Битовые операции

Где оператор возведения в степень?

В C++ вместо оператора возведения в степень есть функция pow(), которая находится в заголовочном файле cmath. эквивалентно . Стоит отметить, что параметры pow() имеют тип double, поэтому вы можете использовать не только целые числа, но и дробные. Например:

#include <iostream>
#include <cmath> // подключаем pow()

int main()
{
std::cout << «Enter the base: «;
double base;
std::cin >> base;

std::cout << «Enter the exponent: «;
double exp;
std::cin >> exp;

std::cout << base << «^» << exp << » = » << pow(base, exp) << «\n»;

return 0;
}

В программировании

Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получения случайных чисел в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел.

Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа.
Например, в Паскале операция вычисляет остаток от деления, а операция осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается:

78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

Знак остатка

Важно отметить, что операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Тут есть два варианта:

• Знак остатка совпадает со знаком делимого: неполное частное округляет к нулю.
• Знак остатка совпадает со знаком делителя: неполное частное округляет к −∞{\displaystyle -\infty }, соответствует определению из начала статьи.

Если в языке есть оба типа остатков, каждому из них соответствует своя операция неполного частного. Обе операции имеют жизненный смысл.

• Есть сумма n копеек, положительная или отрицательная. Перевести её в рубли и копейки: и . Знак остатка совпадает со знаком делимого.
• Есть бесконечное клеточное поле, каждая клетка 16×16 пикселей. В какую клетку попадает точка (x, y), и каковы координаты относительно верхнего левого угла клетки? Ответ: и соответственно. Знак остатка совпадает со знаком делителя.

Как запрограммировать, если такой операции нет?

Неполное частное можно вычислить через деление и взятие целой части: q=ab{\displaystyle q=\left}, где x{\displaystyle }, в зависимости от задачи, может быть «полом» или усечением. Однако деление здесь получается дробное, которое намного медленнее целого. Такой алгоритм используется в языках, в которых нет целых типов (отдельные электронные таблицы, программируемые калькуляторы и математические программы), а также в скриптовых языках, в которых издержки интерпретации намного превышают издержки дробной арифметики (Perl, PHP).

При отсутствии команды остаток программируется как a−qb{\displaystyle a-qb}.

Если b{\displaystyle b} положительно, а знак r{\displaystyle r} совпадает со знаком делимого, не определён или неизвестен, для нахождения минимального неотрицательного остатка можно воспользоваться формулой r′=(b+(amod⁡b))mod⁡b{\displaystyle r’=(b+(a\operatorname {mod} b))\operatorname {mod} b}.

Неполное частное и неотрицательный остаток от деления на степень двойки 2n{\displaystyle 2^{n}} — это битовый сдвиг a≫n{\displaystyle a\gg n} (для чисел со знаком — арифметический) и a&⁡(2n−1){\displaystyle a\mathop {\&} (2^{n}-1)}.

Деление (/)

Сложение, вычитание и умножение тривиальны, а вот с делением не всё так просто. В Python существует три вида деления и столько же разных операторов. Начнём с истинного деления, за которое отвечает оператор «». Его главным отличием является то, что, вне зависимости от типов операндов, будет возвращен вещественный результат ().

Этот вид деления наиболее близок к обычному и знакомому нам математическому. И здесь тоже нельзя делить на ноль:

Немного истории. В старых версиях Питон оператор «/» выполнял операцию классического деления: т.е. он делил целочисленно и усекал дробную часть в том случае, когда делимое и делитель были целыми. Если же операнды принадлежали к множеству вещественных чисел, то проводилось деление с сохранением дробной части, и результат был float.

Разработчики отказались от классического деления в Python 3.0 и вместо него добавили истинное деление. Архитекторы языка пошли на такой шаг по той причине, что в предыдущей модели классического деления результаты напрямую зависели от типов операндов. Из-за этого возникали трудности с их предварительной идентификацией и оценкой, что было особенно критично для Питона, как для языка с динамической типизацией.

Оператор остатка %Remainder operator %

Оператор остатка вычисляет остаток от деления левого операнда на правый.The remainder operator computes the remainder after dividing its left-hand operand by its right-hand operand.

Целочисленный остатокInteger remainder

Для целочисленных операндов результатом является значение, произведенное .For the operands of integer types, the result of is the value produced by . Знак ненулевого остатка такой же, как и у левого операнда, как показано в следующем примере:The sign of the non-zero remainder is the same as that of the left-hand operand, as the following example shows:

Используйте метод Math.DivRem для вычисления результатов как целочисленного деления, так и определения остатка.Use the Math.DivRem method to compute both integer division and remainder results.

Остаток с плавающей запятойFloating-point remainder

Для операндов типа и результатом для конечных и будет значение , так что:For the and operands, the result of for the finite and is the value such that

• знак , если отлично от нуля, совпадает со знаком ;The sign of , if non-zero, is the same as the sign of .
• абсолютное значение является значением, произведенным , где  — это наибольшее возможное целое число, которое меньше или равно , а и являются абсолютными значениями и , соответственно.The absolute value of is the value produced by where is the largest possible integer that is less than or equal to and and are the absolute values of and , respectively.

Примечание

Этот метод вычисления остатка аналогичен тому, который использовался для целочисленных операндов, но отличается от спецификации IEEE 754.This method of computing the remainder is analogous to that used for integer operands, but different from the IEEE 754 specification. Если вам нужна операция вычисления остатка, которая соответствует спецификации IEEE 754, используйте метод Math.IEEERemainder.If you need the remainder operation that complies with the IEEE 754 specification, use the Math.IEEERemainder method.

Сведения о поведение оператора в случае неконечных операндов см. в разделе спецификации языка C#.For information about the behavior of the operator with non-finite operands, see the section of the C# language specification.

Для операндов оператор остатка эквивалентен типа System.Decimal.For the operands, the remainder operator is equivalent to the of the System.Decimal type.

В следующем примере показано поведение оператора остатка для операндов с плавающей запятой:The following example demonstrates the behavior of the remainder operator with floating-point operands:

Использование оператора static_cast в операциях деления

На уроке №35 мы уже использовали оператор для вывода ASCII-символов в виде целых чисел.

Аналогичным образом мы можем использовать для конвертации целого числа в число типа с плавающей точкой. Таким образом, вместо целочисленного деления выполнится деление типа с плавающей точкой. Например:

#include <iostream>

int main()
{
int x = 7;
int y = 4;

std::cout << «int / int = » << x / y << «\n»;
std::cout << «double / int = » << static_cast<double>(x) / y << «\n»;
std::cout << «int / double = » << x / static_cast<double>(y) << «\n»;
std::cout << «double / double = » << static_cast<double>(x) / static_cast<double>(y) << «\n»;

return 0;
}

Результат выполнения программы:

Побитовые операторы присваивания

Как и в случае с арифметическими операторами присваивания, язык C++ предоставляет побитовые операторы присваивания для облегчения внесения изменений в переменные.

Например, вместо мы можем написать .

Допустимые имена для переменных

Идентификаторы переменных могут содержать в себе:

• латинские буквы;
• цифры;
• знак нижнего подчёркивания.

При этом название не может начинаться с цифр. Примеры названий:

• age;
• name;
• _sum;
• first_name;
• a1;
• a2;
• a_5.

Все идентификаторы регистрозависимы. Это значит, что name и Name — разные переменные.

Рекомендуется давать именам простые названия на английском языке, чтобы код был понятен и вам, и другим людям. Например:

• price, а не stoimost;
• currentId, а не pupa;
• carsCount, а не lupa и так далее.

Если название должно состоять из нескольких слов, то рекомендуется использовать camelCase (с англ. «верблюжий регистр»): первое слово пишется со строчной буквы, а каждое последующее — с заглавной.

Деление целочисленных переменных

В языке C++ при делении двух целых чисел, где результатом является другое целое число, всё довольно предсказуемо:

#include <iostream>

int main()
{
std::cout << 20 / 4 << std::endl;
return 0;
}

Результат:

Но что произойдет, если в результате деления двух целых чисел мы получим дробное число? Например:

#include <iostream>

int main()
{
std::cout << 8 / 5 << std::endl;
return 0;
}

Результат:

В языке C++ при делении целых чисел результатом всегда будет другое целое число. А такие числа не могут иметь дробь (она просто отбрасывается, не округляется!).

Рассмотрим детально пример выше: . Но, как мы уже знаем, при делении целых чисел, результатом является другое целое число. Таким образом, дробная часть () значения отбрасывается и остается .

Правило: Будьте осторожны при делении целых чисел, так как любая дробная часть всегда отбрасывается.

Решение

Похоже, вы на правильном пути … просто сделайте это.

если у меня есть эти двоичные числа, я умножаю

где a, b, c, d — просто биты, один или ноль, которые пока не имеют значения, и вы поймете, почему

1011, как вы знаете, это 1 * (2 ^ 0) +1 (2 ^ 1) + 0 * (2 ^ 2) +1 (2 ^ 3).

точно так же, как математика начальной школы, но проще, так как нас интересуют только 1 и 0, а не 9 к 0 ..

и если лампочка еще не погасла, тогда

Затем вы складываете эти значения.

Что должно быть довольно легко реализовать в сборке. Используя простой калькулятор (хорошо использующий гексагональный калькулятор), вы можете очень быстро увидеть, что 0xFF * 0xFF = 0xFE01, и если вы продолжаете пробовать что-то, вы должны понимать, что он может занимать вдвое больше битов, чем ширина операнда для держи результат. Если вы умножите два 8-битных числа, для обработки всех возможных комбинаций вам понадобятся 16-битные результаты. Сейчас слишком много процессоров, которые имеют множитель, на самом деле не делают это таким образом, заставляя процессоры размножаться несколько бесполезно IMO. Таким образом, вы можете выбрать простое 32-битное = 32-битное * 32-битное или попробовать что-то подобное выше и сделать 64-битное = 32-битное * 32-битное (при условии, что компилятор интерпретирует длины long и int так, как я предполагаю, что они ). Возможно, вы захотите начать с 32 бит = 32 бит * 32 бит и перейти оттуда. это становится довольно сложно, другая тема. (что также может быть легко смоделировано в примере C, довольно тривиально, но не так тривиально, как это показано ниже).

Отрицательные силы? хорошо, если 2 ^ 4 означает сдвиг влево 4, то 2 ^ (- 4) будет означать сдвиг вправо 4 да? это охватывает негативные силы.

Так же, как с плавающей точкой, вам нужно произвольно выбрать, где находится десятичная точка, и нормализовать ее. Так что, если вам нужно 4 бита дроби и 28 бит целого числа, то если вы хотите умножить 5 * 7, вам нужно настроить эти числа на 5<<4 и 7<<4 нормализуя их по вашему десятичному расположению. Умножение 0b1010000 и 0b1110000 дает результат 0b1000110000. 35 (0x23) без дроби. первый бит справа от вашего воображаемого десятичного знака равен 2 ^ -1 или 1/2, следующий бит больше 2 ^ -2 или 1/4 и т. д.

Это то, как работает число с плавающей запятой, но оно делает это в основном в стиле научной нотации с большей частью числа справа от десятичного знака. Точно так же, как и в математике научных обозначений средней или старшей школы, вы должны следовать этим правилам для подготовки ваших чисел до и после простой математической операции. экспоненты должны совпадать, прежде чем вы сможете добавить, например, умножение они не делают, но вы добавляете экспоненты, а также умножаете числовую часть …

Зачем нужны побитовые операторы?

В далеком прошлом компьютерной памяти было очень мало и ею сильно дорожили. Это было стимулом максимально разумно использовать каждый доступный бит. Например, в логическом типе данных bool есть всего лишь два возможных значения (true и false), которые могут быть представлены одним битом, но по факту занимают целый байт памяти! А это, в свою очередь, из-за того, что переменные используют уникальные адреса памяти, а они выделяются только в байтах. Переменная bool занимает 1 бит, а другие 7 бит — тратятся впустую.

Используя побитовые операторы, можно создавать функции, которые позволят уместить 8 значений типа bool в переменную размером 1 байт, что значительно сэкономит потребление памяти. В прошлом такой трюк был очень популярен. Но сегодня, по крайней мере, в прикладном программировании, это не так.

Теперь памяти стало существенно больше и программисты обнаружили, что лучше писать код так, чтобы было проще и понятнее его поддерживать, нежели усложнять его ради незначительной экономии памяти. Поэтому спрос на использование побитовых операторов несколько уменьшился, за исключением случаев, когда необходима уж максимальная оптимизация (например, научные программы, которые используют огромное количество данных; игры, где манипуляции с битами могут быть использованы для дополнительной скорости; встроенные программы, где память по-прежнему ограничена).

В языке С++ есть 6 побитовых операторов:

В побитовых операциях следует использовать только целочисленные типы данных unsigned, так как C++ не всегда гарантирует корректную работу побитовых операторов с целочисленными типами signed.

Правило: При работе с побитовыми операторами используйте целочисленные типы данных unsigned.

Диапазоны значений и знак целочисленных типов данных

Как вы уже знаете из предыдущего урока, переменная с n-ным количеством бит может хранить 2n возможных значений. Но что это за значения? Это значения, которые находятся в диапазоне. Диапазон — это значения от и до, которые может хранить определенный тип данных. Диапазон целочисленной переменной определяется двумя факторами: её размером (измеряется в битах) и её знаком (который может быть signed или unsigned).

Целочисленный тип signed (со знаком) означает, что переменная может содержать как положительные, так и отрицательные числа. Чтобы объявить переменную как signed, используйте ключевое слово :

signed char c;
signed short s;
signed int i;
signed long l;
signed long long ll;

По умолчанию, ключевое слово пишется перед типом данных.

1-байтовая целочисленная переменная со знаком (signed) имеет диапазон значений от -128 до 127, т.е. любое значение от -128 до 127 (включительно) может храниться в ней безопасно.

В некоторых случаях мы можем заранее знать, что отрицательные числа в программе использоваться не будут. Это очень часто встречается при использовании переменных для хранения количества или размера чего-либо (например, ваш рост или вес не может быть отрицательным).

Целочисленный тип unsigned (без знака) может содержать только положительные числа. Чтобы объявить переменную как unsigned, используйте ключевое слово :

unsigned char c;
unsigned short s;
unsigned int i;
unsigned long l;
unsigned long long ll;

1-байтовая целочисленная переменная без знака (unsigned) имеет диапазон значений от 0 до 255.

Обратите внимание, объявление переменной как unsigned означает, что она не сможет содержать отрицательные числа (только положительные). Теперь, когда вы поняли разницу между signed и unsigned, давайте рассмотрим диапазоны значений разных типов данных:

Теперь, когда вы поняли разницу между signed и unsigned, давайте рассмотрим диапазоны значений разных типов данных:

Для математиков: Переменная signed с n-ным количеством бит имеет диапазон от -(2n-1) до 2n-1-1. Переменная unsigned с n-ным количеством бит имеет диапазон от 0 до (2n)-1.

Для нематематиков: Используем таблицу

Начинающие программисты иногда путаются между signed и unsigned переменными. Но есть простой способ запомнить их различия. Чем отличается отрицательное число от положительного? Правильно! Минусом спереди. Если минуса нет, значит число — положительное. Следовательно, целочисленный тип со знаком (signed) означает, что минус может присутствовать, т.е. числа могут быть как положительными, так и отрицательными. Целочисленный тип без знака (unsigned) означает, что минус спереди отсутствует, т.е. числа могут быть только положительными.

Свойства

Далее описаны основные свойства операция умножения на числовых множествах N,Z,Q,R,C{\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }.

Умножение коммутативно, то есть от перемены мест сомножителей произведение не меняется. Свойство также известно как переместительный закон умножения:

Коммутативность: a⋅b=b⋅a;{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a;}

Умножение ассоциативно, то есть при последовательном выполнении умножения трёх или более чисел последовательность выполнения операций не имеет значения. Свойство также известно как сочетательный закон умножения:

Ассоциативность: (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c);{\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c);}

Умножение дистрибутивно, это свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве. Свойство также известно как распределительный закон:

Дистрибутивность: x⋅(a+b)=(x⋅a)+(x⋅b),∀a,b∈ A;{\displaystyle x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A;}

Относительно умножения в множестве A{\displaystyle A} существует единственный нейтральный элемент — 1{\displaystyle 1} (число «один»). Умножение любого числа на 1{\displaystyle 1} (нейтральный элемент) даёт число, равное исходному:

Нейтральный элемент: x⋅1=1⋅x=x,∃!1∈A;{\displaystyle x\cdot 1=1\cdot x=x,\quad \exists !1\in A;}

Умножение на 1{\displaystyle 1} идемпотентно, то есть повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное:

Идемпотентность: x=x⋅1=(x⋅1)⋅1=((x⋅1)⋅1)⋅…⋅1,∀x∈A,∃!1∈A;{\displaystyle x=x\cdot 1=(x\cdot 1)\cdot 1=((x\cdot 1)\cdot 1)\cdot …\cdot 1,\quad \forall x\in A,\quad \exists !1\in A;}

Умножение на 0{\displaystyle 0} (нулевой элемент) даёт 0{\displaystyle 0} (нуль):

Нулевой элемент: x⋅=⋅x=,∃!∈A.{\displaystyle x\cdot 0=0\cdot x=0,\quad \exists !0\in A.}

Операция умножения чисел, определённых на множествах N,Z,Q,R{\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }, даёт произведение, принадлежащее этому же множеству. Следовательно, операция умножения относится к замкнутым операциям, то есть множества чисел Z,Q,R{\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} } образуют кольца относительно операции умножения.

На языке общей алгебры вышеперечисленные свойства сложения говорят о том, что Z−,Q−,R−{\displaystyle \mathbb {Z} _{-0},\mathbb {Q} _{-0},\mathbb {R} _{-0}} являются абелевыми группами относительно операции умножения.

В математических выражениях операция умножения имеет более высокий приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними.

На множестве вещественных чисел область значений функции умножения графически имеет вид поверхности проходящей через начало координат и изогнутой с двух сторон в виде параболы.

Унарные арифметические операторы

Существуют два унарных арифметических оператора: плюс () и минус (). Унарные операторы — это операторы, которые применяются только к одному операнду.

Унарный оператор возвращает значение операнда. Другими словами,  или . Унарный плюс вам, скорее всего, не придётся использовать. Его по большей части добавили в качестве симметрии с унарным оператором минус. Унарный оператор минус возвращает операнд, умноженный на . Например, если , то .

Оба этих оператора пишутся непосредственно перед самим операндом, без пробела (, а не ).

Не следует путать унарный оператор минус с бинарным оператором вычитания, хоть они и используют один и тот же символ. Например, в выражении , первый минус — это оператор вычитания, а второй — унарный минус.

Ассоциативность операций

Ассоциативность – это свойство операций, которое позволяет определить последовательность их выполнения при равном приоритете.

Существуют два типа ассоциативности:

• левоассоциативные операции – выполняются в порядке слева направо;
• правоассоциативные – справа налево;

Большинство операторов языка C# относятся к первому типу. Во второй входят префиксные инкремент и декремент.

Исходя из этого, выражение b = 45 * 12 — 3 / 4 воспринимается компилятором как b = (45 * 12) — (3 / 4).

При выполнении сложных математических расчетов, разбивайте длинные выражения на несколько простых, используйте скобки, если приоритет выполнения операций не очевиден. Это улучшит читабельность кода программы и позволит избежать непонятных ситуаций.

Основная терминология

Про оператор AX→Y{\displaystyle A:X\to Y} говорят, что он действует из множества X{\displaystyle X} во множество Y{\displaystyle Y}. Оператор может быть не всюду определён на X{\displaystyle X}; тогда говорят о его области определения DA=D(A)⊂X{\displaystyle D_{A}=D(A)\subset X}. Для x∈X{\displaystyle x\in X} результат применения оператора A{\displaystyle A} к x{\displaystyle x} обозначают A(x){\displaystyle A(x)} или Ax{\displaystyle Ax}.

Если X{\displaystyle X} и Y{\displaystyle Y} — векторные пространства, то в множестве всех операторов из X{\displaystyle X} в Y{\displaystyle Y} можно выделить класс линейных операторов.

Если X{\displaystyle X} и Y{\displaystyle Y} — векторные топологические пространства, то в множестве операторов из X{\displaystyle X} в Y{\displaystyle Y} естественно выделяется класс непрерывных операторов, а также класс линейных ограниченных операторов и класс линейных компактных операторов (называемые также вполне непрерывными).

Побитовый сдвиг влево ()

В языке C++ количество используемых бит основывается на размере типа данных (в 1 байте находятся 8 бит). Оператор побитового сдвига влево () сдвигает биты влево. Левый операнд является выражением, в котором они сдвигаются, а правый — количество мест, на которые нужно сдвинуть. Поэтому в выражении мы имеем в виду «сдвинуть биты влево в литерале 3 на одно место».

Примечание: В следующих примерах мы будем работать с 4-битными двоичными значениями.

Рассмотрим число 3, которое в двоичной системе равно 0011:

В последнем третьем случае, один бит перемещается за пределы самого литерала! Биты, сдвинутые за пределы двоичного числа, теряются навсегда.

Оператор побитового сдвига вправо () сдвигает биты вправо. Например:

В третьем случае мы снова переместили бит за пределы литерала. Он также потерялся навсегда.

Хотя в примерах, приведенных выше, мы смещаем биты только в литералах, мы также можем смещать биты и в переменных:

unsigned int x = 4;
x = x << 1; // x должен стать равным 8

Следует помнить, что результаты операций с побитовыми сдвигами в разных компиляторах могут отличаться.