Умножение

Умножение физических величин

См. также: Единицы физических величин

Единица измерения физической величины имеет определенное наименование (размерность), например, для длины — метр (м), для времени — секунда (с), для массы — грамм (г) и так далее. Результат измерения той или иной величины представляет собой не просто число, а число с размерностью, например, 10 м, 145 с, 500 г. Размерность представляет собой самостоятельный объект, который равноправно участвует в операции умножения. При умножении физических величин умножаются как сами числовые значения, так и их размерности, порождая новое число с новой размерностью. Например, прямоугольник со сторонами 5 м и 3 м обладает площадью, получаемой умножением длин сторон:

5 м · 3 м = 5 · 3 м·м= 15 м·м, или 15 м².

Таким образом, умножение физических величин надо рассматривать как нахождение новой физической величины, отличающейся от величин, которые мы умножаем. Если физически возможно создание такого произведения, например, при нахождении работы, скорости или других величин, то эта величина образует множество, отличное от начальных. В этом случае композиции этих величин  присваивается новое обозначение (новый термин), например: плотность, ускорение, мощность и прочее.

Например, если умножить скорость равномерно и прямолинейно движущегося тела, равную 5 м/с, на время, равное 3 с, то получится именованное число (физическая величина), которая называется «длина», или «расстояние» и измеряется в метрах:

5 м/с · 3 с = 15 (м/с) · с = 15 м.

Помимо размерных физических величин существуют безразмерные величины. Безразмерные величины либо просто определяют некоторое количество (измеряются «штуками», «разами» и тому подобное), либо являются отношениями физических величин одной и той же размерности, например, относительная плотность является отношением плотности тела к эталонной плотности (обычно, плотности воды). При умножении величины с размерностью на безразмерную величину результат сохраняет исходную размерность. Например, если взять 5-метровые рейки в количестве 3 штуки, то в результате умножения получим общую длину реек 15 метров:

5 м · 3 = 15 м.

Количество реек (безразмерная величина) здесь не зависит ни от способа их подсчёта, ни от единицы измерения их длины. Например, если измерить длину не в метрах, а в футах, то длина той же рейки составит 16,4 фута, а общая длина трёх реек:

16,4 фута · 3 = 49,2 фута.

Умножение однозначных чисел

Умножение двух однозначных натуральных чисел a и b – это нахождения суммы b слагаемых, каждое из которых равно числу a, и при этом a и b являются натуральными числами.

Если a и b – числа, находящиеся в самом начале натурального ряда, то найти такую сумму особого труда не составляет: 1 ∙2=1+1=2. Но если взять числа, которые замыкают первый десяток, например, 8 и 9, то для вычисления 8 ∙9, а именно, суммы 8+8+8+8+8+8+8+8+8=72, то в этом случае вычисление результата потребует от нас определенного времени.

Для облегчения вычисления, были посчитаны результаты умножения всех однозначных чисел друг на друга, и сведены в специальные таблицы умножения.

Умножение однозначных чисел – это основа быстрого и точного вычисления произведений любых чисел, поэтому очень важно знать на память все таблицы умножения.

Умножение многозначного числа на многозначное

Чтобы умножить многозначное число 3029 на многозначное 429, или найти произведение 3029 * 429, нужно повторить 3029 слагаемым 429 раз и найти сумму. Повторить 3029 слагаемым 429 раз значит повторить его слагаемым сначала 9, потом 20 и, наконец, 400 раз. Следовательно, чтобы умножить 3029 на 429, нужно 3029 умножить сначала на 9, потом на 20 и, наконец, на 400 и найти сумму этих трех произведений.

Три произведения

называются частными произведениями.

Полное произведение 3029 × 429 равно сумме трех частных:

3029 × 429 = 3029 × 9 + 3029 × 20 + 3029 × 400.

Найдем величины этих трех частных произведений.

  1. Умножая 3029 на 9, находим:

     3029
    ×   9 
    27261 первое частное произведение
  2. Умножая 3029 на 20, находим:

     3029
    ×   20 
     60580 второе частное произведение
  3. Умножая 3026 на 400, находим:

     3029
    ×   400 
    1211600 третье частно произведение

Сложив эти частные произведения, получим произведение 3029 × 429:

Не трудно заметить, что все эти частные произведения есть произведения числа 3029 на однозначные числа 9, 2, 4, причем ко второму произведению, происходящему от умножения на десятки, приписывается один нуль, к третьему два нуля.

Нули, приписываемые к частным произведениям, опускают при умножении и ход вычисления выражают письменно:

В таком случае, при умножении на 2 (цифру десятков множителя) подписывают 8 под десятками, или отступают влево на одну цифру; при умножении на цифру сотен 4, подписывают 6 в третьем столбце, или отступают влево на 2 цифры. Вообще каждое частное произведение начинают подписывать от правой руки к левой под тем порядком, к которому принадлежит цифра множителя.

Отыскивая произведение 3247 на 209, имеем:

Здесь второе частное произведение начинаем подписывать под третьим столбцом, ибо оно выражает произведение 3247 на 2, третью цифру множителя.

Мы здесь опустили только два нуля, которые должны были явиться во втором частном произведении, как как оно выражает произведение числа на 2 сотни или на 200.

Из всего сказанного выводим правило. Чтобы умножить многозначное число на многозначное,

  1. нужно множителя подписать под множимым так, чтобы цифры одинаковых порядков находились в одном вертикальном столбце, поставить слева знак умножения и провести черту.

  2. Умножение начинают с простых единиц, затем переходят от правой руки к левой, умножают последовательное множимое на цифру десятков, сотен и т. д. и составляют столько частных произведений, сколько значащих цифр во множителе.

  3. Единицы каждого частного произведения подписывают под тем столбцом, к которому принадлежит цифра множителя.

  4. Все частные произведения, найденные таким образом, складывают вместе и получают в сумме произведение.

Чтобы умножить многозначное число на множитель, оканчивающейся нулями, нужно отбросить нули во множителе, умножить на оставшееся число и потом приписать к произведению столько нулей, сколько их находится во множителе.

Пример. Найти произведение 342 на 2700.

Если множимое и множитель оба оканчиваются нулями, при умножении отбрасывают их и затем к произведению приписывают столько нулей, сколько их содержится в обоих производителях.

Пример. Вычисляя произведение 2700 на 35000, умножаем 27 на 35

Приписывая к 945 пять нулей, получаем искомое произведение:

2700 × 35000 = 94500000.

Число цифр произведения. Число цифр произведения 3728 × 496 можно определить следующим образом. Это произведение более 3728 × 100 и меньше 3728 × 1000. Число цифр первого произведения 6 равно числу цифр в множимом 3728 и во множителе 496 без единицы. Число цифр второго произведения 7 равно числу цифр во множимом и во множителе. Данное произведение 3728 × 496 не может иметь цифр менее 6 (числа цифр произведения 3728 × 100, и более 7 (числа цифр произведения 3728 × 1000).

Откуда заключаем: число цифр всякого произведения или равно числу цифр во множимом и во множителе, или равно этому числу без единицы.

В нашем произведении может содержаться или 7 или 6 цифр.

С чего начать изучение таблицы умножения

Для того чтобы начать изучение таблицы умножения, нужно её распечатать и дать понять ребенку принцип умножения. Для изучения лучше использовать таблицу Пифагора, раньше её всегда печатали на оборотной стороне тетрадей. Она выглядит в виде квадрата, по вертикали и горизонтали которого расположены цифры от одного до десяти, а на линии их пересечения указан результат.

Также таблицу умножения печатают в виде столбиков, где каждое число, помноженное на другое, выделено в отдельный столбец, и после знака равно написан результат. Хотя второй вариант это вовсе не таблица, а просто написанные столбики из примеров, и ребёнку сложно будет в них найти и увидеть логические связи и закономерности, в этом случае ребёнок будет просто учить всё наизусть. Для облегчения процесса излучения самое главное понимание, нужно обеспечить ребёнка при обучении настоящей таблицей Пифагора.

С чего начать изучение таблицы умножения?

Первый этап подготовки выполните сами – распечатайте таблицу Пифагора и таблицу с примерами

И вот тут важно обратить внимание, что это не одно то же. Во втором случае это просто примеры с готовыми ответами, представленные в столбиках для каждой цифры. Первый вариант и является настоящей таблицей умножения (Пифагора), которая представлена сеткой 10х10

Первый вариант и является настоящей таблицей умножения (Пифагора), которая представлена сеткой 10х10.

Прежде чем выучить наизусть всю таблицу умножения ребенку, покажите ему, что цифры, которые перемножаются, находятся слева и сверху, а если пальчиками от них провести навстречу друг другу, то на пересечении будет результат их перемножения.

Задаваясь вопросом, как быстро выучить таблицу умножения ребенку, и с чего начать этот процесс, то знакомить его с самими действиями нужно, начиная с тех манипуляций с умножением, которые ему понять и выполнить самостоятельно будет проще всего:

  • На «1». Любое действие в этом случае дает результат, при котором число остается прежним. Так школьнику будет проще понимать, что это за процесс. Предложите ему попрактиковаться с умножением на один несколько раз с разными числами;
  • На «10». Объясните ребенку, что, несмотря на то что это большое число, умножать на него очень просто. Нужно лишь к умножаемому приписывать ноль. Начните с небольших значений – например, 3х10, а потом предложите ему самостоятельно попробовать выполнить действия с большими числами.

На пути к тому, как научить быстро выучить таблицу умножения ребенка, это важные шаги. Теперь он знает, как работать с крайними значениями сетки Пифагора. Помимо практического значения, для него это играет и психологическую роль:

  • У школьника сложится понятие того, как нужно работать с ней;
  • Он поймет, что начало положено, и ему знакомиться с сеткой не сложно, даже интересно, поэтому полностью ее освоить он сможет.

Если ученик еще не устал, можно приступать к следующему этапу того, как можно быстро выучить таблицу умножения:

Предложите школьнику умножать на «2». Уже с первых классов обучения математике дети знают, как выполнять сложение до 10, в том числе одинаковых чисел. Поэтому занятие будет для обучаемого простым и даже интересным;
Перемена мест множителей

Это важное правило, часто непонятное детям, заключающееся в том, что при перестановке множителей их произведение остается прежним. Обязательно покажите это на самой сетке в соответствующих графах

Благодаря этому ребенку проще будет запомнить это правило, называемое коммутативным или переместительным. К тому же, так он быстрее запомнит определенные действия умножения и их произведения.

Это первые шаги, применяя которые вы положите начало запоминанию и к тому, чтобы быстро и просто потом выучить действия и результаты, указанные в сетке.

как выучить таблицу умножения

Подготовка к изучению таблицы умножения

Этот этап является в том числе организационным, но он входит в алгоритм того, как быстро и просто выучить таблицу умножения. Подготовка включает в себя такие шаги:

  • Подберите время, когда вы ежедневно будете заниматься с ребенком. Учитывайте, что на изучение нужно уделять не менее 30 минут (это длительность одного занятия). Поэтому в это время ученик не должен быть уставшим, но должен быть готов к эффективному обучению;
  • Приготовьтесь к тому, что процесс этот должен включать игровой момент, потому что так ученику гораздо проще запомнится этот материал;
  • Саму сетку или столбики с примерами вы можете распечатать, а можете расчертить самостоятельно;
  • Продумайте, как и когда, в какое время вы будете проверять выученный материал.

Еще по теме «Как легко выучить таблицу умножения?»:

Таблица умножения

Как выучить таблицу умножения ? Есть ли секреты?) Учим — учим, никак не запомним … Таблица умножения проистекает и основана на сложении. Чем лучше ученик знает и понимает сложение, тем быстрее и легче он освоит умножение.

Поделитесь, как вы учили таблицу умножения

Раздел: Школа (Заучивание таблицы умножения ). Поделитесь, как вы учили таблицу умножения. Не можем выучить и всё тут! Таблица умножения — с помощью игр : плакаты и карточки с числами и примерами. А летнее заучивание нужно только для того, чтобы в нужный…

Таблица умножения. Как проще выучить?

Выучили таблицу умножения — что дальше? Все мы когда-то учили таблицу умножения в начальных Таблицу умножения задавали учить на лето после 1-го класса. реально начала проходить ее Таблица умножения : как выучить ? Самый легкий способ: домик умножения.

Таблица умножения

Посоветуйте, пожалуйста, как быстро выучить таблицу умножения. Ребенок только что вспомнил, что за лето надо было выучить да, были тут на эту тему посты Мой личный совет — начните учить с «на 9», потом легче все идет именно на 9 легко выучить если понять что…

Про таблицу умножения

Как я учила мою девочку таблице умножения. Над кроватью ребенка я повесила плакат с таблицей умножения. У нас с ним уговор — что перед мой сейчас учит в школе. наизусть учат только на 2, 3, 5 и 10. а все остальное считают из выученного. например: 6*8= 5 *8+8 или 7*8=7…

таблица умножения

я не учу ребенка запоминать таблицу умножения. запомнить достаточно только основные «опорные точки»- умножение на 2, 3 и 5. все остальное, особенно «сложные случаи» легко в уме вычисляются. например 7×9- это 7×10-7. 7х6- это 7х 5 +7. как-то так…

Таблица умножения

Чтобы легко воссоздать в голове незнаемое комбинацией из предыдущих знаний, например, сложением, перестановкой мест множителей и т.п. Таблица умножения, правила русского языка: как запомнить ? 4 способа. Поиграем в математику: как выучить таблицу умножения.

Таблица умножения

Поиграем в математику: как выучить таблицу умножения. Двусторонние карточки с таблицей умножения для запоминания. Задали нашим выучить таблицу умножения на лето между 1 и 2 классом .Я думала, что прямо и начнутся задания по…

дети и таблица умножения.

У нас таблица умножения выучена и сдана еще до НГ,поэтому конечно отскакивает.Но у нас они учили ее и параллельно активно применяли в решениях(согласно Она просекла смысл умножения, а после этого сообразила, что проще выучить, чем пять раз по девять прибавлять.

Как вы учили таблицу умножения?

Когда подходит время учить таблицу умножения, многие родители задаются вопросом: как это сделать быстро, легко и желательно в игре ? Хочу поделиться с вами последовательностью шагов, которые помогут ребенку выучить таблицу умножения, а также примерами игр — они…

таблица умножения.

Кто сейчас ее учит таблицу умножения. У нас на носу второй класс, С трудом мы бьем ее, на два выучили отлично, на три — средненько, на четыре туго, на пять — никак. Вообщем беда. не хочет учить и труба. какой стимул поставить, а?

Таблица умножения

Таблица умножения. На лето задали учить таблицу умнножения. Таблица умножения нужна помощь!!! Подскажите как правильно и быстро научить ребенка таблице умножения, а тоя поняла, что делаю это неверно и совсем ребенка запутала.

Таблица умножения.

Никак не идет таблица умножения :( Поделитесь секретами, кто как учил ? Про пальцы я знаю, по сколько раз взять им объяснили. Только вот он делает тридцать пятый раз задание трижды пять и складывает тройки :( Неужели трудно наизусть запомнить?

Таблица умножения

:-) Делюсь секретом » таблицы умножения на 9 на пальцах». Руки перед собой, левая около правой У нас таблица умножения и другие математические таблицы висят в … туалете. Таблица умножения — когда у вас по программе? Таблицу умножения задавали учить на…

Таблица умножения

Задали на лето выучить таблицу умножения .Подскажите как заинтересовать ребенка.Может кто-нибудь знает какие-нибудь ссылки в Интернете.Поделитесь опытом Очень интересно учат таблицу умножения в «Золушке» в Одинцово. Поют результат на известные детские мелодии.

Сочетательное свойство умножения натуральных чисел

Второе название для сочетательного свойства умножения — ассоциативный закон, или ассоциативное свойство. Вот его формулировка.

Сочетательный закон умножения

Умножение числа a на произведение чисел b и c равносильно умножению произведения чисел a и b на число c.

Приведем формулировку в буквенном виде:

a·b·c=a·b·c

a, b, c — любые натуральные числа. Сочетательный закон работает для трех и более натуральных чисел.

Для наглядности приведем пример. Сначала вычислим значение 4·3·2.

 4·3·2=4·6=4+4+4+4+4+4=24

Теперь переставим скобки и вычислим значение 4·3·2.

4·3·2=12·2=12+12=24

4·3·2=4·3·2

Как видим, теория совпадает с практикой, и свойство справедливо. 

Сочетательное свойство умножения также можно проиллюстрировать с помощью рисунка.

            

Основные понятия

Во всем мире принято использовать эти десять цифр для записи чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С их помощью создается любое натуральное число.

Название числа напрямую зависит от количества знаков.

  • Однозначное — состоит из одного знака
  • Двузначное — из двух
  • Трехзначное — из трех и так далее.

Разряд — это позиция, на которой стоит цифра в записи. Их принято отсчитываются с конца.

Разряд единиц — то, чем заканчивается любое число. Разряд десятков — то, что находится перед разрядом единиц. Разряд сотен стоит перед разрядом десятков. На место отсутствующего разряда всегда можно поставить ноль.

В числе 429 содержится 0 тысяч, 4 сотни, 2 десятка и 9 единиц.

Умножение — арифметическое действие в котором участвуют два аргумента. Один множимый, второй множитель. Результат их умножения называется произведением.

Свойства умножения

1. От перестановки множителей местами произведение не меняется.

a * b = b * a

2. Результат произведения трёх и более множителей не изменится, если любую группу заменить произведением.

a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c)

Самое главное в процессе вычисления — это знание таблицы умножения. Это сделает подсчет упорядоченным и быстрым.

Важно помнить правило: умножение в столбик с нулями дает в результате ноль

а * 0 = 0, где а — любое натуральное число.

Алгоритм умножения в столбик

Как умножать в столбик — рассмотрим умножение в столбик по шагам:

1. Запишем пример в строку. Выберем и подчеркнем из двух чисел наименьшее, чтобы не забыть при новой записи поставить его вниз.

2. Записываем произведение в виде столбика. Сначала наибольший множитель, затем наименьший, тот что мы подчеркнули ранее. Слева ставим соответствующий знак и проводим черту под которой будем записывать ход решения

Важно обратить внимание разряды, чтобы единицы стояли стоять под единицами, десятки под десятками и т. д

3. Поэтапно производим необходимые действия. Каждую цифру первого множителя нужно умножить на крайнюю цифру второго. Это действие происходит справа налево: единицы, десятки, сотни.

Если результат получится двузначным, под чертой записывается только последняя его цифра. Остальное переносим в следующий разряд путем сложения со значением, полученным при следующем умножении.

4. После умножения на единицу второго множителя с остальными цифрами необходимо провести аналогичные манипуляции. Результаты записывать под чертой, сдвигаясь влево на одну позицию.

5. Складываем то, что нашли и получаем ответ.

Умножение на однозначное число

Для решения задачи по произведению двух натуральных чисел, одно из которых однозначное, а другое — многозначное, нужно использовать способ столбика. Для вычисления воспользуемся последовательностью шагов, которую рассмотрели выше. 

Возьмем пример 234 * 2:

1. Запишем первый множитель, а под ним второй. Соответствующие разряды расположены друг под другом. Двойка находится под четверкой.

2. Последовательно умножаем каждое число в первом множителе на второй, начиная с единиц и продвигаясь к десяткам и сотням.

3. Ответ запишем под чертой:

Производить действия необходимо в следующей последовательности:

Умножение двух многозначных чисел

Если оба множителя — многозначные натуральные числа, нужно действовать следующим образом.

Рассмотрим пример 207 * 8063:

  1. Сначала запишем наибольшее 8063, затем наименьшее 207. Нужно разместить цифры друг под другом справа налево:
  1. Последовательно перемножаем значения разрядов. Результатом является неполное произведение.
  1. Далее перемножаем десятки. Первый множитель умножим на значение разряда десятков второго и т.д. Результат запишем под чертой.
  1. По аналогии действуем с сотыми. Ноль пропускаем в соответствии с правилом. Так получилось второе неполное произведение:
  1. Далее складываем два произведения в столбик. 
  1. Получившееся семизначное число — результат умножения исходных натуральных чисел.

Ответ: 8 063 * 207 = 1669041. 

Примеры на умножение в столбик

Самостоятельное решение задачек помогает быстрее запомнить правила и натренировать скорость

Неважно, в каком классе учится ребенок — в 1, 3 или 4 — эти примеры подойдут всем

Чтобы запомнить все правила, повторите метод сложения столбиком, так как один из этапов умножения состоит из сложения промежуточных результатов. А еще лучше — приходите заниматься увлекательной математикой в детскую школу Skysmart.

Вместо скучных параграфов ученики решают интерактивные задачки и головоломки с мгновенной автоматической проверкой, а еще чертят фигуры на онлайн-доске вместе с преподавателем.

Распределительное свойство умножения

Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

m · (a + b) = m · a + m · b

выражающее распределительное свойство умножения.

Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

(a + b) · m = a · m + b · m

Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

m · (a — b) = m · a — m · b

Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

(a — b) · m = a · m — b · m

Переход от умножения:

m · (a + b)    и    m · (a — b)

соответственно к сложению и вычитанию:

m · a + m · b    и    m · a — m · b

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

m · a + m · b    и    m · a — m · b

к умножению:

m · (a + b)    и    m · (a — b)

Формы записи и терминология

Умножение записывается с использованием знака умножения (∙, ×, ∗) между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте знак умножения является бинарным оператором. Знак умножения не имеет специального названия, тогда как, например, знак сложения называется «плюс».

Самый старый из используемых символов — диагональный крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г.
Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде приподнятой точки (∙). Этот символ он использовал в письме 1698 года.
Йоханн Ран ввёл звёздочку (∗) в качестве знака умножения, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г.

В российских учебниках математики в основном используется знак в виде приподнятой точки (∙). Звёздочка (∗) используется, как правило, в текстах компьютерных программ.

Результат записывается с использованием знака равенства «={\displaystyle =}», например:

a⋅b=c{\displaystyle a\cdot b=c}
6⋅3=18{\displaystyle 6\cdot 3=18} («шесть умножить на три равно восемнадцать» или «шестью три — восемнадцать»).

Часто в математических выражениях знак умножения опускается (не записывается), если это не вызывает неоднозначного прочтения. Например вместо y=6⋅x+3⋅z{\displaystyle y=6\cdot x+3\cdot z} пишется y=6x+3z{\displaystyle y=6x+3z}. Как правило, знак умножения опускают, если одним из сомножителей является однобуквенная переменная, функция или выражение в скобках: b2−4ac{\displaystyle b^{2}-4ac}, nsin⁡x{\displaystyle n\sin x}, a(b+c){\displaystyle a(b+c)}.

Традиционно при записи произведения нескольких сомножителей числа записывают перед переменными, а переменные перед функциями. Так, выражение n⋅sin⁡x⋅5⋅m{\displaystyle n\cdot \sin x\cdot 5\cdot m} будет записано как 5nmsin⁡x{\displaystyle 5nm\sin x}.

Лайфхаки для легкого изучения

  1. Если любое число умножить на 1, то оно не изменится.
  2. Умножая на 5, все примеры будут заканчиваться на эту же цифру, если нечетное, либо на 0, если четное.
  3. Умножая на 10, нужно просто добавлять нолик к той цифре, которую мы умножаем.
  4. Примеры на цифру 5 ровно в 2 раза меньше по значению, чем примеры на 10.
  5. Чтобы умножить на 2, можно просто удваивать число в уме. Например, 2 × 8 = 16, это то же самое, что 8+8 = 16.
  6. От перестановки множителей конечный результат умножения не изменится. То есть, 3 × 6 = 18 и 6 × 3 = 18. Так ребенку не нужно будет запоминать эти примеры по 2 раза. Если он выучил умножение одного числа на другое в одном столбике, то в другом он просто повторит этот результат. Такие закономерности можно найти и с другими числами, это облегчит изучение.
  7. Чтобы быстро множить на 9, напишите в столбик примеры с этой цифрой и ответы на них. Разными цветами выделите первую и вторую цифру в ответах, как показано на картинке. Так ребенку нужно будет запомнить только первое и последнее число, остальные можно поставить по алфавиту: первая цифра будет увеличиваться на 1, а вторая на 1 уменьшаться.

Умножение натуральных чисел в столбик

Порядок умножения:

1. Умножить число на число единиц трехзначного числа и получить первое неполное произведение;

2. Умножить число на число десятков трехзначного числа и получить второе неполное произведение (начинать подписывать под десятками);

3. Умножить число на число сотен трехзначного числа и получить третье неполное произведение (начинать подписывать под сотнями);

4. Сложить неполные произведения.

Рассмотрим умножение в столбик умножая на 111

Сначала умножаем единицы; при умножении на десятки дописываем справа к получившемуся произведению, при умножении на сотни — 00 и т.д. Затем складываем получившиеся числа.

Рассмотрим более сложный пример

Объяснение примера умножения в столбик:

1. Умножаем число 397 на 3 единицы второго множителя, получаем первое неполное произведение 1 191;

2. Умножаем 397 на 2 десятка второго множителя. Получаем второе неполное произведение 794;

3. Умножаем 397 на 2 сотни второго множителя. Получаем третье неполное произведение 794;

4. Складываем неполные произведения 1 191, 794 и 794, получаем 88 531.

Свойства

Далее описаны основные свойства операция умножения на числовых множествах N,Z,Q,R,C{\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }.

Умножение коммутативно, то есть от перемены мест сомножителей произведение не меняется. Свойство также известно как переместительный закон умножения:

Коммутативность: a⋅b=b⋅a;{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a;}

Умножение ассоциативно, то есть при последовательном выполнении умножения трёх или более чисел последовательность выполнения операций не имеет значения. Свойство также известно как сочетательный закон умножения:

Ассоциативность: (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c);{\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c);}

Умножение дистрибутивно, это свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве. Свойство также известно как распределительный закон:

Дистрибутивность: x⋅(a+b)=(x⋅a)+(x⋅b),∀a,b∈ A;{\displaystyle x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A;}

Относительно умножения в множестве A{\displaystyle A} существует единственный нейтральный элемент — 1{\displaystyle 1} (число «один»). Умножение любого числа на 1{\displaystyle 1} (нейтральный элемент) даёт число, равное исходному:

Нейтральный элемент: x⋅1=1⋅x=x,∃!1∈A;{\displaystyle x\cdot 1=1\cdot x=x,\quad \exists !1\in A;}

Умножение на 1{\displaystyle 1} идемпотентно, то есть повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное:

Идемпотентность: x=x⋅1=(x⋅1)⋅1=((x⋅1)⋅1)⋅…⋅1,∀x∈A,∃!1∈A;{\displaystyle x=x\cdot 1=(x\cdot 1)\cdot 1=((x\cdot 1)\cdot 1)\cdot …\cdot 1,\quad \forall x\in A,\quad \exists !1\in A;}

Умножение на 0{\displaystyle 0} (нулевой элемент) даёт 0{\displaystyle 0} (нуль):

Нулевой элемент: x⋅=⋅x=,∃!∈A.{\displaystyle x\cdot 0=0\cdot x=0,\quad \exists !0\in A.}

Операция умножения чисел, определённых на множествах N,Z,Q,R{\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }, даёт произведение, принадлежащее этому же множеству. Следовательно, операция умножения относится к замкнутым операциям, то есть множества чисел Z,Q,R{\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} } образуют кольца относительно операции умножения.

На языке общей алгебры вышеперечисленные свойства сложения говорят о том, что Z−,Q−,R−{\displaystyle \mathbb {Z} _{-0},\mathbb {Q} _{-0},\mathbb {R} _{-0}} являются абелевыми группами относительно операции умножения.

В математических выражениях операция умножения имеет более высокий приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними.

На множестве вещественных чисел область значений функции умножения графически имеет вид поверхности проходящей через начало координат и изогнутой с двух сторон в виде параболы.

Оцените статью:
Оставить комментарий
Adblock
detector