Тригонометрия. свойства, графики тригонометрических функций

Тригонометрические функции и их значение в изучении геометрии

В геометрии особую роль имеют тригонометрические функции, при помощи которых определяют, как относятся между собой стороны и углы прямоугольного треугольника. Конечно, тригонометрия не стоит на месте и со времен Евклида она намного шагнула вперёд и теперь может эти функции могут выражаться через решение дифференциальных уравнений.

В данный момент используются шесть обозначений для основных тригонометрических функций, причем четыре функции из шести, они стоят в ряду последними, можно определять не только с помощью геометрии.

Синус (sin)            

Косинус (cos)        

Тангенс (tg/tan)      

Котангенс (ctg/cot)  

Секанс (sec)            

Косеканс (cosec/csc) 

Рассмотрим сам прямоугольный треугольник, обозначения его сторон и углов во всех справочниках, как обычно, стандартные, какой бы стороной он не лежал бы на плоскости.

В этом треугольнике различают три угла, обозначаемые α, β, γ, при этом γ всегда 90°. Сторона, лежащая напротив прямого угла γ, называется гипотенузой, она обозначается буквой С. Угол α, с него начинаются все расчеты, находится напротив стороны а / ВС/, называемой противолежащей к этому углу, и сторона b /АС/, которая находится рядом, подлежит к этому углу и называется прилежащей.

По Евклидовой теории, которая верна до сих пор (и будет верна всегда), суммы углов такого треугольника, который находится в одной плоскости, будет равна 180 или числу π. И значение любого угла будут находиться в пределах между 0 и π /2.

Тогда тригонометрические функции можно выразить через размеры сторон этого треугольника. Так как угол α является первым и в греческом алфавите и в нашем треугольнике, начинаем знакомство с функциями через этот угол.

• Синус α выражается через отношение катета, который лежит напротив этого угла, к гипотенузе нашего треугольника, то есть sin α = а: с.
• Косинус α выражается через отношение катета, который прилежит к углу α, и гипотенузы с, cos α = b: с. Кстати, sin β = α: с, что позволяет принять то, что sin α равен cos β и следовательно sin β равен cos α.
• Тангенс α равен частному от отношения противолежащего катета а к катету прилежащему b tg α = а : b.
• Котангенс угла α в соответствии равен ctg α = b : а.
• Секанс угла α составляет отношение гипотенузы треугольника к катету, прилежащему к этому углу sec α = c : b.
• Косеканс угла α составляет отношение гипотенузы треугольника к катету, который противостоит углу, cosecα = с : a.

Эти функции можно выразить и через окружность путем задания системы координат. Задаем систему координат с центом в точке О. Угол, на который поворачивается отрезок ОА, изображенный на чертеже, будем считать произвольным, назовем его θ.

Тогда тангенсом этого угла θсчитается отношение ординаты точки А на окружности к её абсциссе. Следовательно, если ctg α = b : а, а АС = sin θ, ОС = cos θ, то tgθ = sin θ : cos θ. Аналогично получаем ctg θ = cos θ : sin θ или 1 : tgθ.

Определение тригонометрических функций.

Тригонометрические функции изначально связывались с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. У них есть только один аргумент угол (1-н из острых углов треугольника).

Соотношения сторон и их связь с функциями:

• Синус — противолежащий катет к гипотенузе.
• Косинус — прилежащий катет к гипотенузе.
• Тангенс — противолежащий катет к прилежащему.
• Котангенс — прилежащий катет к противолежащему.
• Секанс — гипотенуза к прилежащему катету.
• Косеканс — гипотенуза к противолежащему катету.

Благодаря этим определениям легко вычислять значение функций для острых углов, т.е. в интервале 0 — 90° (0 — π/2 рад.).

Как пользоваться таблицей Брадиса.

На некоторых примерах рассмотрим, как пользоваться таблицей Брадиса.

sin 7° = 0.1219 (косинусы находятся внизу) cos 82° = 0.1392.

sin 3°42′ = 0.0645 (ниже на изображении отмечено красным) cos 80°24′ = 0.1668.

Обратите внимание, все тоже самое верно и при определении значений тангенса и котангенса. Далее рассмотрим вариант посложнее, когда угол, который представлен в таблице не указан, значит, нужно выбирать более близкое к нему значение (из значений, которые указаны в таблице синусов и косинусов), а на разницу, которая может составлять 1′,2′,3′, берем поправку из минут (желтая графа), как видно на примере:

Далее рассмотрим вариант посложнее, когда угол, который представлен в таблице не указан, значит, нужно выбирать более близкое к нему значение (из значений, которые указаны в таблице синусов и косинусов), а на разницу, которая может составлять 1′,2′,3′, берем поправку из минут (желтая графа), как видно на примере:

sin 3°45′=sin 3°42′+3′=0.0645+0.0009=0.0654 либо

sin 3°45′=sin 3°48′−3′=0.0663−0.0009=0.0654

Кроме того, нужно помнить правило: для синуса у поправки неотрицательный знак, а у косинуса неположительный.

cos 80°27′=80°24′+3′=0.1668+(-0.0009)=0.1659 либо

cos 80°27′=80°30′−3′=0.1650−(-0.0009)=0.1659

Свойства косинуса.

• Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=R.
• Множество значений — интервал : E(y) = .
• Функция y=cos(α) — четная: cos(−α)=cosα.
• Функция периодическая, самый маленький неотрицательный период соответствует 2π: cos(α+2π)=cos(α).
• График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn,n∈Z.
• Промежутки знакопостоянства: y>0 при (−π/2+2πn;π/2+2πn),n∈Z и y<0 при (π/2+2πn;3π/2+2πn),n∈Z.
• Функция является непрерывной, у нее есть производная с любым значением аргумента: (cosα)′=−sinα.
• Функция y=cosα возрастает при α∈(−π+2πn;2πn),n∈Z, и убывает при α∈(2πn;π+2πn),n∈Z.
• У функции есть минимум при α=π+2πn,n∈Z, а максимум при α=2πn,n∈Z.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Таблица тангенсов от 0° до 180°

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Котангенсы и тригонометрические функции, знакомство

В геометрии важную роль играют тригонометрические функции, которые объясняют, как относятся между собой углы и стороны треугольника с прямым углом. Наука не стоит на месте и развивается, так же как и тригонометрия. Есть новые решения дифференцированных уравнений, которые выражают тригонометрические функции и о которых Евклид не мог знать.

В основном, используются для вычислений значений тригонометрических функций, причем только первые из двух могут определяться только с помощью геометрии.

Синус (sin):        

Косинус (cos):   

Котангенс (ctg):  

Тангенс (tg):     

Секанс (sec):     

Косеканс (cosec): 

Рассматривая прямоугольный треугольник, нужно учесть, что все справочные материалы дают одинаковое обозначение всех его параметров, таких как углы и стороны.

Три угла в нем обозначаются α, β, γ, причем угол 90° всегда обозначается γ. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенуза и обозначается всегда с. Альфа это первая буква греческого алфавита и угол, с которого начинаются все расчёты, также называется α. Сторона, или катет, лежащая напротив этого угла, называется противолежащей и называется а или ВС от названия вершин. Сторона, которая лежит рядом с углом или катет, называется прилежащей и обозначается b или АС.

По теории Евклида, который довел её раз и навсегда, сумма всех углов этого треугольника, который лежит в одной плоскости, равна 180°или числу π. И значения каждого угла будут находиться в промежутке между 0 и π /2.

Тогда тригонометрические функции можно выразить через размеры сторон этого треугольника. Так как угол α является первым и в греческом алфавите и в нашем треугольнике, начинаем знакомство с функциями через этот угол.

Синус α можно выразить через отношение катета, который противолежит углу α к гипотенузе нашего треугольника, то есть через формулу sin α = а: с.

Косинус α выражаем, соответственно, выражается через отношение катета, который лежит напротив этого угла, к гипотенузе нашего треугольника, то есть через формулу sin α = а: с. Также нужно помнить, что sin β = α: с, что позволяет принять то, что sin α равен cos β и следовательно sin β равен cos α, что помогает при решении задач.

Тангенс α равен частному от отношения противолежащего катета а к катету прилежащему b: tg α = а : b.

Соответственно, котангенс мы выражаем аналогичным способом ctg α = b : а.

Секанс угла α составляет отношение гипотенузы треугольника к катету, прилежащему к этому углу sec α = c : b, а косеканс по угла α той же теории как отношение гипотенузы треугольника к катету, который противостоит углу, cosec α = с : a.

Если задать систему координат с центром в точке О, а точка А, которая будет двигаться по окружности, образует радиус ОА. Это наглядно видно на чертеже.

Угол поворота можно считать произвольным и, согласно принятым обозначениям, называется θ. Через эту окружность можно выражать вышеназванные функции.

Например, тангенсом этого угла θсчитается отношение ординаты точки А на окружности к её абсциссе. Тогда если ctg α = b : а, а АС = sin θ, ОС = cos θ, то tgθ = sin θ : cos θ. Аналогично получаем ctg θ = cos θ : sin θ или 1 : tgθ.

Свойства тангенса.

• Область определения функции — множество действительных чисел: D(y)=R, исключая числа α=π/2+πn.
• Множество значений — множество действительных чисел: E(y)=R.
• Функция y=tg(α) — нечтная: tg(−α)=−tg α.
• Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует π: tg(α+π)=tg(α).
• График функции пересекает ось Ох при α=πn,n∈Z.
• Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),n∈Z и y<0 при (−π/2+πn;πn),n∈Z.
• Функция является непрерывной, есть производная с любым значением аргумента из области определения: (tgx)′=1/cos2x.
• Функция y=tg α возрастает при α∈(−π/2+πn;π/2+πn),n∈Z.

Таблица синусов от 0° до 180°

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α 

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α 
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β 

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Таблица котангенсов от 0° до 180°

Таблица синусов от 181° до 360°

Свойства котангенса.

• Область определения функции — множество действительных чисел: D(y)=R, исключая числа α=πn.
• Множество значений — множество действительных чисел: E(y)=R.
• Функция y=ctg(α) — нечетная: ctg(−α)=−ctg α.
• Функция периодическая, самый маленький неотрицательный период равен π: ctg(α+π)=ctg(α).
• График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn,n∈Z.
• Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),n∈Z и y<0 при (π/2+πn;π(n+1)),n∈Z.
• Функция является непрерывной, есть производная в любом значении аргумента из области определения: (ctgx)′=−1/sin2x.
• Функция y=ctg α убывает при α∈(πn;π(n+1)),n∈Z.

Обратные тригонометрические функции.

Таблица котангенсов от 181° до 360°

Как пользоваться таблицей Брадиса.

На некоторых примерах рассмотрим, как пользоваться таблицей Брадиса.

sin 7° = 0.1219 (косинусы находятся внизу) cos 82° = 0.1392.

sin 3°42′ = 0.0645 (ниже на изображении отмечено красным) cos 80°24′ = 0.1668.

Обратите внимание, все тоже самое верно и при определении значений тангенса и котангенса. Далее рассмотрим вариант посложнее, когда угол, который представлен в таблице не указан, значит, нужно выбирать более близкое к нему значение (из значений, которые указаны в таблице синусов и косинусов), а на разницу, которая может составлять 1′,2′,3′, берем поправку из минут (желтая графа), как видно на примере:

Далее рассмотрим вариант посложнее, когда угол, который представлен в таблице не указан, значит, нужно выбирать более близкое к нему значение (из значений, которые указаны в таблице синусов и косинусов), а на разницу, которая может составлять 1′,2′,3′, берем поправку из минут (желтая графа), как видно на примере:

sin 3°45′=sin 3°42′+3′=0.0645+0.0009=0.0654 либо

sin 3°45′=sin 3°48′−3′=0.0663−0.0009=0.0654

Кроме того, нужно помнить правило: для синуса у поправки неотрицательный знак, а у косинуса неположительный.

cos 80°27′=80°24′+3′=0.1668+(-0.0009)=0.1659 либо

cos 80°27′=80°30′−3′=0.1650−(-0.0009)=0.1659

Прямоугольный треугольник

гипотенуза – сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла и являющаяся самой длинной стороной прямоугольного треугольника.

катет – одна из сторон прямоугольного треугольника, образующая прямой угол треугольника. Может называться противолежащим или прилежащим. Противолежащий – это катет, расположенный напротив рассматриваемого угла треугольника, прилежащий – это катет, прилежащий к рассматриваемому углу треугольника.

Чтобы вычислить какой-либо неизвестный элемент (сторону или угол) имеющегося треугольника, зная часть элементов того же треугольника, используют определенные зависимости (правила) между величинами углов и длинами сторон этого треугольника. Такие зависимости называют тригонометрическими функциями.

К базовым тригонометрическим функциям относятся:

То есть, тригонометрические функций позволяют, зная какой-либо угол и сторону, вычислить значения других неизвестных элементов треугольника.