточная функция W(z){\displaystyle W(z)} такой системы записывается в виде:

W(z)=Y(z)U(z){\displaystyle W(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}},

где U(z){\displaystyle U(z)} и Y(z){\displaystyle Y(z)} — z-преобразования для сигналов u(k){\displaystyle u(k)} и y(k){\displaystyle y(k)} соответственно:

U(z)=Z{u(k)}≡∑k=∞u(k)z−k{\displaystyle U(z)={\mathcal {Z}}\left\{u(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }u(k)z^{-k}},

Y(z)=Z{y(k)}≡∑k=∞y(k)z−k{\displaystyle Y(z)={\mathcal {Z}}\left\{y(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }y(k)z^{-k}}.