Среднеквадратическое отклонение

91 Средняя ошибка средней величины. Методика расчета при большой и малой выборке.

При выборе единиц наблюдения возможны ошибки смещения, т.е. такие события, появление которых не может быть точно предсказуемым. Эти ошибки являются объектив­ными и закономерными. При определении степени точности выборочно­го исследования оценивается величина ошибки, которая может прои­зойти в процессе выборки. Такие ошибки носят название случайных ошибок репрезентативности (m),

На практике для определения средней ошибки выборки при проведении статистических исследований, используются следующие Формулы:

1) для расчета средней ошибки (m_м) средней величины (М):

n — численность выборки.

Это при большой выборке, а при малой n-1

92 Среднее квадратичное отклонение. Методика вычисления, применение в деятельности врача.

Приближенный метод оценки колеблемости вариационного ряда — это определение лимита, т.е. минимального и максимального значе­ния количественного признака, и амплитуды — т.е. разности между наибольшим и наименьшим значением вариант (Vmax — Vmin). Одна­ко лимит и амплитуда не учитывают значений вариант внутри ряда.

Основной общепринятой мерой колеблемости количественного приз­нака в пределах вариационного ряда является среднее квадратичес­кое отклонение (σ — сигма).

Так, например, при изучении средней длительности лечения больных в двух больницах были получены следующие результаты:

Средняя длительность лечения в обеих больницах одинакова, од­нако во второй больнице колебания были значительнее.

Методика расчета среднего квадратического отклонения включает следующие этапы:

1. Находят среднюю арифметическую величину (Μ).

2. Определяют отклонения отдельных вариант от средней арифмети­ческой (V-M=d). В медицинской статистике отклонения от средней обозначаются как d (deviate). Сумма всех от­клонений равняется нулю (графа 3. табл. 5).

3. Возводят каждое отклонение в квадрат (графа 4. табл. 5).

4. Перемножают квадраты отклонений на соответствующие частоты d2*p (графа 5, табл. 5).

5. Вычисляют среднее квадратическое отклонение по формуле:

Методика расчета среднего квадратического отклонения приведе­на в таблице 5.

Среднее квадратическое отклонение позволяет установить сте­пень типичности средней, пределы рассеяния ряда, сравнить колеб­лемость нескольких рядов распределения. Величина среднего квадра­тического отклонения обычно используется для сравнения колеблемости однотипных рядов. Если сравниваются два ряда с разными признаками (рост и масса тела, средняя длительность лечения в стационаре и больничная летальность и т.д.), то непосредственное сопоставление размеров сигм невозможно, т.к. среднеквадратичес­кое отклонение — именованная величина, выраженная в абсолютных числах. В этих случаях применяют коэффициент вариации (Cv), представляющий собой относительную величину: процентное отноше­ние среднего квадратического отклонения к средней арифметической.

Таблица 5

М=20 n=95 Σ=252

Коэффициент вариации вычисляется по формуле:

Пример: по данным специального исследования средний рост мальчиков 7 лет в городе N составил 117.7 см (σ=5.1 см), а сред­ний вес — 21,7 кг (σ=2,4 кг). Оценить колеблемость роста и веса путем сравнения средних квадратических отклонений нельзя, т. к. вес и рост — величины именованные. Поэтому используется относи­тельная величина — коэффициент вариации:

Сравнение коэффициентов вариации роста (4.3%) и веса (11.2%) показывает, что вес имеет более высокий коэффициент вариации,следовательно,является менее устойчивым признаком.

Чем выше коэффициент вариации, тем большая изменчивость данно­го ряда. Считают, что коэффициент вариации свыше 30 % свиде­тельствует о качественной неоднородности совокупности.

Средние величины широко применяются в повседневной работе ме­дицинских работников. Они используются для характеристики Физи­ческого развития, основных антропометрических признаков: рост, вес. окружность груди, динамометрия и т.д. Средние величины при­меняются для оценки состояния больного путем анализа физиологи­ческих, биохимических сдвигов в организме: уровня артериального давления, частоты сердечных сокращений. температуры тела, уровня биохимических показателей, содержания гормонов и т. д. Широкое применение средние величины нашли при анализе деятельности лечеб­но-профилактических учреждений, например: при анализе работы ста­ционаров вычисляются показатели среднегодовой занятости койки, средней длительности пребывания больного на койке и т. д.

StudFiles.ru

Среднеквадратичное значение

В зарубежной терминологии применяется аббревиатура RMS (rms) – root mean square. В математике для набора чисел x1, x2, …, xn количеством n среднеквадратичное значение (rms) определяется выражением:

Например, для чисел 2,3 и 6 среднеквадратичным значением будет квадратный корень из (2²+3²+6²)/3. √(49/3) = 4.04

Среднеквадратичным значением двух или нескольких чисел является квадратный корень из среднеарифметического значения квадратов этих чисел.

Для любой непрерывной функции в интервале T1 – T2 среднеквадратичное значение можно рассчитать по формуле:

Среднеквадратичное значение применяется в расчётах, где существует пропорциональная зависимость не самих переменных значений, а их квадратов.

Действующее значение напряжения и тока

В качестве примера можно рассмотреть квадратичную зависимость мощности или работы электрического тока от значений тока или напряжения.

P = I²R;    A = I²Rt;    P = U²/R;    A = U²t/R

Величина постоянного напряжения или тока является его среднеквадратичным значением.

https://youtube.com/watch?v=lcTlQOnRzc8

Среднеквадратичное значение переменного тока равно величине постоянного тока, действие которого произведёт такую же работу в активной (резистивной) нагрузке за время периода.

Определяющим фактором здесь является среднее (среднеарифметическое) значение мощности Pavg или работы Aavg, пропорциональное квадрату значения тока.

Так же среднеквадратичное значение переменного напряжения за период равносильно по своему воздействию на активную нагрузку такому же значению постоянного напряжения.

P = UI = Pavg = UrmsIrms

Среднеквадратичное значение переменного напряжения или тока часто называют действующим или эффективным.

Примечание:Электромагнитные приборы используют для измерения переменного тока и напряжения в промышленных установках. Усилие, создаваемое измерительной катушкой в электромагнитном приборе, пропорционально квадрату тока, поэтому не меняется по направлению.

Угол отклонения стрелки определится некоторым средним усилием F, которое будет пропорционально среднеквадратичному значению тока.

Расчёт действующего значения

В качестве примера рассчитаем среднеквадратичное значение синусоидального напряжения.

Запишем выражение Urms с применением интеграла функции U = Uampsin(t) для одного периода 2π : Показать расчёт Скрыть расчёт

Вынесем Uamp из под знака радикала.Воспользуемся табличным интегралом , перепишем и решим последнее выражение с применением формулы Ньютона-Лейбница:

Так как sin(2π), sin(4π) и sin(0) равны нулю, вычисляем RMS синусоиды следующим образом:

В результате решения в итоге получим:

Расчёт RMS для напряжения или тока треугольной и пилообразной формы можно рассмотреть на примере одного периода T для функции , представленной на рисунке:

Выразим Urms искомой функции с помощью определённого интеграла:

Показать расчётСкрыть расчёт

Используя табличный интеграл и формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

В итоге преобразований получим:

Ток или напряжение любой сложной формы можно рассмотреть, как набор функций в пределах периода. Тогда значением RMS будет квадратный корень из среднеарифметического значения интегралов для квадрата каждой функции, ограниченной её интервалом времени в периоде.

Например, для множества функций F1(t) , F2(t) , … , Fn(t) в соответствующих им интервалах времени (0 – T1), (T1 – T2), …

, (Tn – T), составляющих период T, действующее напряжение (RMS) определится выражением:

Для вариантов однополярного или двуполярного напряжения пилообразной и треугольной формы в периоде 2T или 4T, представленных на рисунке ниже, T и U amp имеют те же расчётные величины, что и в рассмотренном случае c функцией ,а интегралы, определённые в интервалах, равных T, для квадратов используемых функций , будут иметь одно и то же значение

Следовательно, вышеуказанные варианты однополярного или двуполярного напряжения пилообразной и треугольной формы будут иметь среднеквадратичное значение .

Выразим Urms одного периода T, как квадратный корень из среднеарифметического значения интегралов, определённых в интервалах 0 – Ti и Ti – T для квадратов всех значений периода.

В результате получаем значение RMS, равное произведению амплитуды импульсов Uamp на квадратный корень из коэффициента заполнения (Ti / T).

В качестве дополнительного материала предлагаем рассмотреть расчёт средеквадратичного значения напряжения накала кинескопа цветного телевизора, исходя из амплитуды и формы напряжения.

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Обновленное уравнение контура

Многие из выведенных уравнений относятся к переменному току. Если нам нужно получить усредненный по времени результат, то соответствующие переменные выражаются в СКЗ. К примеру, закон Ома передается как

Различные выражения для мощности переменного тока выглядят как:

Отсюда видно, что можно вывести среднюю мощность, основываясь на пиковом напряжении и токе.

Мощность переменного тока, основываясь на времени. Напряжение и ток пребывают в фазе, а их продукт колеблется между нулем и IV. Средняя мощность – (1/2) IV

СКЗ полезны, если напряжение меняется по форме сигнала, отличающегося от синусоидов (квадратные, треугольные или пилообразные волны).

Синусоидальные, квадратные, треугольные и пилообразные волны

В зарубежной терминологии применяется аббревиатура RMS (rms) – root mean square. В математике для набора чисел x₁, x₂, . x_n количеством n среднеквадратичное значение (rms) определяется выражением:

Например, для чисел 2,3 и 6 среднеквадратичным значением будет квадратный корень из (2²+3²+6²)/3. √(49/3) = 4.04

Среднеквадратичным значением двух или нескольких чисел является квадратный корень из среднеарифметического значения квадратов этих чисел.

Для любой непрерывной функции в интервале T₁ – T₂ среднеквадратичное значение можно рассчитать по формуле:

Среднеквадратичное значение применяется в расчётах, где существует пропорциональная зависимость не самих переменных значений, а их квадратов.

Правило трёх сигм

График плотности вероятности нормального распределения и процент попадания случайной величины на отрезки, равные среднеквадратическому отклонению.

Правило трёх сигм (3σ{\displaystyle 3\sigma }) — практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале (x¯−3σ;x¯+3σ){\displaystyle \left({\bar {x}}-3\sigma ;{\bar {x}}+3\sigma \right)}. Более строго — приблизительно с вероятностью 0,9973 значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале (при условии, что величина x¯{\displaystyle {\bar {x}}} истинная, а не полученная в результате обработки выборки).

Как работает стандартное отклонение в Excel

      Добрый день!

     В статье я решил рассмотреть, как работает стандартное отклонение в Excel с помощью функции СТАНДОТКЛОН. Я просто очень давно не описывал и не комментировал статистические функции, а еще просто потому что это очень полезная функция для тех, кто изучает высшую математику.

А оказать помощь студентам – это святое, по себе знаю, как трудно она осваивается.

В реальности функции стандартных отклонений можно использовать для определения стабильности продаваемой продукции, создания цены, корректировки или формирования ассортимента, ну и других не менее полезных анализов ваших продаж.

В Excel используются несколько вариантов этой функции отклонения:

• Функция СТАНДОТКЛОНА – вычисляется отклонение по выборке текстовых и логических значений. При этом ложные логические и текстовые значения формула приравнивает к 0, а 1 будут равняться только истинные логические значения;
• Функция СТАНДОТКЛОН.В – производит оценку стандартного отклонения по выборке, при этом текстовые и логические значения игнорирует;
• Функция СТАНДОТКЛОН.Г – делает оценку отклонения по некой генеральной совокупности и как в предыдущей функции игнорируются текстовые и логические значения;
• Функция СТАНДОТКЛОНПА – также вычисляет по генеральной совокупности стандартное отклонение, но с учетом текстовых и логических значений. Равняться 1 будут только истинные логические значения, а ложные логические и текстовые значения будут приравнены к 0.

Математическая теория

      Для начала немножко о теории, как математическим языком можно описать функцию стандартного отклонения для применения ее в Excel, для анализа, к примеру, данных статистики продаж, но об этом дальше. Предупреждаю сразу, буду писать очень много непонятных слов… )))), если что ниже по тексту смотрите сразу практическое применение в программе.

     Что же собственно делает стандартное отклонение? Оно производит оценку среднеквадратического отклонения случайной величины Х относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии. Согласитесь, звучит запутанно, но я думаю учащиеся поймут о чём собственно идет речь!

     Теперь можно дать определение и стандартному отклонению – это анализ среднеквадратического отклонения случайной величины Х сравнительно её математической перспективы на основе несмещённой оценки её дисперсии. Формула записывается так:      Отмечу, что все две оценки предоставляются смещёнными. При общих случаях построить несмещённую оценку не является возможным. Но оценка на основе оценки несмещённой дисперсии будет состоятельной.

Практическое воплощение в Excel

     Ну а теперь отойдём от скучной теории и на практике посмотрим, как работает функция СТАНДОТКЛОН. Я не буду рассматривать все вариации функции стандартного отклонения в Excel, достаточно и одной, но в примерах. А для примера рассмотрим, как определяется статистика стабильности продаж.

      Для начала посмотрите на орфографию функции, а она как вы видите, очень проста:

        =СТАНДОТКЛОН.Г(_число1_;_число2_; ….), где:

Число1, число2, … — являют собой генеральную совокупность значений и имеют только числовые значения или же ссылки на них. Формула поддерживает до 255 числовых значений.

      Теперь создадим файл примера и на его основе рассмотрим работу этой функции.

     Так как для проведения аналитических вычислений необходимо использовать не меньше трёх значений, как в принципе в любом статистическом анализе, то и я взял условно 3 периода, это может быть год, квартал, месяц или неделя. В моем случае – месяц.

Для наибольшей достоверности рекомендую брать как можно большое количество периодов, но никак не менее трёх. Все данные в таблице очень простые для наглядности работы и функциональности формулы.

    Для начала нам необходимо посчитать среднее значение по месяцам. Будем использовать для этого функцию СРЗНАЧ и получится формула: =СРЗНАЧ(C4:E4).       Теперь собственно мы и можем найти стандартное отклонение с помощью функции СТАНДОТКЛОН.Г в значении которой нужно проставить продажи товара каждого периода.

Получится формула следующего вида: =СТАНДОТКЛОН.Г(C4;D4;E4).      Ну вот и сделана половина дел. Следующим шагом мы формируем «Вариацию», это получается делением на среднее значение, стандартного отклонения и результат переводим в проценты.

Получаем такую таблицу:        Ну вот основные расчёты окончены, осталось разобраться как идут продажи стабильно или нет. Возьмем как условие что отклонения в 10% это считается стабильно, от 10 до 25% это небольшие отклонения, а вот всё что выше 25% это уже не стабильно.

Для получения результата по условиям воспользуемся логической функцией ЕСЛИ и для получения результата напишем формулу:

                =ЕСЛИ(H4

Что такое стандартное отклонение

Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.

Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.

Если есть значений, то:

• Когда мы имеем дело с генеральной совокупностью при вычислении дисперсии, мы делим на  (как и было сделано в рассмотренном нами примере).
• Когда мы имеем дело с выборкой, при вычислении дисперсии делим на .

Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.

Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:

Дисперсия выборки =  мм2.

При этом стандартное отклонение по выборке равно мм (округлено до ближайшего целого значения).

Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.

Параметры постоянного тока

Размах пульсации напряжения (тока) — величина, равная разности между наибольшим и наименьшим значениями пульсирующего напряжения (тока) за определенный интервал времени

• Коэффициент пульсации напряжения (тока) — величина, равная отношению наибольшего значения переменной составляющей пульсирующего напряжения (тока) к его постоянной составляющей.
  • Коэффициент пульсации напряжения (тока) по действующему значению — величина, равная отношению действующего значения переменной составляющей пульсирующего напряжения (тока) к его постоянной составляющей
  • Коэффициент пульсации напряжения (тока) пo среднему значению — величина, равная отношению среднего значения переменной составляющей пульсирующего напряжения (тока) к его постоянной составляющей

Параметры пульсации определяются по осциллографу, либо с помощью двух вольтметров или амперметров (постоянного и переменного тока)

Среднеквадратичное значение (RMS) для дискретных данных

Как преобразовать приведенную выше формулу во что-то, что можно применить к дискретным данным? Другими словами, как мы можем вычислить среднеквадратичное значение оцифрованного сигнала?

Давайте посмотрим на это так: сначала, вместо функции (например, x(t)), мы возводим в квадрат отдельные значения (например, x, x, x и т.д.). Затем, когда мы переходим от сигнала, непрерывного по времени, к сигналу, дискретному времени, интегрирование становится суммированием, а временной интервал становится «интервалом» точек данных, то есть количеством точек данных, которые были суммированы. И в конце у нас идет квадратный корень, который не меняется.

Таким образом, мы можем записать наш расчет среднеквадратичного значения (RMS), дискретного по времени, следующим образом:

\^2 + x^2 + … + x^2)}\]

Это начинает казаться знакомым? Мы возводим значения в квадрат, суммируем их, делим на количество значений и извлекаем квадратный корень.

Есть только два отличия между этой процедурой и процедурой, которую мы используем для расчета стандартного отклонения:

• В случае RMS мы делим на N; со стандартным отклонением мы (обычно) делим на N–1. Мы можем игнорировать эту разницу, потому что использование N–1 – это просто попытка компенсировать небольшой размер выборки (для получения дополнительной информации смотрите предыдущую статью).
• В случае RMS мы возводим в квадрат точки данных; в случае стандартного отклонения мы возводим в квадрат разницу между каждой точкой данных и средним значением.

Если мы пытаемся установить связь между среднеквадратичным значением и стандартным отклонением, второе различие может показаться решающим.

Однако учтите следующее: если среднее значение равно нулю, как это часто бывает в электрических сигналах, не будет никакой разницы между вычислением RMS и вычислением стандартного отклонения. Другими словами, для сигнала без смещения по постоянному току стандартное отклонение сигнала также равно среднеквадратичному значению.

Среднеквадратичное значение (RMS, Root Mean Square)

Большинство из нас, вероятно, впервые узнали о значениях RMS в контексте анализа сигналов переменного тока. В системах переменного тока среднеквадратичное значение напряжения или тока часто более информативно, чем значение, определяющее пиковое напряжение или ток, потому что RMS является более прямым путем к определению рассеиваемой мощности.

Мы не можем использовать пиковое значение напряжения или тока при расчете рассеиваемой мощности, потому что напряжение или ток постоянно меняются, и, следовательно, мгновенная рассеиваемая мощность также изменяется. Расчет на основе пикового значения приведет к завышению усредненной по времени мощности.

Среднеквадратичные значения позволяют рассчитывать рассеиваемую мощность, как если бы мы работали со значениями постоянного тока. Конкретнее, среднеквадратичное значение синусоидального напряжения или тока равно амплитуде сигнала постоянного напряжения или тока, которая создаст такое же количество усредненной по времени рассеиваемой мощности.

Батарея 12 В, подключенная к резистору 10 Ом, будет генерировать 122/10 = 14,4 Вт (мгновенной и средней) мощности. Если мы заменим батарею на источник переменного напряжения со среднеквадратичным значением напряжения 12 В, (средняя) мощность будет такой же.

Когда мы работаем с синусоидальными сигналами, вычислить среднеквадратичные значения просто: мы просто делим пиковое значение на \(\sqrt{2}\). Следующая диаграмма представляет собой интересную иллюстрацию этой взаимосвязи.

Рисунок 1 – Здесь мы вычисляем среднеквадратичное значение синусоидального сигнала, разделив пиковое значение на √2.

Мощность пропорциональна квадрату напряжения или тока. Постоянное напряжение 1 В, поданное на цепь с сопротивлением R, будет создавать 12/R=1/R Вт мощности. Взглянув на рисунок выше, мы можем видеть, что синяя кривая имеет среднее значение 1; таким образом, поскольку синяя кривая равна квадрату красной кривой, средняя мощность, генерируемая красной кривой, также будет равна 1/R.

Теперь обратите внимание на пиковое значение красной кривой: оно равно \(\sqrt{2}\) (приблизительно 1,4). Это подтверждает, что нам нужно разделить пиковое значение на \(\sqrt{2}\), чтобы определить значение, которое даст заданную среднюю мощность при применении стандартной формулы V2/R или I2R

Как рассчитать среднеквадратическое отклонение для AHT с помощью Microsoft Excel

Теперь, когда мы убедились, что вычислять стандартное отклонение AHT очень полезно, посмотрим, как это делается. Самый простой способ — использовать встроенные инструменты MS Excel. Для этого просто выполните такие действия:

• Занесите индивидуальные показатели AHT операторов в один столбец электронной таблицы.
• Используя функцию вычисления среднего арифметического AVERAGE (для русскоязычного MS Excel — СРЗНАЧ), рассчитайте среднее значение всех введенных данных. Excel не требует вычислять этот показатель отдельно, но он будет полезен для понимания итоговых результатов.
• Щелкните на любой свободной ячейке и выберите функцию оценки стандартного отклонения по выборке (STDEV или СТАНДОТКЛОН). Приложение попросит вас выделить группу цифр, которые вы будете использовать в расчете. Выделите все цифры, которые хотите использовать в анализе, и нажмите ENTER. Значение стандартного отклонения появится в открытой ячейке.

Расчет среднего квадратического

Для начала расчета введите исходные числа в одно из полей ввода-вывода данных.
В первое поле можно ввести последовательность чисел, разделенных точкой с запятой (программа попытается так же преобразовать к стандартному виду, например, вставленную копию последовательности чисел с плавающей точкой, разделенных пробелами, запятой или точкой с запятой).
Во второе поле можно вводить числа по одному — они автоматически будут добавляться к данным первого поля, если расчет не запустился автоматически, кликните по зеленой кнопке, показывающей количество чисел в исследуемом массиве:
 

Введите исходные данные

Введите число

Сохранить исходный ряд данныхупорядочить данные по возрастаниюупорядочить данные по убываниювернуть исходную последовательность

Что-то пошло не так…
Прямое восхождение не может быть больше 24 часов,
минуты и секунды больше 60,
а склонение по абсолютной величине не должно быть больше 90°

Усредненные показания и истинные среднеквадратичные значения

Инструменты с усредненными показаниями, такие как электрический тестер Fluke T5, рассчитывают значение исходя из предположения, что измеряемый сигнал представляет собой чистую синусоиду. В них используется ускоренный метод: фиксируется среднее значение выпрямленного переменного тока, после чего это число умножается на 1,11 для вычисления среднеквадратичного значения. Получившееся значение не является истинным; это, скорее, расчетная величина, полученная из предположения, что форма сигнала представляет собой чистую синусоиду. Если вы измеряете нагрузку с чистой синусоидой, этот метод будет очень точным.

Оба тестера на изображении измеряют одинаковую нагрузку с гармоническими искажениями. T6-1000 (справа) отображает истинные среднеквадратичные значения напряжения и тока. Электрический тестер с усредненными показаниями T5 (слева) использует расчетную величину, основанную на чистой синусоиде, что приводит к получению показаний, значение которых примерно на 33 % ниже фактического.

Если же вы проводите измерения в цепи с нелинейной нагрузкой, то степень неточности показаний инструмента с усредненными показаниями может достигать 40 %. Это может отсрочить точную диагностику неисправности и привести к замене компонентов, которые не требуют замены.

Инструмент для измерения истинных среднеквадратичных значений оснащен внутренней схемой, которая рассчитывает значение нагрева в соответствии с формулой среднеквадратичного значения. Этот метод позволяет получить правильное значение нагрева независимо от формы тока. Таким образом, вы сможете точно измерить фактический ток нагрузки и определить, является ли цепь неисправной, или она перегружена, или проблема кроется в самой нагрузке.

В таблице ниже приведено несколько примеров того, какие показания выдают инструменты с усредненными показаниями и инструменты, измеряющие истинные среднеквадратичные значения, при измерении сигналов различной формы.

Практическое применение

На практике среднеквадратическое отклонение позволяет оценить, насколько значения из множества могут отличаться от среднего значения.

Экономика и финансы

Среднее квадратическое отклонение доходности портфеля σ=DX{\displaystyle \sigma ={\sqrt {D}}} отождествляется с риском портфеля.

В техническом анализе среднеквадратическое отклонение используется для построения линий Боллинджера, расчёта волатильности.

Климат

Предположим, существуют два города с одинаковой средней максимальной дневной температурой, но один расположен на побережье, а другой внутри континента. Известно, что в городах, расположенных на побережье, множество различных максимальных дневных температур меньше, чем у городов, расположенных внутри континента. Поэтому среднеквадратическое отклонение максимальных дневных температур у прибрежного города будет меньше, чем у второго города, несмотря на то, что среднее значение этой величины у них одинаковое, что на практике означает, что вероятность того, что максимальная температура воздуха каждого конкретного дня в году будет сильнее отличаться от среднего значения, выше у города, расположенного внутри континента.

Спорт

Предположим, что есть несколько футбольных команд, которые оцениваются по некоторому набору параметров, например, количеству забитых и пропущенных голов, голевых моментов и т. п. Наиболее вероятно, что лучшая в этой группе команда будет иметь лучшие значения по большему количеству параметров. Чем меньше у команды среднеквадратическое отклонение по каждому из представленных параметров, тем предсказуемее является результат команды, такие команды являются сбалансированными. С другой стороны, у команды с большим значением среднеквадратического отклонения сложно предсказать результат, что в свою очередь объясняется дисбалансом, например, сильной защитой, но слабым нападением.

Использование среднеквадратического отклонения параметров команды позволяет в той или иной мере предсказать результат матча двух команд, оценивая сильные и слабые стороны команд, а значит, и выбираемых способов борьбы.

Правило трёх сигм

График плотности вероятности нормального распределения и процент попадания случайной величины на отрезки, равные среднеквадратическому отклонению.

Правило трёх сигм (3σ{\displaystyle 3\sigma }) гласит: вероятность того, что любая случайная величина отклонится от своего среднего значения менее чем на 3σ{\displaystyle 3\sigma }, — P(|ξ−Eξ∣<3σ)≥89{\displaystyle P(|\xi -E\xi \mid <3\sigma )\geq {\frac {8}{9}}}.

Практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале (μ−3σ;μ+3σ){\displaystyle \left(\mu -3\sigma ;\mu +3\sigma \right)}, где μ=Eξ{\displaystyle \mu =E\xi } — математическое ожидание случайной величины. Более строго — приблизительно с вероятностью 0,9973 значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале.

Выводы

Среднеквадратическое отклонение — очень важный инструмент не только применительно к среднему времени обработки вызовов в целом по контакт-центру. Вы можете вычислить его для звонков только строго определенных типов, для вызовов по направлениям бизнеса, который обслуживает контакт-центр, или, например, только для новых сотрудников. Этот метод можно также использовать для обработки других статистических данных, которые в избытке накапливаются в любом контакт-центре. Ведь обычные средние значения не смогут описать все, что происходит.

Просто попробуйте, и вы наверняка убедитесь, что в расчете среднеквадратичного отклонения нет ничего сложного. Зато эти данные окажут вам огромную помощь в тонкой настройке бизнес-процессов в контакт-центре.

См. также:

• Доступны для заказа новые беспроводные гарнитуры Plantronics для платформ Unified Communications
• Plantronics анонсировала усовершенствованные звуковые процессоры серии MDA400 QD
• Контакт-центр будущего: как искусственный интеллект измени работу операторов