Энергия электрического поля конденсатора

Введение в плотность энергии

Есть много различных типов энергии, сохраненной в материалах, и она берет особый тип реакции выпустить каждый тип энергии. В порядке типичной величины выпущенной энергии эти типы реакций: ядерный, химический, электрохимический, и электрический.

Химические реакции используются животными, чтобы получить энергию из еды, и автомобилями, чтобы получить энергию из бензина. Электрохимические реакции используются наиболее мобильными устройствами, такими как ноутбуки и мобильные телефоны, чтобы выпустить энергию от батарей.

Плотность энергии общих материалов аккумулирования энергии

Ниже представлен список тепловой плотности энергии обычно используемых или известных материалов аккумулирования энергии; это не включает необычные или экспериментальные материалы

Обратите внимание на то, что этот список не считает массу реагентов обычно доступной, таких как кислород требуемый для сгорания или эффективности использования энергии в использовании

Следующие преобразования единицы могут быть полезными, рассматривая данные в столе: 1 МДж ≈ 0,28 кВт·ч ≈ 0,37 лошадиная сила-час.

Работа электрического поля по перемещению заряда

Понятие работы A{\displaystyle A} электрического поля E{\displaystyle E} по перемещению заряда Q{\displaystyle Q} вводится в полном соответствии с определением механической работы:

A=∫F(x)dx=∫Q⋅E(x)dx=Q⋅U,{\displaystyle A=\int F(x)\,dx=\int Q\cdot E(x)\,dx=Q\cdot U,}

где U=∫Edx{\displaystyle U=\int E\,dx} — разность потенциалов (также употребляется термин напряжение).

Во многих задачах рассматривается непрерывный перенос заряда в течение некоторого времени между точками с заданной разностью потенциалов U(t){\displaystyle U(t)}, в таком случае формулу для работы следует переписать следующим образом:

A=∫U(t)dQ=∫U(t)I(t)dt,{\displaystyle A=\int U(t)\,dQ=\int U(t)I(t)\,dt,}

где I(t)=dQdt{\displaystyle I(t)={dQ \over dt}} — сила тока.

Энергия заряженной сферы(еще раз).

Вновь вернемся к задаче о заряженной сфере. Добавим вокруг нее среду с диэлектрической проницаемостью
e. Рассчитаем еще двумя способами ее энергию.
Емкость ее известна (15.10), тогда по (16.26)

Теперь рассчитаем энергию поля, созданного этой сферой, не забыв о том, что внутри поля нет.

    (16.33)

Как и ожидалось, результаты (16.24), (16.32) и (16.33) совпадают.

Формула индуктивного сопротивления катушки

Вычислить величину сопротивления дросселя XL можно, воспользовавшись следующей формулой:

XL=2πfL.

Здесь буква L обозначает параметр индуктивности дроссели, а f – токовую частоту. Исходя из этого выражения, поначалу попадающий на обмотку ток будет пропорциональным электротоку большой чистоты. В это время дроссель проявляет поведение, аналогичное ситуации цепного разрыва, с сильным повышением индуктивного сопротивления. С течением времени последнее падает до нулевого значения.

Вмонтированная в лампу нитка отличается высоким показателем сопротивления, тогда как активный показатель обмотки, напротив, стремится к нулю. Из-за этого возникает ситуация, когда почти весь цепной ток проходит через дроссель. Когда цепь размыкают при помощи ключа, лампа не затухает постепенно. Напротив, она сначала резко начинает гореть интенсивно, потом – медленно угасать. Чтобы лампа горела, требуется энергетический ресурс. Он поступает из магнитного поля, генерируемого индуктивной катушкой. Таким образом, дроссель проявляет себя источником самоиндукции.

В рассмотренном примере катушка с обмотками, подключенная в цепь, выступает как источник магнитного поля. Поскольку в такой ситуации это поле не является однородным, для выполнения расчетов необходимо использование показателя, характеризующего концентрацию и распределение энергии в поле. Можно заключить, что смысл введения параметра плотности поля состоит именно в этом.

Работа электрического поля по перемещению заряда

Понятие работы A{\displaystyle A} электрического поля E{\displaystyle E} по перемещению заряда Q{\displaystyle Q} вводится в полном соответствии с определением механической работы:

A=∫F(x)dx=∫Q⋅E(x)dx=Q⋅U,{\displaystyle A=\int F(x)\,dx=\int Q\cdot E(x)\,dx=Q\cdot U,}

где U=∫Edx{\displaystyle U=\int E\,dx} — разность потенциалов (также употребляется термин напряжение).

Во многих задачах рассматривается непрерывный перенос заряда в течение некоторого времени между точками с заданной разностью потенциалов U(t){\displaystyle U(t)}, в таком случае формулу для работы следует переписать следующим образом:

A=∫U(t)dQ=∫U(t)I(t)dt,{\displaystyle A=\int U(t)\,dQ=\int U(t)I(t)\,dt,}

где I(t)=dQdt{\displaystyle I(t)={dQ \over dt}} — сила тока.

Мощность электрического тока в цепи

Мощность W{\displaystyle W} электрического тока для участка цепи определяется обычным образом, как производная от работы A{\displaystyle A} по времени, то есть выражением:

W(t)=dAdt=U(t)⋅I(t),{\displaystyle W(t)={\frac {dA}{dt}}=U(t)\cdot I(t),}

Это наиболее общее выражение для мощности в электрической цепи.

С учётом закона Ома

U=I⋅R{\displaystyle U=I\cdot R}

электрическую мощность, выделяемую на сопротивлении R{\displaystyle R}, можно выразить как через ток

W=I(t)2⋅R,{\displaystyle W=I(t)^{2}\cdot R,}

так и через напряжение:

W=U(t)2R.{\displaystyle W={{U(t)^{2}} \over R}.}

Соответственно, работа (выделившаяся теплота) является интегралом мощности по времени:

A=∫W(t)dt=∫I(t)2⋅Rdt=∫U(t)2Rdt.{\displaystyle A=\int W(t)\,dt=\int I(t)^{2}\cdot R\,dt=\int {{U(t)^{2}} \over R}\,dt.}

Энергия конденсатора.

Известно, что если взять заряженный конденсатор и замкнуть его обкладки через сопротивление,
то по цепи потечет ток, проводник нагреется, выделится какое-то количество теплоты.
Следовательно, заряженный конденсатор обладал запасом энергии.

Перекидывая ключ на схеме (рис.16.3)(попробуйте это сделать движением мыши), можно периодически заряжать конденсатор
от источника и разряжать его через резистор. Лампочка при этом будет на короткое
время вспыхивать. Найдем выражение для энергии плоского конденсатора, используя
(16.6). Нас очень выручит то, что поле между обкладками этого конденсатора однородно. Тогда

Оказывается, что это выражение справедливо для любого конденсатора. Кроме того, учтем,
что часто используют понятие напряжения U,
как модуля разности (или изменения) потенциалов. В электростатике это справедливо.
Более подробно мы разберем понятие напряжения в лекции №18.

Учитывая вышесказанное и (15.3), энергию конденсатора можно записать как

Все три формы записи эквивалентны и применяются при решении задач в зависимости от того,
какая из величин остается постоянной.

Сила взаимодействия пластин конденсатора.

Ранее отмечалось, что для любого потенциального поля выполняется следующее соотношение между силой и энергией

Тогда несложно рассчитать силу взаимодействия между пластинами плоского конденсатора.

Через характеристики поля:

Следовательно, сила, приходящаяся на единицу площади пластин конденсатора, численно равна плотности энергии.
Как и следовало ожидать это сила притяжения, так как пластины заряжены разноименно.

Через энергию конденсатора (16.26) расчет еще проще

Эта формула в точности совпадает с (12.10).

Заметим, что сила стремится уменьшить область пространства, заполненного электрическим полем,
то есть уменьшить потенциальную энергию в соответствии с принципом минимума потенциальной энергии.

Определение понятия и формула расчета

Вектор напряженности (E) — сила, действующая на бесконечно малый ток в рассматриваемой точке. Формула для определения параметра выглядит следующим образом:

Где:

• F- сила, которая действует на заряд;
• q –величина заряда.

Заряд, принимающий участие в исследовании, называется пробным. Он должен быть незначительным, чтобы не искажать результаты. При идеальных условиях в роли q выступает позитрон.

Стоит отметить, что величина относительна, ее количественная характеристика и направление зависят от координат и при смещении изменится.

Исходя из закона кулона сила, действующая на тело, равняется произведению потенциалов, деленному на квадрат расстояния между телами.

F=q_1*q₂/r2

Из этого следует, что напряженность в данной точке пространства прямо пропорциональна потенциалу источника и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. В общем, символическом случае уравнение записывается следующим образом:

E=q/r2

Исходя из уравнения, единица измерения электрического поля – Вольт на метр. Это же обозначение принято системой СИ. Имея значение параметра, можно вычислить силу, которая будет действовать на тело в исследуемой точке, а зная силу — найти напряженность электрического поля.

По формуле видно, что результат абсолютно не зависит от пробного заряда. Это необычно, так как данный параметр присутствует в первоначальном уравнении. Однако это логично, потому что источником является основной, а не пробный излучатель. В реальных условиях данный параметр имеет влияние на измеряемые характеристики и выдает искажение, что обуславливает использование позитрона для идеальных условий.

Так как напряженность – векторная величина, кроме значения она имеет направление. Вектор направлен от основного источника к исследуемому, или от пробного заряда к основному. Это зависит от полярности. Если знаки одинаковые, то происходит отталкивание, вектор направлен к исследуемой точке. Если точки заряжены разнополярно, то источники притягиваются. В этом случае принято считать, что вектор силы направлен от положительного источника к отрицательному.

Объемная плотность магнитной энергии

Формула нахождения объемной плотности энергии имеет такой вид:

ω=W/V.

Под ω здесь подразумевается собственно искомая плотность, под W – энергия имеющегося поля, под V – объем пространства, в котором поле проявляет активность. Если выразить значение W через магнитную проницаемость µ и индукцию В и подставить в формулу, она приобретет следующий вид:

ω=В2/2* µ0* µ (здесь µ0 – это магнитная постоянная).

Преобразование с использованием вектора индукции применяется, чтобы исключить привязку активного магнитного поля к особенностям дросселя. Формула для вычисления индукционной характеристики выглядит так:

B= µ0* µ*I*n.

I здесь – токовая сила в катушечной цепочке, через n выражается такая величина, как плотность обмотки. Она равна частному количества витков в соленоидной обмотке и длины фрагмента, на котором размещены витки. Тогда формула для W

W= В2*V/2* µ0* µ.

Подставив выражение в основную формулу плотности, можно привести его к ранее обозначенному виду.

Плотность энергии идеального газа

Плотность энергии идеального газа может быть вычислена через давление, либо через молекулярную/молярную плотность и температуру:

W=1γ−1p=1γ−1nkT=1γ−1νRT=1γ−1ρMRT{\displaystyle W={\frac {1}{\gamma -1}}p={\frac {1}{\gamma -1}}nkT={\frac {1}{\gamma -1}}\nu RT={\frac {1}{\gamma -1}}{\frac {\rho }{M}}RT}

где:

γ{\displaystyle \gamma } — показатель адиабаты;

n{\displaystyle n} — число молекул в единице объёма;

k{\displaystyle k} — постоянная Больцмана;

T{\displaystyle T} — абсолютная температура;

ν{\displaystyle \nu } — молярная плотность;

R{\displaystyle R} — газовая постоянная;

ρ{\displaystyle \rho } — плотность;

M{\displaystyle M} — молярная масса.

Конденсатор с частичным заполнением-1.

В качестве дополнительной тренировки рассчитаем силу,
действующую на единице поверхности диэлектрика, если заряженный конденсатор
заполнен им не полностью, а частично. Конденсатор отключен от источника питания.

Сначала рассмотрим следующую конфигурацию (рис.16.6).
Данный конденсатор можно рассматривать как два конденсатора, соединенных последовательно.
Тогда их емкости соответственно

и
, а общая емкость

Энергия конденсатора

Тогда в соответствии с (16.34)

    (16.54)

Если e₁<e₂,
то F_x<0.
Если e₁>e₂,
то F_x>0.
Очевидно, что диэлектрик втягивается в область с меньшей диэлектрической
проницаемостью. Направление силы легко было определить, как силу, действующую
со стороны поля на поляризационный заряд. И, наконец, если конденсатор заполнится
полностью диэлектриком с большей диэлектрической проницаемостью, то его энергия
станет меньше в соответствии с принципом минимума.

Выразим формулу (16.54) через характеристики поля, учитывая, что
Q=sS=DS. Заметим, что индукции по обе стороны от границы одинаковы. Тогда

Следовательно, сила, приходящаяся на единицу площади пластин конденсатора, численно равна разности
плотности энергий

Сравните с (16.38) и вспомните, что снаружи конденсатора
поля нет. Заметим только, что (16.38) — это сила, действующая на заряженную
пластину (обкладку), а (16.57) — сила, действующая на поверхность диэлектрика.
Они отличаются знаками, но по модулю равны, ведь третий закон Ньютона должен выполняться и здесь.

Эту же формулу можно получить быстрее, используя (16.30) и (16.31).

где V₁=Sx, V₂=S(d-x)
— объемы областей, заполненных каждым диэлектриком. При смещении границы плотности
энергии не меняются. После дифференцирования вновь получаем формулу (16.57).

Плотность энергии различных систем

В таблице приведена плотность энергии замкнутых систем, включая дополнительные внешние компоненты, такие как окислители или источники тепла, но исключая энергию покоя системы в конечном состоянии. 1 МДж ≈ 278 Вт·ч.

Плотность энергии упругого тела

При линейной деформации плотность энергии, запасаемая упругим телом, равна:

W=12τijεij=12cijklεijεkl{\displaystyle W={\frac {1}{2}}\tau _{ij}\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}c_{ijkl}\varepsilon _{ij}\varepsilon _{kl}}

где εij{\displaystyle \varepsilon _{ij}} — тензор деформации, τij{\displaystyle \tau _{ij}} — тензор напряжений, cijkl{\displaystyle c_{ijkl}} — тензор упругости.

В простейшем случае (сжатие-растяжение) плотность упругой энергии равна

W=Eε22{\displaystyle W={\frac {E\varepsilon ^{2}}{2}}}

где ε{\displaystyle \varepsilon } — относительная деформация, E{\displaystyle E} — модуль Юнга.

Свободные электромагнитные колебания. Колебательный контур

Электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.

Колебательный контур — это замкнутый контур, образованный последовательно соединенными конденсатором и катушкой.

Сопротивление катушки ​\( R \)​ равно нулю.

Если зарядить конденсатор до напряжения ​\( U_m \)​, то в начальный момент времени ​\( t_1=0 \)​, напряжение на конденсаторе будет равно ​\( U_m \)​. Заряд конденсатора в этот момент времени будет равен ​\( q_m=CU_m \)​. Сила тока равна нулю.

Полная энергия системы будет равна энергии электрического поля:

Конденсатор начинает разряжаться, по катушке начинает течь ток. Вследствие самоиндукции в катушке конденсатор разряжается постепенно.

Ток достигает своего максимального значения ​\( I_m \)​ в момент времени ​\( t_2=T/4 \)​. Заряд конденсатора в этот момент равен нулю, напряжение на конденсаторе равно нулю.

Полная энергия системы в этот момент времени равна энергии магнитного поля:

В следующий момент времени ток течет в том же направлении, постепенно (вследствие явления самоиндукции) уменьшаясь до нуля. Конденсатор перезаряжается. Заряды обкладок имеют заряды, по знаку противоположные первоначальным.

В момент времени ​\( t_3=T/2 \)​ заряд конденсатора равен ​\( q_m \)​, напряжение равно ​\( U_m \)​, сила тока равна нулю.

Полная энергия системы равна энергии электрического поля конденсатора.

Затем конденсатор снова разряжается, но ток через катушку течет в обратном направлении.

В момент времени ​\( t_4=3T/4 \)​ сила тока в катушке достигает максимального значения, напряжение на конденсаторе и его заряд равны нулю. С этого момента ток в катушке начинает убывать, но не сразу (явление самоиндукции). Энергия магнитного поля переходит в энергию электрического поля. Конденсатор начинает заряжаться, и через некоторое время его заряд равен первоначальному, а сила тока станет равной нулю.

Через время, равное периоду ​\( T \)​, система возвращается в начальное состояние. Совершилось одно полное колебание, дальше процесс повторяется.

Важно!Колебания, происходящие в колебательном контуре, – свободные. Они совершаются без какого-либо внешнего воздействия — только за счет энергии, запасенной в контуре

В контуре происходят превращения энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. В любой произвольный момент времени полная энергия в контуре равна:

где ​\( i, u, q \)​ – мгновенные значения силы тока, напряжения, заряда в любой момент времени.

Эти колебания являются затухающими. Амплитуда колебаний постепенно уменьшается из-за электрического сопротивления проводников.