Тригонометрия. свойства, графики тригонометрических функций

Тригонометрические функции и их значение в изучении геометрии

В геометрии особую роль имеют тригонометрические функции, при помощи которых определяют, как относятся между собой стороны и углы прямоугольного треугольника. Конечно, тригонометрия не стоит на месте и со времен Евклида она намного шагнула вперёд и теперь может эти функции могут выражаться через решение дифференциальных уравнений.

В данный момент используются шесть обозначений для основных тригонометрических функций, причем четыре функции из шести, они стоят в ряду последними, можно определять не только с помощью геометрии.

Синус (sin)            

Косинус (cos)        

Тангенс (tg/tan)      

Котангенс (ctg/cot)  

Секанс (sec)            

Косеканс (cosec/csc) 

Рассмотрим сам прямоугольный треугольник, обозначения его сторон и углов во всех справочниках, как обычно, стандартные, какой бы стороной он не лежал бы на плоскости.

В этом треугольнике различают три угла, обозначаемые α, β, γ, при этом γ всегда 90°. Сторона, лежащая напротив прямого угла γ, называется гипотенузой, она обозначается буквой С. Угол α, с него начинаются все расчеты, находится напротив стороны а / ВС/, называемой противолежащей к этому углу, и сторона b /АС/, которая находится рядом, подлежит к этому углу и называется прилежащей.

По Евклидовой теории, которая верна до сих пор (и будет верна всегда), суммы углов такого треугольника, который находится в одной плоскости, будет равна 180 или числу π. И значение любого угла будут находиться в пределах между 0 и π /2.

Тогда тригонометрические функции можно выразить через размеры сторон этого треугольника. Так как угол α является первым и в греческом алфавите и в нашем треугольнике, начинаем знакомство с функциями через этот угол.

  • Синус α выражается через отношение катета, который лежит напротив этого угла, к гипотенузе нашего треугольника, то есть sin α = а: с.
  • Косинус α выражается через отношение катета, который прилежит к углу α, и гипотенузы с, cos α = b: с. Кстати, sin β = α: с, что позволяет принять то, что sin α равен cos β и следовательно sin β равен cos α.
  • Тангенс α равен частному от отношения противолежащего катета а к катету прилежащему b tg α = а : b.
  • Котангенс угла α в соответствии равен ctg α = b : а.
  • Секанс угла α составляет отношение гипотенузы треугольника к катету, прилежащему к этому углу sec α = c : b.
  • Косеканс угла α составляет отношение гипотенузы треугольника к катету, который противостоит углу, cosecα = с : a.

Эти функции можно выразить и через окружность путем задания системы координат. Задаем систему координат с центом в точке О. Угол, на который поворачивается отрезок ОА, изображенный на чертеже, будем считать произвольным, назовем его θ.

Тогда тангенсом этого угла θсчитается отношение ординаты точки А на окружности к её абсциссе. Следовательно, если ctg α = b : а, а АС = sin θ, ОС = cos θ, то tgθ = sin θ : cos θ. Аналогично получаем ctg θ = cos θ : sin θ или 1 : tgθ.

Определение тригонометрических функций.

Тригонометрические функции изначально связывались с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. У них есть только один аргумент угол (1-н из острых углов треугольника).

Соотношения сторон и их связь с функциями:

  • Синус — противолежащий катет к гипотенузе.
  • Косинус — прилежащий катет к гипотенузе.
  • Тангенс — противолежащий катет к прилежащему.
  • Котангенс — прилежащий катет к противолежащему.
  • Секанс — гипотенуза к прилежащему катету.
  • Косеканс — гипотенуза к противолежащему катету.

Благодаря этим определениям легко вычислять значение функций для острых углов, т.е. в интервале 0 — 90° (0 — π/2 рад.).

Как пользоваться таблицей Брадиса.

На некоторых примерах рассмотрим, как пользоваться таблицей Брадиса.

sin 7° = 0.1219 (косинусы находятся внизу) cos 82° = 0.1392.

sin 3°42′ = 0.0645 (ниже на изображении отмечено красным) cos 80°24′ = 0.1668.

Обратите внимание, все тоже самое верно и при определении значений тангенса и котангенса. Далее рассмотрим вариант посложнее, когда угол, который представлен в таблице не указан, значит, нужно выбирать более близкое к нему значение (из значений, которые указаны в таблице синусов и косинусов), а на разницу, которая может составлять 1′,2′,3′, берем поправку из минут (желтая графа), как видно на примере:

Далее рассмотрим вариант посложнее, когда угол, который представлен в таблице не указан, значит, нужно выбирать более близкое к нему значение (из значений, которые указаны в таблице синусов и косинусов), а на разницу, которая может составлять 1′,2′,3′, берем поправку из минут (желтая графа), как видно на примере:

sin 3°45′=sin 3°42′+3′=0.0645+0.0009=0.0654 либо

sin 3°45′=sin 3°48′−3′=0.0663−0.0009=0.0654

Кроме того, нужно помнить правило: для синуса у поправки неотрицательный знак, а у косинуса неположительный.

cos 80°27′=80°24′+3′=0.1668+(-0.0009)=0.1659 либо

cos 80°27′=80°30′−3′=0.1650−(-0.0009)=0.1659

Свойства косинуса.

  • Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=R.
  • Множество значений — интервал : E(y) = .
  • Функция y=cos(α) — четная: cos(−α)=cosα.
  • Функция периодическая, самый маленький неотрицательный период соответствует 2π: cos(α+2π)=cos(α).
  • График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn,n∈Z.
  • Промежутки знакопостоянства: y>0 при (−π/2+2πn;π/2+2πn),n∈Z и y<0 при (π/2+2πn;3π/2+2πn),n∈Z.
  • Функция является непрерывной, у нее есть производная с любым значением аргумента: (cosα)′=−sinα.
  • Функция y=cosα возрастает при α∈(−π+2πn;2πn),n∈Z, и убывает при α∈(2πn;π+2πn),n∈Z.
  • У функции есть минимум при α=π+2πn,n∈Z, а максимум при α=2πn,n∈Z.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Таблица тангенсов от 0° до 180°

tg(1°)0.0175
tg(2°)0.0349
tg(3°)0.0524
tg(4°)0.0699
tg(5°)0.0875
tg(6°)0.1051
tg(7°)0.1228
tg(8°)0.1405
tg(9°)0.1584
tg(10°)0.1763
tg(11°)0.1944
tg(12°)0.2126
tg(13°)0.2309
tg(14°)0.2493
tg(15°)0.2679
tg(16°)0.2867
tg(17°)0.3057
tg(18°)0.3249
tg(19°)0.3443
tg(20°)0.364
tg(21°)0.3839
tg(22°)0.404
tg(23°)0.4245
tg(24°)0.4452
tg(25°)0.4663
tg(26°)0.4877
tg(27°)0.5095
tg(28°)0.5317
tg(29°)0.5543
tg(30°)0.5774
tg(31°)0.6009
tg(32°)0.6249
tg(33°)0.6494
tg(34°)0.6745
tg(35°)0.7002
tg(36°)0.7265
tg(37°)0.7536
tg(38°)0.7813
tg(39°)0.8098
tg(40°)0.8391
tg(41°)0.8693
tg(42°)0.9004
tg(43°)0.9325
tg(44°)0.9657
tg(45°)1
tg(46°)1.0355
tg(47°)1.0724
tg(48°)1.1106
tg(49°)1.1504
tg(50°)1.1918
tg(51°)1.2349
tg(52°)1.2799
tg(53°)1.327
tg(54°)1.3764
tg(55°)1.4281
tg(56°)1.4826
tg(57°)1.5399
tg(58°)1.6003
tg(59°)1.6643
tg(60°)1.7321
tg(61°)1.804
tg(62°)1.8807
tg(63°)1.9626
tg(64°)2.0503
tg(65°)2.1445
tg(66°)2.246
tg(67°)2.3559
tg(68°)2.4751
tg(69°)2.6051
tg(70°)2.7475
tg(71°)2.9042
tg(72°)3.0777
tg(73°)3.2709
tg(74°)3.4874
tg(75°)3.7321
tg(76°)4.0108
tg(77°)4.3315
tg(78°)4.7046
tg(79°)5.1446
tg(80°)5.6713
tg(81°)6.3138
tg(82°)7.1154
tg(83°)8.1443
tg(84°)9.5144
tg(85°)11.4301
tg(86°)14.3007
tg(87°)19.0811
tg(88°)28.6363
tg(89°)57.29
tg(90°)
tg(91°)-57.29
tg(92°)-28.6363
tg(93°)-19.0811
tg(94°)-14.3007
tg(95°)-11.4301
tg(96°)-9.5144
tg(97°)-8.1443
tg(98°)-7.1154
tg(99°)-6.3138
tg(100°)-5.6713
tg(101°)-5.1446
tg(102°)-4.7046
tg(103°)-4.3315
tg(104°)-4.0108
tg(105°)-3.7321
tg(106°)-3.4874
tg(107°)-3.2709
tg(108°)-3.0777
tg(109°)-2.9042
tg(110°)-2.7475
tg(111°)-2.6051
tg(112°)-2.4751
tg(113°)-2.3559
tg(114°)-2.246
tg(115°)-2.1445
tg(116°)-2.0503
tg(117°)-1.9626
tg(118°)-1.8807
tg(119°)-1.804
tg(120°)-1.7321
tg(121°)-1.6643
tg(122°)-1.6003
tg(123°)-1.5399
tg(124°)-1.4826
tg(125°)-1.4281
tg(126°)-1.3764
tg(127°)-1.327
tg(128°)-1.2799
tg(129°)-1.2349
tg(130°)-1.1918
tg(131°)-1.1504
tg(132°)-1.1106
tg(133°)-1.0724
tg(134°)-1.0355
tg(135°)-1
tg(136°)-0.9657
tg(137°)-0.9325
tg(138°)-0.9004
tg(139°)-0.8693
tg(140°)-0.8391
tg(141°)-0.8098
tg(142°)-0.7813
tg(143°)-0.7536
tg(144°)-0.7265
tg(145°)-0.7002
tg(146°)-0.6745
tg(147°)-0.6494
tg(148°)-0.6249
tg(149°)-0.6009
tg(150°)-0.5774
tg(151°)-0.5543
tg(152°)-0.5317
tg(153°)-0.5095
tg(154°)-0.4877
tg(155°)-0.4663
tg(156°)-0.4452
tg(157°)-0.4245
tg(158°)-0.404
tg(159°)-0.3839
tg(160°)-0.364
tg(161°)-0.3443
tg(162°)-0.3249
tg(163°)-0.3057
tg(164°)-0.2867
tg(165°)-0.2679
tg(166°)-0.2493
tg(167°)-0.2309
tg(168°)-0.2126
tg(169°)-0.1944
tg(170°)-0.1763
tg(171°)-0.1584
tg(172°)-0.1405
tg(173°)-0.1228
tg(174°)-0.1051
tg(175°)-0.0875
tg(176°)-0.0699
tg(177°)-0.0524
tg(178°)-0.0349
tg(179°)-0.0175
tg(180°)-0

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Котангенсы и тригонометрические функции, знакомство

В геометрии важную роль играют тригонометрические функции, которые объясняют, как относятся между собой углы и стороны треугольника с прямым углом. Наука не стоит на месте и развивается, так же как и тригонометрия. Есть новые решения дифференцированных уравнений, которые выражают тригонометрические функции и о которых Евклид не мог знать.

В основном, используются для вычислений значений тригонометрических функций, причем только первые из двух могут определяться только с помощью геометрии.

Синус (sin):        

Косинус (cos):   

Котангенс (ctg):  

Тангенс (tg):     

Секанс (sec):     

Косеканс (cosec): 

Рассматривая прямоугольный треугольник, нужно учесть, что все справочные материалы дают одинаковое обозначение всех его параметров, таких как углы и стороны.

Три угла в нем обозначаются α, β, γ, причем угол 90° всегда обозначается γ. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенуза и обозначается всегда с. Альфа это первая буква греческого алфавита и угол, с которого начинаются все расчёты, также называется α. Сторона, или катет, лежащая напротив этого угла, называется противолежащей и называется а или ВС от названия вершин. Сторона, которая лежит рядом с углом или катет, называется прилежащей и обозначается b или АС.

По теории Евклида, который довел её раз и навсегда, сумма всех углов этого треугольника, который лежит в одной плоскости, равна 180°или числу π. И значения каждого угла будут находиться в промежутке между 0 и π /2.

Тогда тригонометрические функции можно выразить через размеры сторон этого треугольника. Так как угол α является первым и в греческом алфавите и в нашем треугольнике, начинаем знакомство с функциями через этот угол.

Синус α можно выразить через отношение катета, который противолежит углу α к гипотенузе нашего треугольника, то есть через формулу sin α = а: с.

Косинус α выражаем, соответственно, выражается через отношение катета, который лежит напротив этого угла, к гипотенузе нашего треугольника, то есть через формулу sin α = а: с. Также нужно помнить, что sin β = α: с, что позволяет принять то, что sin α равен cos β и следовательно sin β равен cos α, что помогает при решении задач.

Тангенс α равен частному от отношения противолежащего катета а к катету прилежащему b: tg α = а : b.

Соответственно, котангенс мы выражаем аналогичным способом ctg α = b : а.

Секанс угла α составляет отношение гипотенузы треугольника к катету, прилежащему к этому углу sec α = c : b, а косеканс по угла α той же теории как отношение гипотенузы треугольника к катету, который противостоит углу, cosec α = с : a.

Если задать систему координат с центром в точке О, а точка А, которая будет двигаться по окружности, образует радиус ОА. Это наглядно видно на чертеже.

Угол поворота можно считать произвольным и, согласно принятым обозначениям, называется θ. Через эту окружность можно выражать вышеназванные функции.

Например, тангенсом этого угла θсчитается отношение ординаты точки А на окружности к её абсциссе. Тогда если ctg α = b : а, а АС = sin θ, ОС = cos θ, то tgθ = sin θ : cos θ. Аналогично получаем ctg θ = cos θ : sin θ или 1 : tgθ.

Свойства тангенса.

  • Область определения функции — множество действительных чисел: D(y)=R, исключая числа α=π/2+πn.
  • Множество значений — множество действительных чисел: E(y)=R.
  • Функция y=tg(α) — нечтная: tg(−α)=−tg α.
  • Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует π: tg(α+π)=tg(α).
  • График функции пересекает ось Ох при α=πn,n∈Z.
  • Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),n∈Z и y<0 при (−π/2+πn;πn),n∈Z.
  • Функция является непрерывной, есть производная с любым значением аргумента из области определения: (tgx)′=1/cos2x.
  • Функция y=tg α возрастает при α∈(−π/2+πn;π/2+πn),n∈Z.

Таблица синусов от 0° до 180°

Sin(1°)0.0175
Sin(2°)0.0349
Sin(3°)0.0523
Sin(4°)0.0698
Sin(5°)0.0872
Sin(6°)0.1045
Sin(7°)0.1219
Sin(8°)0.1392
Sin(9°)0.1564
Sin(10°)0.1736
Sin(11°)0.1908
Sin(12°)0.2079
Sin(13°)0.225
Sin(14°)0.2419
Sin(15°)0.2588
Sin(16°)0.2756
Sin(17°)0.2924
Sin(18°)0.309
Sin(19°)0.3256
Sin(20°)0.342
Sin(21°)0.3584
Sin(22°)0.3746
Sin(23°)0.3907
Sin(24°)0.4067
Sin(25°)0.4226
Sin(26°)0.4384
Sin(27°)0.454
Sin(28°)0.4695
Sin(29°)0.4848
Sin(30°)0.5
Sin(31°)0.515
Sin(32°)0.5299
Sin(33°)0.5446
Sin(34°)0.5592
Sin(35°)0.5736
Sin(36°)0.5878
Sin(37°)0.6018
Sin(38°)0.6157
Sin(39°)0.6293
Sin(40°)0.6428
Sin(41°)0.6561
Sin(42°)0.6691
Sin(43°)0.682
Sin(44°)0.6947
Sin(45°)0.7071
Sin(46°)0.7193
Sin(47°)0.7314
Sin(48°)0.7431
Sin(49°)0.7547
Sin(50°)0.766
Sin(51°)0.7771
Sin(52°)0.788
Sin(53°)0.7986
Sin(54°)0.809
Sin(55°)0.8192
Sin(56°)0.829
Sin(57°)0.8387
Sin(58°)0.848
Sin(59°)0.8572
Sin(60°)0.866
Sin(61°)0.8746
Sin(62°)0.8829
Sin(63°)0.891
Sin(64°)0.8988
Sin(65°)0.9063
Sin(66°)0.9135
Sin(67°)0.9205
Sin(68°)0.9272
Sin(69°)0.9336
Sin(70°)0.9397
Sin(71°)0.9455
Sin(72°)0.9511
Sin(73°)0.9563
Sin(74°)0.9613
Sin(75°)0.9659
Sin(76°)0.9703
Sin(77°)0.9744
Sin(78°)0.9781
Sin(79°)0.9816
Sin(80°)0.9848
Sin(81°)0.9877
Sin(82°)0.9903
Sin(83°)0.9925
Sin(84°)0.9945
Sin(85°)0.9962
Sin(86°)0.9976
Sin(87°)0.9986
Sin(88°)0.9994
Sin(89°)0.9998
Sin(90°)1
Sin(91°)0.9998
Sin(92°)0.9994
Sin(93°)0.9986
Sin(94°)0.9976
Sin(95°)0.9962
Sin(96°)0.9945
Sin(97°)0.9925
Sin(98°)0.9903
Sin(99°)0.9877
Sin(100°)0.9848
Sin(101°)0.9816
Sin(102°)0.9781
Sin(103°)0.9744
Sin(104°)0.9703
Sin(105°)0.9659
Sin(106°)0.9613
Sin(107°)0.9563
Sin(108°)0.9511
Sin(109°)0.9455
Sin(110°)0.9397
Sin(111°)0.9336
Sin(112°)0.9272
Sin(113°)0.9205
Sin(114°)0.9135
Sin(115°)0.9063
Sin(116°)0.8988
Sin(117°)0.891
Sin(118°)0.8829
Sin(119°)0.8746
Sin(120°)0.866
Sin(121°)0.8572
Sin(122°)0.848
Sin(123°)0.8387
Sin(124°)0.829
Sin(125°)0.8192
Sin(126°)0.809
Sin(127°)0.7986
Sin(128°)0.788
Sin(129°)0.7771
Sin(130°)0.766
Sin(131°)0.7547
Sin(132°)0.7431
Sin(133°)0.7314
Sin(134°)0.7193
Sin(135°)0.7071
Sin(136°)0.6947
Sin(137°)0.682
Sin(138°)0.6691
Sin(139°)0.6561
Sin(140°)0.6428
Sin(141°)0.6293
Sin(142°)0.6157
Sin(143°)0.6018
Sin(144°)0.5878
Sin(145°)0.5736
Sin(146°)0.5592
Sin(147°)0.5446
Sin(148°)0.5299
Sin(149°)0.515
Sin(150°)0.5
Sin(151°)0.4848
Sin(152°)0.4695
Sin(153°)0.454
Sin(154°)0.4384
Sin(155°)0.4226
Sin(156°)0.4067
Sin(157°)0.3907
Sin(158°)0.3746
Sin(159°)0.3584
Sin(160°)0.342
Sin(161°)0.3256
Sin(162°)0.309
Sin(163°)0.2924
Sin(164°)0.2756
Sin(165°)0.2588
Sin(166°)0.2419
Sin(167°)0.225
Sin(168°)0.2079
Sin(169°)0.1908
Sin(170°)0.1736
Sin(171°)0.1564
Sin(172°)0.1392
Sin(173°)0.1219
Sin(174°)0.1045
Sin(175°)0.0872
Sin(176°)0.0698
Sin(177°)0.0523
Sin(178°)0.0349
Sin(179°)0.0175
Sin(180°)

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α 

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α 
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β 

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Таблица котангенсов от 0° до 180°

ctg(1°)57.29
ctg(2°)28.6363
ctg(3°)19.0811
ctg(4°)14.3007
ctg(5°)11.4301
ctg(6°)9.5144
ctg(7°)8.1443
ctg(8°)7.1154
ctg(9°)6.3138
ctg(10°)5.6713
ctg(11°)5.1446
ctg(12°)4.7046
ctg(13°)4.3315
ctg(14°)4.0108
ctg(15°)3.7321
ctg(16°)3.4874
ctg(17°)3.2709
ctg(18°)3.0777
ctg(19°)2.9042
ctg(20°)2.7475
ctg(21°)2.6051
ctg(22°)2.4751
ctg(23°)2.3559
ctg(24°)2.246
ctg(25°)2.1445
ctg(26°)2.0503
ctg(27°)1.9626
ctg(28°)1.8807
ctg(29°)1.804
ctg(30°)1.7321
ctg(31°)1.6643
ctg(32°)1.6003
ctg(33°)1.5399
ctg(34°)1.4826
ctg(35°)1.4281
ctg(36°)1.3764
ctg(37°)1.327
ctg(38°)1.2799
ctg(39°)1.2349
ctg(40°)1.1918
ctg(41°)1.1504
ctg(42°)1.1106
ctg(43°)1.0724
ctg(44°)1.0355
ctg(45°)1
ctg(46°)0.9657
ctg(47°)0.9325
ctg(48°)0.9004
ctg(49°)0.8693
ctg(50°)0.8391
ctg(51°)0.8098
ctg(52°)0.7813
ctg(53°)0.7536
ctg(54°)0.7265
ctg(55°)0.7002
ctg(56°)0.6745
ctg(57°)0.6494
ctg(58°)0.6249
ctg(59°)0.6009
ctg(60°)0.5774
ctg(61°)0.5543
ctg(62°)0.5317
ctg(63°)0.5095
ctg(64°)0.4877
ctg(65°)0.4663
ctg(66°)0.4452
ctg(67°)0.4245
ctg(68°)0.404
ctg(69°)0.3839
ctg(70°)0.364
ctg(71°)0.3443
ctg(72°)0.3249
ctg(73°)0.3057
ctg(74°)0.2867
ctg(75°)0.2679
ctg(76°)0.2493
ctg(77°)0.2309
ctg(78°)0.2126
ctg(79°)0.1944
ctg(80°)0.1763
ctg(81°)0.1584
ctg(82°)0.1405
ctg(83°)0.1228
ctg(84°)0.1051
ctg(85°)0.0875
ctg(86°)0.0699
ctg(87°)0.0524
ctg(88°)0.0349
ctg(89°)0.0175
ctg(90°)
ctg(91°)-0.0175
ctg(92°)-0.0349
ctg(93°)-0.0524
ctg(94°)-0.0699
ctg(95°)-0.0875
ctg(96°)-0.1051
ctg(97°)-0.1228
ctg(98°)-0.1405
ctg(99°)-0.1584
ctg(100°)-0.1763
ctg(101°)-0.1944
ctg(102°)-0.2126
ctg(103°)-0.2309
ctg(104°)-0.2493
ctg(105°)-0.2679
ctg(106°)-0.2867
ctg(107°)-0.3057
ctg(108°)-0.3249
ctg(109°)-0.3443
ctg(110°)-0.364
ctg(111°)-0.3839
ctg(112°)-0.404
ctg(113°)-0.4245
ctg(114°)-0.4452
ctg(115°)-0.4663
ctg(116°)-0.4877
ctg(117°)-0.5095
ctg(118°)-0.5317
ctg(119°)-0.5543
ctg(120°)-0.5774
ctg(121°)-0.6009
ctg(122°)-0.6249
ctg(123°)-0.6494
ctg(124°)-0.6745
ctg(125°)-0.7002
ctg(126°)-0.7265
ctg(127°)-0.7536
ctg(128°)-0.7813
ctg(129°)-0.8098
ctg(130°)-0.8391
ctg(131°)-0.8693
ctg(132°)-0.9004
ctg(133°)-0.9325
ctg(134°)-0.9657
ctg(135°)-1
ctg(136°)-1.0355
ctg(137°)-1.0724
ctg(138°)-1.1106
ctg(139°)-1.1504
ctg(140°)-1.1918
ctg(141°)-1.2349
ctg(142°)-1.2799
ctg(143°)-1.327
ctg(144°)-1.3764
ctg(145°)-1.4281
ctg(146°)-1.4826
ctg(147°)-1.5399
ctg(148°)-1.6003
ctg(149°)-1.6643
ctg(150°)-1.7321
ctg(151°)-1.804
ctg(152°)-1.8807
ctg(153°)-1.9626
ctg(154°)-2.0503
ctg(155°)-2.1445
ctg(156°)-2.246
ctg(157°)-2.3559
ctg(158°)-2.4751
ctg(159°)-2.6051
ctg(160°)-2.7475
ctg(161°)-2.9042
ctg(162°)-3.0777
ctg(163°)-3.2709
ctg(164°)-3.4874
ctg(165°)-3.7321
ctg(166°)-4.0108
ctg(167°)-4.3315
ctg(168°)-4.7046
ctg(169°)-5.1446
ctg(170°)-5.6713
ctg(171°)-6.3138
ctg(172°)-7.1154
ctg(173°)-8.1443
ctg(174°)-9.5144
ctg(175°)-11.4301
ctg(176°)-14.3007
ctg(177°)-19.0811
ctg(178°)-28.6363
ctg(179°)-57.29
ctg(180°)— ∞

Таблица синусов от 181° до 360°

Sin(181°)-0.0175
Sin(182°)-0.0349
Sin(183°)-0.0523
Sin(184°)-0.0698
Sin(185°)-0.0872
Sin(186°)-0.1045
Sin(187°)-0.1219
Sin(188°)-0.1392
Sin(189°)-0.1564
Sin(190°)-0.1736
Sin(191°)-0.1908
Sin(192°)-0.2079
Sin(193°)-0.225
Sin(194°)-0.2419
Sin(195°)-0.2588
Sin(196°)-0.2756
Sin(197°)-0.2924
Sin(198°)-0.309
Sin(199°)-0.3256
Sin(200°)-0.342
Sin(201°)-0.3584
Sin(202°)-0.3746
Sin(203°)-0.3907
Sin(204°)-0.4067
Sin(205°)-0.4226
Sin(206°)-0.4384
Sin(207°)-0.454
Sin(208°)-0.4695
Sin(209°)-0.4848
Sin(210°)-0.5
Sin(211°)-0.515
Sin(212°)-0.5299
Sin(213°)-0.5446
Sin(214°)-0.5592
Sin(215°)-0.5736
Sin(216°)-0.5878
Sin(217°)-0.6018
Sin(218°)-0.6157
Sin(219°)-0.6293
Sin(220°)-0.6428
Sin(221°)-0.6561
Sin(222°)-0.6691
Sin(223°)-0.682
Sin(224°)-0.6947
Sin(225°)-0.7071
Sin(226°)-0.7193
Sin(227°)-0.7314
Sin(228°)-0.7431
Sin(229°)-0.7547
Sin(230°)-0.766
Sin(231°)-0.7771
Sin(232°)-0.788
Sin(233°)-0.7986
Sin(234°)-0.809
Sin(235°)-0.8192
Sin(236°)-0.829
Sin(237°)-0.8387
Sin(238°)-0.848
Sin(239°)-0.8572
Sin(240°)-0.866
Sin(241°)-0.8746
Sin(242°)-0.8829
Sin(243°)-0.891
Sin(244°)-0.8988
Sin(245°)-0.9063
Sin(246°)-0.9135
Sin(247°)-0.9205
Sin(248°)-0.9272
Sin(249°)-0.9336
Sin(250°)-0.9397
Sin(251°)-0.9455
Sin(252°)-0.9511
Sin(253°)-0.9563
Sin(254°)-0.9613
Sin(255°)-0.9659
Sin(256°)-0.9703
Sin(257°)-0.9744
Sin(258°)-0.9781
Sin(259°)-0.9816
Sin(260°)-0.9848
Sin(261°)-0.9877
Sin(262°)-0.9903
Sin(263°)-0.9925
Sin(264°)-0.9945
Sin(265°)-0.9962
Sin(266°)-0.9976
Sin(267°)-0.9986
Sin(268°)-0.9994
Sin(269°)-0.9998
Sin(270°)-1
Sin(271°)-0.9998
Sin(272°)-0.9994
Sin(273°)-0.9986
Sin(274°)-0.9976
Sin(275°)-0.9962
Sin(276°)-0.9945
Sin(277°)-0.9925
Sin(278°)-0.9903
Sin(279°)-0.9877
Sin(280°)-0.9848
Sin(281°)-0.9816
Sin(282°)-0.9781
Sin(283°)-0.9744
Sin(284°)-0.9703
Sin(285°)-0.9659
Sin(286°)-0.9613
Sin(287°)-0.9563
Sin(288°)-0.9511
Sin(289°)-0.9455
Sin(290°)-0.9397
Sin(291°)-0.9336
Sin(292°)-0.9272
Sin(293°)-0.9205
Sin(294°)-0.9135
Sin(295°)-0.9063
Sin(296°)-0.8988
Sin(297°)-0.891
Sin(298°)-0.8829
Sin(299°)-0.8746
Sin(300°)-0.866
Sin(301°)-0.8572
Sin(302°)-0.848
Sin(303°)-0.8387
Sin(304°)-0.829
Sin(305°)-0.8192
Sin(306°)-0.809
Sin(307°)-0.7986
Sin(308°)-0.788
Sin(309°)-0.7771
Sin(310°)-0.766
Sin(311°)-0.7547
Sin(312°)-0.7431
Sin(313°)-0.7314
Sin(314°)-0.7193
Sin(315°)-0.7071
Sin(316°)-0.6947
Sin(317°)-0.682
Sin(318°)-0.6691
Sin(319°)-0.6561
Sin(320°)-0.6428
Sin(321°)-0.6293
Sin(322°)-0.6157
Sin(323°)-0.6018
Sin(324°)-0.5878
Sin(325°)-0.5736
Sin(326°)-0.5592
Sin(327°)-0.5446
Sin(328°)-0.5299
Sin(329°)-0.515
Sin(330°)-0.5
Sin(331°)-0.4848
Sin(332°)-0.4695
Sin(333°)-0.454
Sin(334°)-0.4384
Sin(335°)-0.4226
Sin(336°)-0.4067
Sin(337°)-0.3907
Sin(338°)-0.3746
Sin(339°)-0.3584
Sin(340°)-0.342
Sin(341°)-0.3256
Sin(342°)-0.309
Sin(343°)-0.2924
Sin(344°)-0.2756
Sin(345°)-0.2588
Sin(346°)-0.2419
Sin(347°)-0.225
Sin(348°)-0.2079
Sin(349°)-0.1908
Sin(350°)-0.1736
Sin(351°)-0.1564
Sin(352°)-0.1392
Sin(353°)-0.1219
Sin(354°)-0.1045
Sin(355°)-0.0872
Sin(356°)-0.0698
Sin(357°)-0.0523
Sin(358°)-0.0349
Sin(359°)-0.0175
Sin(360°)-0

Свойства котангенса.

  • Область определения функции — множество действительных чисел: D(y)=R, исключая числа α=πn.
  • Множество значений — множество действительных чисел: E(y)=R.
  • Функция y=ctg(α) — нечетная: ctg(−α)=−ctg α.
  • Функция периодическая, самый маленький неотрицательный период равен π: ctg(α+π)=ctg(α).
  • График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn,n∈Z.
  • Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),n∈Z и y<0 при (π/2+πn;π(n+1)),n∈Z.
  • Функция является непрерывной, есть производная в любом значении аргумента из области определения: (ctgx)′=−1/sin2x.
  • Функция y=ctg α убывает при α∈(πn;π(n+1)),n∈Z.

Обратные тригонометрические функции.

Таблица котангенсов от 181° до 360°

ctg(181°)57.29
ctg(182°)28.6363
ctg(183°)19.0811
ctg(184°)14.3007
ctg(185°)11.4301
ctg(186°)9.5144
ctg(187°)8.1443
ctg(188°)7.1154
ctg(189°)6.3138
ctg(190°)5.6713
ctg(191°)5.1446
ctg(192°)4.7046
ctg(193°)4.3315
ctg(194°)4.0108
ctg(195°)3.7321
ctg(196°)3.4874
ctg(197°)3.2709
ctg(198°)3.0777
ctg(199°)2.9042
ctg(200°)2.7475
ctg(201°)2.6051
ctg(202°)2.4751
ctg(203°)2.3559
ctg(204°)2.246
ctg(205°)2.1445
ctg(206°)2.0503
ctg(207°)1.9626
ctg(208°)1.8807
ctg(209°)1.804
ctg(210°)1.7321
ctg(211°)1.6643
ctg(212°)1.6003
ctg(213°)1.5399
ctg(214°)1.4826
ctg(215°)1.4281
ctg(216°)1.3764
ctg(217°)1.327
ctg(218°)1.2799
ctg(219°)1.2349
ctg(220°)1.1918
ctg(221°)1.1504
ctg(222°)1.1106
ctg(223°)1.0724
ctg(224°)1.0355
ctg(225°)1
ctg(226°)0.9657
ctg(227°)0.9325
ctg(228°)0.9004
ctg(229°)0.8693
ctg(230°)0.8391
ctg(231°)0.8098
ctg(232°)0.7813
ctg(233°)0.7536
ctg(234°)0.7265
ctg(235°)0.7002
ctg(236°)0.6745
ctg(237°)0.6494
ctg(238°)0.6249
ctg(239°)0.6009
ctg(240°)0.5774
ctg(241°)0.5543
ctg(242°)0.5317
ctg(243°)0.5095
ctg(244°)0.4877
ctg(245°)0.4663
ctg(246°)0.4452
ctg(247°)0.4245
ctg(248°)0.404
ctg(249°)0.3839
ctg(250°)0.364
ctg(251°)0.3443
ctg(252°)0.3249
ctg(253°)0.3057
ctg(254°)0.2867
ctg(255°)0.2679
ctg(256°)0.2493
ctg(257°)0.2309
ctg(258°)0.2126
ctg(259°)0.1944
ctg(260°)0.1763
ctg(261°)0.1584
ctg(262°)0.1405
ctg(263°)0.1228
ctg(264°)0.1051
ctg(265°)0.0875
ctg(266°)0.0699
ctg(267°)0.0524
ctg(268°)0.0349
ctg(269°)0.0175
ctg(270°)
ctg(271°)-0.0175
ctg(272°)-0.0349
ctg(273°)-0.0524
ctg(274°)-0.0699
ctg(275°)-0.0875
ctg(276°)-0.1051
ctg(277°)-0.1228
ctg(278°)-0.1405
ctg(279°)-0.1584
ctg(280°)-0.1763
ctg(281°)-0.1944
ctg(282°)-0.2126
ctg(283°)-0.2309
ctg(284°)-0.2493
ctg(285°)-0.2679
ctg(286°)-0.2867
ctg(287°)-0.3057
ctg(288°)-0.3249
ctg(289°)-0.3443
ctg(290°)-0.364
ctg(291°)-0.3839
ctg(292°)-0.404
ctg(293°)-0.4245
ctg(294°)-0.4452
ctg(295°)-0.4663
ctg(296°)-0.4877
ctg(297°)-0.5095
ctg(298°)-0.5317
ctg(299°)-0.5543
ctg(300°)-0.5774
ctg(301°)-0.6009
ctg(302°)-0.6249
ctg(303°)-0.6494
ctg(304°)-0.6745
ctg(305°)-0.7002
ctg(306°)-0.7265
ctg(307°)-0.7536
ctg(308°)-0.7813
ctg(309°)-0.8098
ctg(310°)-0.8391
ctg(311°)-0.8693
ctg(312°)-0.9004
ctg(313°)-0.9325
ctg(314°)-0.9657
ctg(315°)-1
ctg(316°)-1.0355
ctg(317°)-1.0724
ctg(318°)-1.1106
ctg(319°)-1.1504
ctg(320°)-1.1918
ctg(321°)-1.2349
ctg(322°)-1.2799
ctg(323°)-1.327
ctg(324°)-1.3764
ctg(325°)-1.4281
ctg(326°)-1.4826
ctg(327°)-1.5399
ctg(328°)-1.6003
ctg(329°)-1.6643
ctg(330°)-1.7321
ctg(331°)-1.804
ctg(332°)-1.8807
ctg(333°)-1.9626
ctg(334°)-2.0503
ctg(335°)-2.1445
ctg(336°)-2.246
ctg(337°)-2.3559
ctg(338°)-2.4751
ctg(339°)-2.6051
ctg(340°)-2.7475
ctg(341°)-2.9042
ctg(342°)-3.0777
ctg(343°)-3.2709
ctg(344°)-3.4874
ctg(345°)-3.7321
ctg(346°)-4.0108
ctg(347°)-4.3315
ctg(348°)-4.7046
ctg(349°)-5.1446
ctg(350°)-5.6713
ctg(351°)-6.3138
ctg(352°)-7.1154
ctg(353°)-8.1443
ctg(354°)-9.5144
ctg(355°)-11.4301
ctg(356°)-14.3007
ctg(357°)-19.0811
ctg(358°)-28.6363
ctg(359°)-57.29
ctg(360°)

Как пользоваться таблицей Брадиса.

На некоторых примерах рассмотрим, как пользоваться таблицей Брадиса.

sin 7° = 0.1219 (косинусы находятся внизу) cos 82° = 0.1392.

sin 3°42′ = 0.0645 (ниже на изображении отмечено красным) cos 80°24′ = 0.1668.

Обратите внимание, все тоже самое верно и при определении значений тангенса и котангенса. Далее рассмотрим вариант посложнее, когда угол, который представлен в таблице не указан, значит, нужно выбирать более близкое к нему значение (из значений, которые указаны в таблице синусов и косинусов), а на разницу, которая может составлять 1′,2′,3′, берем поправку из минут (желтая графа), как видно на примере:

Далее рассмотрим вариант посложнее, когда угол, который представлен в таблице не указан, значит, нужно выбирать более близкое к нему значение (из значений, которые указаны в таблице синусов и косинусов), а на разницу, которая может составлять 1′,2′,3′, берем поправку из минут (желтая графа), как видно на примере:

sin 3°45′=sin 3°42′+3′=0.0645+0.0009=0.0654 либо

sin 3°45′=sin 3°48′−3′=0.0663−0.0009=0.0654

Кроме того, нужно помнить правило: для синуса у поправки неотрицательный знак, а у косинуса неположительный.

cos 80°27′=80°24′+3′=0.1668+(-0.0009)=0.1659 либо

cos 80°27′=80°30′−3′=0.1650−(-0.0009)=0.1659

Прямоугольный треугольник

гипотенуза – сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла и являющаяся самой длинной стороной прямоугольного треугольника.

катет – одна из сторон прямоугольного треугольника, образующая прямой угол треугольника. Может называться противолежащим или прилежащим. Противолежащий – это катет, расположенный напротив рассматриваемого угла треугольника, прилежащий – это катет, прилежащий к рассматриваемому углу треугольника.

Чтобы вычислить какой-либо неизвестный элемент (сторону или угол) имеющегося треугольника, зная часть элементов того же треугольника, используют определенные зависимости (правила) между величинами углов и длинами сторон этого треугольника. Такие зависимости называют тригонометрическими функциями.

К базовым тригонометрическим функциям относятся:

То есть, тригонометрические функций позволяют, зная какой-либо угол и сторону, вычислить значения других неизвестных элементов треугольника.

Оцените статью:
Оставить комментарий
Adblock
detector