Rc-цепь

Дифференцирующая цепь RC

Рассмотрим дифференциатор с применением Операционного Усилителя.

Идеальный ОУ здесь обеспечит равенство токов I_R = — I_C по правилу Кирхгофа.
Напряжение на входах ОУ равно нулю, следовательно, выходное напряжение U_out = U_R = — U_in = — U_C .
Исходя из производной заряда конденсатора, закона Ома и равенства значений токов в конденсаторе и резисторе, запишем выражение:

U_out = RI_R = — RI_C = — RC(dU_C /dt) = — RC(dU_in /dt)

Отсюда видим, что выходное напряжение U_out пропорционально производной заряда конденсатора dU_in /dt ,
как скорости изменения входного напряжения.

При величине постоянной времени RC, равной единице, выходное напряжение будет равно по значению производной входного напряжения,
но противоположно по знаку.
Следовательно, рассмотренная схема дифференцирует и инвертирует входной сигнал.

Производная константы равна нулю, поэтому постоянная составляющая при дифференцировании на выходе будет отсутствовать.

В качестве примера, подадим на вход дифференциатора сигнал треугольной формы.
На выходе получим прямоугольный сигнал.
Производная линейного участка функции будет константой, знак и величина которой определится наклоном линейной функции.

Для простейшей дифференцирующей цепочки RC из двух элементов используем пропорциональную зависимость выходного напряжения
от производной напряжения на выводах конденсатора.

U_out = RI_R = RI_C = RC(dU_C /dt)

Если взять номиналы элементов RC, чтобы постоянная времени была на 1-2 порядка меньше длины периода,
тогда отношение приращения входного напряжения к приращению времени в пределах периода может определять скорость изменения входного напряжения
в определённой степени точно. В идеале это приращение должно стремиться к нулю.
В таком случае основная часть входного напряжения будет падать на выводах конденсатора, а выходное будет составлять незначительную часть от
входного, поэтому для вычислений производной такие схемы практически не используются.

Наиболее часто дифференцирующие и интегрирующие цепи RC применяют для изменения длины импульса в логических и цифровых устройствах.
В таких случаях номиналы RC рассчитывают по экспоненте e-t/RC исходя из длины импульса в периоде и требуемых изменений.
Например, ниже на рисунке показано, что длина импульса T_i на выходе интегрирующей цепочки
увеличится на время 3τ. Это время разряда конденсатора до 5% амплитудного значения.

На выходе дифференцирующей цепи амплитудное напряжение после подачи импульса появляется мгновенно,
так как на выводах разряженного конденсатора оно равно нулю.
Далее следует процесс заряда и напряжение на выводах резистора убывает. За время 3τ оно уменьшится до 5% амплитудного значения.

Здесь 5% — величина показательная. В практических расчётах этот порог определится входными параметрами применяемых логических элементов.

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Переходный процесс

Рассмотрение импульсных устройств и схем не возможно без представлении о переходном процессе. Он возникает в цепях при различных коммутациях, то есть при включении или выключении элементов схемы, источников напряжения, при коротких замыканиях отдельных цепей и т.д. Переходный процесс объясняется тем, что энергия электромагнитных полей, связанных с цепью, в разные промежутки времени неодинакова, а резкое изменение энергии невозможно из-за ограниченной мощности .

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что напряжение на и ток в индуктивность не могут изменяться скачкообразно, так как данные параметры определяют энергию электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки индуктивности.

Таким образом, можно сделать вывод, что при рассмотрении импульсных схем наибольшее внимание необходимо обратить на цепи, представляющие собой комбинации и конденсаторов или резисторов и катушек индуктивностей (RC- и RL-цепей). Такие цепи применяются непосредственно для формирования импульсов, а также являются важнейшими элементами релаксационных генераторов, и других устройств

Поэтому ниже рассмотрим основные свойства элементарных RC- и RL-цепей, а также изменение формы импульсов при прохождении через эти цепи.

Влияние RC- и RL-цепей на импульсы различной формы

Несмотря на то, что формы электрических импульсов довольно разнообразны, их можно представить в виде суммы элементарных (типовых) напряжений трёх форм: скачкообразного, линейно изменяющегося и экспоненциального. Поэтому рассмотрим воздействие различных форм напряжений на RC- и RL-цепи.

Изображение RC- и RL-цепей.

Элементарные формы напряжения (сверху вниз): ступенчатое, линейно-изменяющееся, экспоненциальное.

Ступенчатое изменение напряжения
. При подключении RC-цепи к источнику постоянного напряжения u вх = Е = const, напряжения на конденсаторе и резисторе будет изменяться по экспоненциальному закону:

где е – математическая постоянная, е = 2,72;
t – время, с;τ
– постоянная времени, с. τ = RC
.

С определением напряжения всё понятно, но в практике чаще возникает вопрос о времени установления напряжения. Например, необходимо вычислить время за которое на конденсаторе установится напряжение равное u С = 0,95 Е. Простым преобразованием формулы напряжения получим

Аналогично при подключении RL-цепи к источнику постоянного напряжения u вх = Е = const

где τ
– постоянная времени, с. τ = L/R
.

Линейно изменяющееся напряжение
. При подключении RC-цепи к источнику линейно изменяющегося напряжения u ВХ = kt, напряжения на резисторе и конденсаторе будут изменяться согласно следующей формуле

Для RL-цепи подключённой к источнику с линейно изменяющимся напряжением u ВХ = kt, напряжения на элементах соответственно будут такими

Временные диаграммы напряжений при линейно изменяющемся напряжении в RC- и RL-цепях.

Экспоненциально изменяющееся напряжение. При подключении RC-цепи к источнику экспоненциально изменяющегося напряжения , напряжения на резисторе и конденсаторе будут изменяться согласно следующей формуле

где q = τ/τ 1 .

Соответственно напряжение на конденсаторе будет равно разности напряжений источника и напряжения на резисторе

Временные диаграммы для u R представлены ниже при различных значениях q. При больших значениях q, то есть постоянной времени цепи τ, формы напряжений u R близки к формам, соответствующим ступенчатому изменению входного напряжения. При уменьшении τ, кроме сокращения длительности спада напряжения u R , уменьшается и максимальное значение u R .

Временные диаграммы напряжений на резисторе RC-цепи при различных значениях
q = τ/τ 1 .

Формулы и временные диаграммы для напряжений на выходе RL-цепи оказываются такими же, как и для RC-цепи.

Электрическая цепь RC

Рассмотрим ток в электрической цепи, состоящей из конденсатора ёмкостью C и резистора сопротивлением R, соединённых параллельно.
Значение тока заряда или разряда конденсатора определится выражением I = C(dU/dt), а значение тока в резисторе,
согласно закону Ома, составит U/R, где U — напряжение заряда конденсатора.

Из рисунка видно, что электрический ток I в элементах C и R цепи будет иметь одинаковое значение и
противоположное направление, согласно закону Кирхгофа. Следовательно, его можно выразить следующим образом:

Решаем дифференциальное уравнение C(dU/dt)= -U/R

Интегрируем:

Из таблицы интегралов здесь используем преобразование

Получаем общий интеграл уравнения: ln|U| = — t/RC + Const.
Выразим из него напряжение U потенцированием: U = e-t/RC * eConst.
Решение примет вид:

U = e-t/RC * Const.

Здесь Const — константа, величина, определяемая начальными условиями.

Следовательно, напряжение U заряда или разряда конденсатора будет меняться во времени по экспоненциальному закону
e-t/RC.

Экспонента — функция exp(x) = exe – Математическая константа, приблизительно равная 2.718281828…

Интегрирующая RC-цепь

Реакция интегрирующей цепи на единичное ступенчатое воздействие.

Осциллограммы, снятые с последовательной RC цепи.R — 1500 Ом — желт.С — 100нФ — син.τ = 150us

Если входной сигнал подаётся к V_in, а выходной снимается с V_c (см. рисунок), то такая цепь называется цепью интегрирующего типа.

Реакция цепи интегрирующего типа на единичное ступенчатое воздействие с амплитудой V определяется следующей формулой:

Vc(t)=V(1−e−tRC).{\displaystyle \,\!V_{c}(t)=V_{0}\left(1-e^{-t/RC}\right).}

Таким образом, постоянная времени τ этого апериодического процесса будет равна

τ=RC.{\displaystyle \tau =RC.}

Интегрирующие цепи пропускают постоянную составляющую сигнала, отсекая высокие частоты, то есть являются фильтрами нижних частот. При этом чем выше постоянная времени τ{\displaystyle \tau }, тем ниже частота среза. В пределе пройдёт только постоянная составляющая. Это свойство используется во вторичных источниках питания, в которых необходимо отфильтровать переменную составляющую сетевого напряжения. Интегрирующими свойствами обладает кабель из пары проводов, поскольку любой провод является резистором, обладая собственным сопротивлением, а пара идущих рядом проводов ещё и образуют конденсатор, пусть и с малой ёмкостью. При прохождении сигналов по такому кабелю, их высокочастотная составляющая может теряться, причём тем сильнее, чем больше длина кабеля.

Применения

• Нелинейный интегратор
• Конвертер шим->аналоговый сигнал
• Фильтр нижних частот
• Линии задержки сигналов[источник не указан 1261 день]
• Формирование кратковременного уровня логического 0 или логической 1 для начальной установки состояния узлов цифровой техники (триггеров, счётчиков и т.д) при включении питания.

Фазовая цепь RC

Схема слева показывает одну сеть резистор-конденсатор, выходное напряжение которой «опережает» входное напряжение на угол менее 90 o . Идеальная однополюсная RC-цепь будет производить фазовый сдвиг точно на 90 o , а поскольку для колебаний требуется 180 o фазового сдвига, в конструкции RC-генератора необходимо использовать как минимум два однополюсных.

Однако в действительности трудно получить ровно 90 o фазового сдвига, поэтому используется больше стадий. Величина фактического фазового сдвига в цепи зависит от значений резистора и конденсатора, а выбранная частота колебаний с фазовым углом (  Φ  ) задается как:

Где: X _C — емкостное сопротивление конденсатора, R — сопротивление резистора, а ƒ — частота.

В нашем простом примере выше значения R и C были выбраны таким образом, чтобы на требуемой частоте выходное напряжение опережало входное напряжение под углом около 60 o . Затем фазовый угол между каждым последующим участком RC увеличивается еще на 60 o,, давая разность фаз между входом и выходом 180 o (3 x 60 o ), как показано на следующей векторной диаграмме.

Векторная диаграмма

Затем, соединяя вместе три такие RC-сети последовательно, мы можем произвести полный фазовый сдвиг в цепи 180 o на выбранной частоте, и это образует основы «генератора фазового сдвига», иначе называемого RC-генератором .

Мы знаем, что в схеме усилителя, использующей биполярный транзистор или операционный усилитель, он будет производить сдвиг фазы на 180 o между своим входом и выходом. Если трехступенчатая RC-сеть с фазовым сдвигом подключена между этим входом и выходом усилителя, общий фазовый сдвиг, необходимый для регенеративной обратной связи, составит 3 x 60 o + 180 o = 360 o, как показано ниже.

Три каскада RC каскадно соединены, чтобы получить необходимый наклон для стабильной частоты колебаний. Сдвиг фазы контура обратной связи составляет -180 o, когда фазовый сдвиг каждой ступени составляет -60 o . Это происходит, когда ω = 2πƒ = 1.732 / RC ( tan 60 o  = 1.732 ). Затем для достижения требуемого фазового сдвига в цепи генератора RC необходимо использовать несколько RC-фазосдвигающих сетей, таких как схема ниже.

Дифференцирующие и интегрирующие RC — цепи

Рассмотренные выше случаи заряда и разряда конденсатора аналогичны ситуации в цепи, когда на вход RC
— цепи подается одиночный прямоугольный импульс длительностиtu
>>
t
.
Процессы, происходящие в такой электрической цепи (рис.13 а, б
) при подаче на вход ее в момент t
= 0
идеального прямоугольного импульса напряжения с амплитудой U
от генератора с внутренним сопротивлением R
2
= 0
, иллюстрируется временными диаграммами на рис.14.

http://pandia.ru/text/79/193/images/image018_17.gif» width=»265″ height=»182 src=»>

а

б

Р и с. 13

С моментаt
=
t
1
(положим t
1
= 0
), начинается процесс заряда конденсатора, описываемый уравнениями рис.14 а
, 14 б
).

При t
=
t
2
=
tu
напряжения на конденсаторе и резисторе описываются уравнениями(12), (14) и начинается разряд конденсаторов на сопротивление R
(рис.14 а
, 14 б
). При этом полярность напряжения на резисторе меняется на противоположную в соответствии с направлением тока разряда конденсатора (ф-ла 13). Следует заметить, что форма напряжения Uc
,
UR
существенно зависит от соотношения между постоянной времени цепи t
с
и длительностью импульса tu
=
t
2
—
t
1
. На рис. 14 представлены следующие соотношения между t
с
иtu
:

t
с
/ tu
= 1 ;
t
с
/ tu
>>
1;
t
с
/ tu
1.

В случае t
с
/ tu
>>
1
конденсатор за время действия импульса почти не заряжается и напряжение на резисторе R
практически повторяет по форме и амплитуде импульс на входе. В течение действия импульса в электрическом поле конденсатора накапливается незначительное количество энергии и поэтому после окончания действия импульса (t
=
t
2
)
в цепи практически не возникает переходный процесс. Такая RC
— цепь называется переходной (разделительной).

При t
=
tu
конденсатор успевает зарядиться до Uc
(t
с
/ tu
) = 0,63
U
,

UR
(t) = UR(t
с
) = 0,37U0.
После окончания действия импульса в цепи возникает переходный процесс, обусловленный рассеянием энергии, запасенной в конденсаторе. В цепи появляется разрядный ток, направление которого противоположно направлению зарядного тока. При

t
с
/ tu
1
конденсатор успевает зарядиться уже в начале импульса

(U0 = Uc).
На сопротивлении появится короткий импульс положительной полярности, обусловленный протеканием зарядного тока. В момент окончания входного импульса (t
=
t
2
)
в цепи возникает ток разряда конденсатора и на резисторе появится отрицательный импульс (рис.15 б
).

http://pandia.ru/text/79/193/images/image020_16.gif» width=»302″ height=»503 src=»>

а

б

Р и с. 14

Выходным элементом RC
—

цепи может быть как конденсатор С
(рис.15), так и резистор R
(рис.1 6).
Как следует из приведенных выше временных диаграмм Uc
(t
),
UR
(t
)
форма выходного сигнала будет зависеть от соотношения между длительностью импульсаtu
и постоянной времени t
с
.

http://pandia.ru/text/79/193/images/image022_11.gif» width=»294″ height=»617 src=»>

Р и с. 15 Р и с. 16

Рассмотрим цепь, изображенную на рис.15, т. е. с емкостным выходом:

UR
(t) = I(t)R = U
вх
(t) — Uc(t),
(26)

Uc
(t
) =
q
(t
) / С = 1/С
ò
I
(t
)
dt
= 1/С
ò
U
вх
(t
) —
Uc
(t
)
R
dt
,

еслиUc
(t
)
U
вх
(t
),
то Uc
(t
) = 1/С
ò
U
вх
(t
) ,
(27)

т. е. выходное напряжение пропорционально интегралу от входного. Поэтому RC
— цепь с емкостным выходом (t
с
/ tu
>>
1)
называется интегрирующей.

Рассмотрим RC
—

цепь, изображенную на рис. 16, т. е. с резистивным выходом:

I(t) = dq(t) / dt = C dUc(t) / dt

где q
(
t

)

— заряд на конденсаторе.

Напряжение на резисторе

UR
(t) = I(t)R = RC
×
dUc / dt = RC d/dt
×
U
вх
(t) — UR(t)
,

так как Uc
(t
) —
UR
(t
) =
U
вх
(t
).

Если UR(t) UR(t) = RC
×
dUвх(t) / dt,

т. е. выходное напряжение пропорционально производной входного. Такую RC
— цепь называют дифференцирующей (укорачивающей).
Обычно длительность выходных (укороченных) импульсов такой RC — цепи определяют на уровне 0,5
U
, т. е.

0,5 U0 = U0 e-tu/
t
c
,
(28)

Имеем: ln
0,5 = —
tu
t
,
илиtu
= 0,7
t
c
.

Выражение (28)
может быть использовано для экспериментального определения t
с
=
RC
.