Импульс тела: определение и свойства

1.16. Импульс тела

Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила Под действием этой силы скорость тела изменилась на Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением

Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует:

Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела (или количеством движения). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы. Импульс силы также является векторной величиной.

В новых терминах второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом: изменение импульса тела (количества движения) равно импульсу силы.

Обозначив импульс тела буквой второй закон Ньютона можно записать в виде

Именно в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон. Сила в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси:

Модель. Импульс тела

Таким образом, изменение проекции импульса тела на любую из трех взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось. Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, т. е. движение тела по одной из координатных осей (например, оси OY). Пусть тело свободно падает с начальной скоростью υ под действием силы тяжести; время падения равно t. Направим ось OY вертикально вниз. Импульс силы тяжести F_т = mg за время t равен mgt. Этот импульс равен изменению импульса тела

Этот простой результат совпадает с кинематической формулой для скорости равноускоренного движения. В этом примере сила оставалась неизменной по модулю на всем интервале времени t. Если сила изменяется по величине, то в выражение для импульса силы нужно подставлять среднее значение силы F_ср на промежутке времени ее действия. Рис. 1.16.1 иллюстрирует метод определения импульса силы, зависящей от времени.

Рисунок 1.16.1.Вычисление импульса силы по графику зависимости F(t)

Выберем на оси времени малый интервал Δt, в течение которого сила F (t) остается практически неизменной. Импульс силы F (t) Δt за время Δt будет равен площади заштрихованного столбика. Если всю ось времени на интервале от до t разбить на малые интервалы Δt_i, а затем просуммировать импульсы силы на всех интервалах Δt_i, то суммарный импульс силы окажется равным площади, которую образует ступенчатая кривая с осью времени. В пределе (Δt_i → 0) эта площадь равна площади, ограниченной графиком F (t) и осью t. Этот метод определения импульса силы по графику F (t) является общим и применим для любых законов изменения силы со временем. Математически задача сводится к интегрированию функции F (t) на интервале .

Импульс силы, график которой представлен на рис. 1.16.1, на интервале от t₁ = 0 с до t₂ = 10 с равен:

В этом простом примере

В некоторых случаях среднюю силу F_ср можно определить, если известно время ее действия и сообщенный телу импульс. Например, сильный удар футболиста по мячу массой 0,415 кг может сообщить ему скорость υ = 30 м/с. Время удара приблизительно равно 8·10–3 с.

Импульс p, приобретенный мячом в результате удара есть:

Следовательно, средняя сила F_ср, с которой нога футболиста действовала на мяч во время удара, есть:

Это очень большая сила. Она приблизительно равна весу тела массой 160 кг.

Если движение тела во время действия силы происходило по некоторой криволинейной траектории, то начальный и конечный импульсы тела могут отличаться не только по модулю, но и по направлению. В этом случае для определения изменения импульса удобно использовать диаграмму импульсов, на которой изображаются вектора и , а также вектор построенный по правилу параллелограмма. В качестве примера на рис. 1.16.2 изображена диаграмма импульсов для мяча, отскакивающего от шероховатой стенки. Мяч массой m налетел на стенку со скоростью под углом α к нормали (ось OX) и отскочил от нее со скоростью под углом β. Во время контакта со стеной на мяч действовала некоторая сила направление которой совпадает с направлением вектора

Рисунок 1.16.2.Отскок мяча от шероховатой стенки и диаграмма импульсов

При нормальном падении мяча массой m на упругую стенку со скоростью после отскока мяч будет иметь скорость Следовательно, изменение импульса мяча за время отскока равно В проекциях на ось OX этот результат можно записать в скалярной форме Δp_x = –2mυ_x. Ось OX направлена от стенки (как на рис. 1.16.2), поэтому υ_x < 0 и Δp_x > 0. Следовательно, модуль Δp изменения импульса связан с модулем υ скорости мяча соотношением Δp = 2mυ.

Некоторые примеры применения импульсов

Одиночные импульсы

• Разовые команды для управления каким-либо устройством (обычно прямоугольные)
• Разовые сигналы, генерируемые устройством при наступлении какого-либо события

Периодические последовательности

• Тактовые импульсы — для синхронизации событий в системе
• Стробирующие импульсы — для периодического разрешения / запрета процессов
• Пилообразные импульсы развёртки (в телевизорах, мониторах, радиолокаторах, осциллографах и т. д.)
• Телевизионный синхросигнал — составляющая аналогового видеосигнала, предназначенная для синхронизации разверток передающего и приемного устройств.
• Импульсы с образцовыми параметрами (амплитуда, длительность, частота и т. д.) на выходе калибраторов средств измерений
• Стимулирующие импульсные сигналы для проверки работоспособности аппаратуры или её узлов
• Стимулирующие сигналы, вырабатываемые медицинскими приборами

Непериодические последовательности

• Импульсные сигналы измерительной информации
• Псевдослучайные (хаотические) импульсные последовательности для тестирования аппаратуры или каналов связи

Одиночные посылки (серии)

• Набор номера в импульсном телефонном аппарате
• Коды идентификации, аутентификации для электронных замков и т. д.
• Разовая информация в системах сигнализации

Последовательности посылок

• Сигнал, представленный в цифровой форме в виде групп прямоугольных импульсов
• Группы импульсов, непрерывно излучаемых импульсными радиомаяками
• Посылки с время-импульсным кодированием в диалогах запросчик-ответчик в системах активной радиолокации и дальномерных каналах радионавигации

Видеоимпульсы

• Аналоговый сигнал изображения в телевизорах, видеомагнитофонах, мониторах
• Эхо-сигнал в приёмных устройствах радиолокаторов и импульсных дефектоскопов

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 4-е. — М.: Физматлит, 2002. — Т. I. Механика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
• Айзерман М. А. Классическая механика. — М.: Наука, 1980. — 368 с.

Импульс в квантовой механике

Формальное определение

В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид

P^=∑jp^j=∑j−iℏ∇j,{\displaystyle {\hat {\mathbf {P} }}=\sum _{j}{\hat {\mathbf {p} }}_{j}=\sum _{j}-i\hbar \nabla _{j},}

где ∇j{\displaystyle \nabla _{j}} — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам j{\displaystyle j}-ой частицы. Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

H^=∑i12mip^i2+U(r1,…).{\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}{\hat {\mathbf {p} }}_{i}^{2}+U(\mathbf {r_{1}} ,\dots ).}

Для замкнутой системы (U={\displaystyle U=0}) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом, и импульс сохраняется.

Определение через волны де Бройля

Формула де Бройля связывает импульс и длину волны де Бройля.

Модуль импульса обратно пропорционален длине волны λ{\displaystyle \lambda }:

p=hλ,{\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }},}

где h{\displaystyle h} — постоянная Планка.

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью v≪c{\displaystyle v\ll c} (скорости света), модуль импульса равен p=mv{\displaystyle p=mv} (где m{\displaystyle m} — масса частицы), и

λ=hp=hmv.{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}.}

Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.

В векторном виде это записывается как:

p→=h2πk→=ℏk→,{\displaystyle {\vec {p}}={\frac {h}{2\pi }}{\vec {k}}=\hbar {\vec {k}},}

где k→{\displaystyle {\vec {k}}} — волновой вектор.

Момент импульса в электродинамике

При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле канонический импульс p{\displaystyle p} не является инвариантным. Как следствие, канонический момент импульса L=r×p{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} } тоже не инвариантен. Тогда берем реальный импульс, который также называется «кинетическим импульсом»:

p−eAc,{\displaystyle \mathbf {p} -{\frac {e\mathbf {A} }{c}},}

где e{\displaystyle e} — электрический заряд, c{\displaystyle c} — скорость света, A{\displaystyle A} — векторный потенциал. Таким образом, гамильтониан (инвариантный) заряженной частицы массы m{\displaystyle m} в электромагнитном поле:

H=12m(p−eAc)2+eφ,{\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e\mathbf {A} }{c}}\right)^{2}+e\varphi ,}

где φ{\displaystyle \varphi } — скалярный потенциал. Из этого потенциала следует закон Лоренца. Инвариантный момент импульса, или «кинетический момент импульса», определяется следующим образом:

K=r×(p−eAc).{\displaystyle K=\mathbf {r} \times \left(\mathbf {p} -{\frac {e\mathbf {A} }{c}}\right).}

Основные теоретические сведения

Импульс тела

Импульсом (количеством движения) тела называют физическую векторную величину, являющуюся количественной характеристикой поступательного движения тел. Импульс обозначается р. Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость, т.е. он рассчитывается по формуле:

Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости тела (направлен по касательной к траектории). Единица измерения импульса – кг∙м/с.

Изменение импульса одного тела находится по формуле (обратите внимание, что разность конечного и начального импульсов векторная):

где: p_н – импульс тела в начальный момент времени, p_к – в конечный. Главное не путать два последних понятия.

Абсолютно упругий удар – абстрактная модель соударения, при которой не учитываются потери энергии на трение, деформацию, и т.п. Никакие другие взаимодействия, кроме непосредственного контакта, не учитываются. При абсолютно упругом ударе о закрепленную поверхность скорость объекта после удара по модулю равна скорости объекта до удара, то есть величина импульса не меняется. Может поменяться только его направление. При этом угол падения равен углу отражения.

Абсолютно неупругий удар – удар, в результате которого тела соединяются и продолжают дальнейшее своё движение как единое тело. Например, пластилиновый шарик при падении на любую поверхность полностью прекращает свое движение, при столкновении двух вагонов срабатывает автосцепка и они так же продолжают двигаться дальше вместе.

Закон сохранения импульса

При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, такая система называется замкнутой.

В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса (ЗСИ). Следствием его являются законы Ньютона. Второй закон Ньютона в импульсной форме может быть записан следующим образом:

Как следует из данной формулы, в случае если на систему тел не действует внешних сил, либо действие внешних сил скомпенсировано (равнодействующая сила равна нолю), то изменение импульса равно нолю, что означает, что общий импульс системы сохраняется:

Аналогично можно рассуждать для равенства нулю проекции силы на выбранную ось. Если внешние силы не действуют только вдоль одной из осей, то сохраняется проекция импульса на данную ось, например:

Аналогичные записи можно составить и для остальных координатных осей. Так или иначе, нужно понимать, что при этом сами импульсы могут меняться, но именно их сумма остается постоянной. Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны.

Сохранение проекции импульса

Возможны ситуации, когда закон сохранения импульса выполняется только частично, то есть только при проектировании на одну ось. Если на тело действует сила, то его импульс не сохраняется. Но всегда можно выбрать ось так, чтобы проекция силы на эту ось равнялась нулю. Тогда проекция импульса на эту ось будет сохраняться. Как правило, эта ось выбирается вдоль поверхности по которой движется тело.

Многомерный случай ЗСИ. Векторный метод

В случаях если тела движутся не вдоль одной прямой, то в общем случае, для того чтобы применить закон сохранения импульса, нужно расписать его по всем координатным осям, участвующим в задаче. Но решение подобной задачи можно сильно упростить, если использовать векторный метод. Он применяется если одно из тел покоится до или после удара. Тогда закон сохранения импульса записывается одним из следующих способов:

Из правил сложения векторов следует, что три вектора в этих формулах должны образовывать треугольник. Для треугольников применяется теорема косинусов.

Чем отличается скважность и коэффициент заполнения импульсов

Одной из наиболее важных величин в импульсной электронике – это скважность, обозначаемая латинской буквой S. Она дает характеристику импульсам прямоугольной формы и показывает, как относится их период T ко времени t1

К примеру, коэффициент меандра равен 2, поскольку время t1 в этой последовательности составляет половину периода: S = T / t1 = 2.
И в числителе, и в знаменателе находится время, выраженное в секундах. При вычислениях они сокращаются, поэтому коэффициент является величиной, не имеющей единиц измерения.

Генератор скважности

Меандр представляет собой поток импульсов, в котором отрицательные и положительные части имеют одинаковую продолжительность.
Инверсия скважности имеет название коэффициент заполнения. Следовательно, скважность способна принимать множество значений от бесконечности до единицы, а рабочий цикл этого же потока импульсов, как еще могут называть коэффициент заполнения, способен принимать значения от 0 до 1

Часто удобней записывать не данный коэффициент, измерение которого производится десятичными дробями, а скважность, которая равна, чаще всего, целому числу.
Например: D = 0,5 или S = ​​2 – эти две записи означают одно и то же, но вторую читать легче. Рабочий цикл S = 10 соответствует показателю D = 0,1 – это означает, что длительность импульса в 10 раз меньше его периода.
В широтно-импульсной модуляции (сокращенно, ШИМ) прибор изменяет ширину или продолжительность импульса, при этом будет соответственно изменяться и коэффициент. Частота при этом будет постоянной. В таком случае, чем больше величина, показывающая скважность, тем более узким будет импульс, и, наоборот – при минимальной скважности будет достигаться максимальная ширина.
При изучении данного явления просматривается этимологическая связь с словом «скважина» из русского языка: широкая скважина (на самом деле, это промежуток между импульсами в потоке) – положительные части узкие, узкая скважина – положительные части широкие (но свободное пространство между ними мало).

Важно: У англоязычных авторов термин «скважность» не встречается вовсе, а для его замены применяют понятие «рабочий цикл» – аналогичный российскому коэффициенту заполнения (D). Однако в английской литературе он выражается не дробным числом, а процентом

Например, если D = 0,5 в западных пособиях будет указано: D = 50%.

Импульс в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа  ρ{\displaystyle \ \rho }. А вместо импульса фигурирует вектор плотности импульса, совпадающий по смыслу с вектором плотности потока массы

p→=ρv→.{\displaystyle {\vec {p}}=\rho {\vec {v}}.}

Поскольку в турбулентном потоке характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить  ρ=ρ¯+ρ′{\displaystyle \ \rho ={\overline {\rho }}+\rho ‘},  v→=v→¯+v→′{\displaystyle \ {\vec {v}}={\overline {\vec {v}}}+{\vec {v}}’}, где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса приобретёт вид:

 p→¯=ρv→¯=ρ¯ v→¯+S→,{\displaystyle \ {\overline {\vec {p}}}={\overline {\rho {\vec {v}}}}={\overline {\rho }}~{\overline {\vec {v}}}+{\vec {S}},}

где  S→=ρ′v→′¯{\displaystyle \ {\vec {S}}={\overline {\rho ‘{\vec {v}}’}}} — вектор плотности флуктуационного потока массы (или «плотность турбулентного импульса»).

Что это модуль скорости?

Каждое тело в процессе перемещения развивает энную скорость, которая характеризуется двумя параметрами: направление и модуль. Что же это модуль скорости? Это число, обозначающее, насколько быстро перемещается тело. Сама скорость является вектором. У нее есть все свойства вектора перемещения, так как выражается посредством него и обладает всеми свойствами данного вектора.

Для определения модуля скорости необходимо учитывать закон движения со всеми своими правилами. Вычисление модуля скорости может осуществляться посредством графика движения. Если недостаточно понятно, что это модуль скорости тела можно использовать одно из понятий: скалярная величина и алгебраическая скорость. Скорость как вектор это величина с направлением и численным значением, при этих условиях модуль скорости тела это не что иное, как длина этого вектора.

Чаще всего речь о прямолинейном движении в рамках координат (x;t). В таком случае для определения данного параметра подойдет формула:

v = S/t = (x — x0)/t.

Это значит, что необходимо нужно отнять начальную координату от конечной координаты. Полученный результат нужно разделить на то время, за которое имело место изменение координаты.

Пример определения модуля скорости одного тела относительно другого на основе задачи: два тела перемещаются со скоростью 8 и 6 м/с. Направление их движения перпендикулярное друг другу. Поэтапное решение осуществляется таким образом:

1. Вычисляется скорость v₂₁ на базе закона сложения скоростей v₂ = v₂₁ + v₁, а значит v₂₁ = v₂ – v₁.
2. Определяется модуль скорости тела согласно теореме Пифагора.

Момент импульса в классической механике

Связь между импульсом $ \scriptstyle{\mathbf p} $ и моментом $ \scriptstyle{\mathbf L} $

Определение

ъ

$ ~\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}, $

где $ ~\mathbf r $ — радиус-вектор частицы относительно выбранного начала отсчёта, $ ~\mathbf p $ — импульс частицы.

Из определения момента импульса следует его аддитивность. Так, для системы частиц выполняется выражение:

$ \mathbf{L}_\Sigma = \sum\limits_i \mathbf{L}_i $.

Вычисление момента

$ L = |\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin \theta_{r,\;p}, $

$ \mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = (\mathbf{r_{\perp}}+\mathbf{r_{\parallel}})\times \mathbf{p} = \mathbf{r_{\perp}}\times \mathbf{p} + \mathbf{r_{\parallel}}\times \mathbf{p} = \mathbf{r_{\perp}}\times \mathbf{p}. $

$ \mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = \mathbf{r}\times (\mathbf{p_{\perp}}+\mathbf{p_{\parallel}}) = \mathbf{r}\times\mathbf{p_{\perp}}. $

Для систем, совершающих вращение вокруг одной из осей симметрии (вообще говоря, вокруг так называемых главных осей инерции), справедливо соотношение

$ ~\mathbf{L}= I \boldsymbol{\omega}, $

$ \mathbf{L} = \hat I \boldsymbol{\omega} $

Сохранение углового момента

$ \tau = \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}, $

Таким образом, требование системы быть «замкнутой», означает равенство нулю главного (суммарного) момента внешних сил:

$ \mathbf{L}_{\mathrm{system}} = \mathrm{constant} \leftrightarrow \sum \tau_{\mathrm{ext}} = 0, $

где $ ~\tau_{ext} $ — момент одной из сил, приложенных к системе частиц.

Математически закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол $ ~\delta \varphi $, радиус-вектор частицы с номером $ ~i $ изменятся на $ ~\delta \mathbf{r}_i = \delta \varphi \times \mathbf{r}_i $, а скорости — $ ~\delta \mathbf{v}_i = \delta \varphi \times \mathbf{v}_i $. Функция Лагранжа $ ~\mathcal L $ системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому

$ \delta \mathcal L = \mathcal L(\mathbf{r}_i + \delta\mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i + \delta\mathbf{v}_i) — \mathcal L(\mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i) = \sum \limits_i \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf r_i} \delta \varphi \times\mathbf r_i + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf v_i} \delta \varphi \times \mathbf v_i \right)= 0. $

С учетом $ \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf v_i} = \mathbf p_i,\; \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf r_i} = \mathbf \dot p_i $, где $ ~\mathbf p_i $ — обобщенный импульс $ ~i $-той частицы, каждое слагаемое в сумме из последнего выражения можно переписать в виде

$ \dot \mathbf p_i \,\delta \varphi \times \mathbf r_i + \mathbf p_i\,\delta \varphi \times \mathbf \dot r_i. $

Теперь, пользуясь свойством смешанного произведения, совершим циклическую перестановку векторов, в результате чего получим, вынося общий множитель:

$ \delta \mathcal L = \delta \varphi \sum \limits_i \left( \mathbf r_i \times \dot \mathbf p_i + \dot \mathbf r_i \times \mathbf p_i \right) = \delta \varphi \frac{d}{dt} \sum \limits_i (\mathbf r_i \times \mathbf p_i) = \delta \varphi \frac{d \mathbf L}{dt} = 0, $

где, $ \mathbf L = \sum \mathbf L_i = \sum \mathbf r_i \times \mathbf p_i $ — момент импульса системы. Ввиду произвольности $ \delta \varphi $, из равенства $ \delta \mathcal L = 0 $ следует $ ~\frac{d \mathbf L}{dt} = 0 $.

На орбитах момент импульса распределяется между собственным вращением планеты и момента импульса ее орбитального движения:

$ \mathbf{L}_{\mathrm{total}} = \mathbf{L}_{\mathrm{spin}} + \mathbf{L}_{\mathrm{orbit}} . $