Отрицательная обратная связь, часть 5: запас по усилению и запас по фазе

Введение

ЛАФЧХ строится в виде двух графиков: логарифмической амплитудно-частотной характеристики и логарифмической фазо-частотной характеристики, которые обычно располагают друг под другом.

ЛАЧХ

ЛАЧХ — это зависимость модуля коэффициента усиления (напряжения, тока или мощности) устройства, (20⋅lg⁡(|Aout||Ain|){\displaystyle 20\cdot \lg(|A_{out}|/|A_{in}|)}, для мощности 10⋅lg⁡(|Pout||Pin|){\displaystyle 10\cdot \lg(|P_{out}|/|P_{in}|)}, от частоты в логарифмическом масштабе.

Масштаб по оси абсцисс ЛАЧХ

По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, единица измерения — безразмерная величина:

• декада (дек): 1 декада равна изменению частоты в 10 раз.
• октава(окт): 1 октава равна изменению частоты в 2 раза.

Масштаб по оси ординат ЛАЧХ

По оси ординат откладывается амплитуда выходного сигнала в логарифмических безразмерных величинах:

децибел (дБ) (десятая часть бела) — это отношение мощностей (10 децибел равно изменению мощности в 10 раз).

1 децибел равен (для амплитуд размерности напряжения) одной двадцатой изменению амплитуды сигналов в 10 раз.

непер (Нп): 1 непер равен изменению амплитуды сигналов в е раз

ЛФЧX

ЛФЧХ — это зависимость разницы фаз выходного и входного сигналов от частоты в полулогарифмическом масштабе

• по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе (в декадах или октавах)
• по оси ординат откладывается выходная фаза в угловых градусах или радианах.

Неперы и октавы в настоящее время являются устаревшими и практически не используются.

Причины построения амплитудных и фазных характеристик в логарифмическом масштабе — возможность исследования характеристик в большом диапазоне.

Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ

Собственно ЛАЧХ и ЛФЧХ мало используются на практике.

Для более наглядного анализа характеристик применяются их модифицированные варианты — асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (АЛАЧХ) и асимптотическая логарифмическая фазо-частотная характеристика (АЛФЧХ), при этом кривая заменяется отрезками ломаной прямой. Обычно слово «асимптотическая» опускают, но всегда надо помнить, что АЛАЧХ (АЛФЧХ) и ЛАЧХ (ЛФЧХ) — это разные характеристики.

Анализ систем с помощью АЛФЧХ весьма прост и удобен, поэтому находит широкое применение в различных отраслях техники, таких, как цифровая обработка сигналов, электротехника и теория управления.

Обзор документа

Предложены новые требования к устойчивости Единой энергетической системы России и технологически изолированных территориальных электроэнергетических систем, параметрам электроэнергетического режима и их значениям; к составу нормативных возмущений, подлежащих учету при определении устойчивости электроэнергетической системы; к определению максимально допустимых и аварийно допустимых перетоков активной мощности в контролируемых сечениях (допустимой нагрузки электростанций).

Определяются используемые показатели. Приводятся формулы расчета параметров.

Действующие требования признаются утратившими силу.

Для просмотра актуального текста документа и получения полной информации о вступлении в силу, изменениях и порядке применения документа, воспользуйтесь поиском в Интернет-версии системы ГАРАНТ:

Оценка устойчивости автоматической системы по ее структуре.

В ряде случаев оценить устойчивость автоматической системы можно по ее структуре. Это значительно сокращает время, так как нет необходимости составлять характеристическое уравнение.

Если система имеет такую структуру, что в ней невозможно обеспечить устойчивость ни при каком значении ее элементов, то такая система называется структурно-неустойчивой.

Оценим устойчивость данной системы по ее структуре. Например, если система имеет два интегрирующих звена, не охваченных жесткой обратной связью, и не имеет последовательно включенных дифференцирующих звеньев, то она будет неустойчивой при любом значении параметров ее элементов.

Покажем это на примере простейшей системы, состоящей из одного апериодического и двух интегрирующих звеньев. Передаточная функция такой системы в разомкнутом состоянии

,

а характеристическое уравнение замкнутой системы

.

Для этого уравнения не выполняется необходимое условие устойчивости. Следовательно, система будет неустойчива при любых значениях параметров Т и К, т.е. она будет структурно-неустойчивой.

Структурно-неустойчивую систему можно превратить в устойчивую только изменением ее структуры, т.е. введением дополнительных элементов, например, дифференцирующих элементов при включении пропорциональных элементов параллельно интегрирующим.

Вспомогательная информация

Емкостная нагрузка вызывает множество проблем. Отчасти это происходит потому, что она может уменьшить полосу пропускания и скорость нарастания выходного напряжения. Но основная причина трудностей – это то, что запаздывание по фазе, которое емкостная нагрузка вносит в контур обратной связи операционного усилителя, может вызвать неустойчивость. Несмотря на то, что некоторая емкостная нагрузка всегда неизбежна, слишком большая величина ее может вызвать выбросы и «звон» на выходе усилителя и даже возбуждение. Эта проблема становится особенно серьезной, когда необходимо подавать высокочастотный сигнал на большую емкостную нагрузку, такую как жидкокристаллическая панель или плохо согласованный коаксиальный кабель, но неприятные сюрпризы могут возникать и в прецизионных низкочастотных применениях или на постоянном токе.

Как правило, операционный усилитель наиболее склонен к неустойчивости, когда он включен как повторитель с единичным усилением. Это вызвано отсутствием ослабления в обратной связи, а также большим размахом синфазного сигнала, который хотя и незначительно влияет на усиление сигнала, но может модулировать петлевое усиление в зоне неустойчивости.

На способность операционного усилителя управлять емкостной нагрузкой влияют следующие основные факторы:

1. внутренняя архитектура усилителя (например, выходной импеданс, усиление и запас по фазе, внутренняя схема коррекции);
2. природа емкостной нагрузки;
3. ослабление и фазовый сдвиг в схеме обратной связи с учетом влияния нагрузки на выходе, входного импеданса и паразитных емкостей.

Среди перечисленных параметров наибольшее влияние на работу с емкостной нагрузкой оказывает выходной импеданс усилителя, представленный выходным сопротивлением R_вых. В идеале, устойчивый операционный усилитель с R_вых = 0 может работать на любую емкостную нагрузку без ухудшения фазовых характеристик.

Большинство усилителей оптимизировано для работы с небольшой нагрузкой, поэтому их схемы внутренней коррекции (компенсации) не предназначены для работы со значительной емкостью на выходе. Поэтому при большой емкостной нагрузке на выходе операционного усилителя необходимо использовать внешнюю коррекцию. Обычно это требуется в усилителях схем выборки-хранения, пиковых детекторах и при работе на несогласованные коаксиальные кабели.

Емкостная нагрузка, как показано на рисунках 1 и 2, одинаково влияет на усиление разомкнутой цепи обратной связи как в инвертирующем, так и в неинвертирующем усилителе. Емкость нагрузки C_нагр образует полюс совместно с выходным сопротивлением при разомкнутой обратной связи R_вых.

Рисунок 1 – Упрощенная схема операционного усилителя с емкостной нагрузкойРисунок 2 – Диаграмма Боде для схемы на рисунке 1

Выражение для усиления при емкостной нагрузке можно записать следующим образом:

\

где

\

А – коэффициент усиления усилителя с разомкнутой обратной связью без нагрузки.

Полюс вносит наклон -20 дБ на декаду и задержку по фазе на 90°. Они добавляются к наклону -20 дБ на декаду и задержке по фазе на 90°, которые вносит усилитель, и к другим существующим в схеме задержкам. В результате наклон логарифмической амплитудно-частотной характеристики превышает -40 дБ на декаду, что, в свою очередь, вызывает неустойчивость.

Вопрос. Требуются ли для разных схем разные способы?

Ответ. Да, конечно. Вам нужно выбрать способ коррекции, который лучше всего подходит для вашего проекта. Некоторые примеры подробно разобраны далее. Например, рассмотрим способ коррекции, дополнительным преимуществом которого служит фильтрация шума на выходе операционного усилителя при помощи RC-цепи в обратной связи.

Коэффициент — запас — устойчивость

Коэффициент запаса устойчивости ( в пределах 3 — 5) определяют как отношение действительного критического давления к рабочему давлению.
 

Коэффициент запаса устойчивости для неоднородных материалов берется выше, чем для однородных.
 

Коэффициент запаса устойчивости против всплытия равен отношению суммы веса трубопровода со средой и вега балляг.
 

Коэффициент запаса устойчивости ( ( й Тр / Шрт 282 / 209 1 35) вполне удовлетворительный.
 

Коэффициент запаса устойчивости о) Рт / Шкр 278 / 382 0 73, что вполне допустимо.
 

Коэффициент запаса устойчивости k определяется как отношение момента удерживающего к моменту опрокидывающему относительно ребра опрокидывания. При расчете грузовой устойчивости за опрокидывающий момент принимается момент, создаваемый весом груза; при расчете собственной устойчивости — момент, создаваемый ветром нерабочего состояния. Удерживающий момент создается весом крана и может уменьшаться от влияния наклона крана, а при рабочем состоянии — также от действия сил инерции и ветра рабочего состояния.
 

Коэффициент запаса устойчивости принять равным 3.5. Концы шатуна считать в плоскости его движения закрепленными шарнирно.
 

Коэффициент запаса устойчивости принимается более высоким, чем коэффициент запаса прочности. Это вызывается рядом обстоятельств, практически не поддающихся учету ( начальная кривизна стержня, нецентральное действие нагрузки и др.), которые уменьшают критическую нагрузку, но почти не влияют на прочность конструкции.
 

Коэффициент запаса устойчивости ( ГОСТ 14249 — 80) рекомендуется принимать при расчете сосудов по критическим напряжениям в пределах упругости у — 2 4 для рабочих условий; лу 1 8 для условий испытаний и монтажа.
 

Коэффициент запаса устойчивости принимается более высоким, чем коэффициент запаса прочности. Это вызывается рядом обстоятельств, практически не поддающихся учету ( начальная кривизна стержня, нецентральное действие нагрузки и др.), которые уменьшают критическую нагрузку, но почти не влияют на прочность конструкции.
 

Коэффициент запаса устойчивости не задан, но известно основное допускаемое напряжение, и, следовательно, расчет надо вести по коэффициенту ф продольного изгиба.
 

Коэффициент запаса устойчивости принять равным 3.5. Концы шатуна считать в плоскости его движения закрепленными шарнирно.
 

Коэффициент запаса устойчивости основания г определяется как отношение величины предельной нагрузки к величине расчетной ( действующей) нагрузки.
 

Переходной процесс

Наша цель этих моделирований переходных процессов состоит в том, чтобы наполнить усилитель различными высокочастотными сигналами, чтобы мы могли увидеть, не вызовет ли какой-либо из них возбуждение колебаний в схеме. На самом деле это гораздо проще, чем кажется: всё, что нам нужно, – это быстрое переключение с одного постоянного напряжения на другое. Преобразование Фурье ступенчатой функции говорит нам, что импульс с быстрым нарастающим фронтом будет содержать, по меньшей мере, небольшое количество энергии вплоть до очень высоких частот. Таким образом, применение аппроксимации ступенчатой функции позволяет нам вызывать любые колебания, которым может быть подвержена схема. В этом моделировании мы используем шаг входного сигнала 100 мкВ с временем нарастания 10 нс. Давайте рассмотрим переходной процесс для схемы обратной связи, показанной выше, которая соответствует β = 0,013 и запасу по фазе = 45°.

Рисунок 2 – Переходной процесс на выходе схемы обратной связи

Первое, на что следует обратить внимание, это то, что этот достаточно устойчивый усилитель не лишен перерегулирования (выбросов). Запас по фазе 45° не означает, что переходной процесс будет идеально воспроизводить входной сигнал

На самом деле всегда существует компромисс между временем отклика (временем нарастания фронта) и перерегулированием (выбросами) – это просто свойство отрицательной обратной связи. Если вы сделаете β достаточно маленьким, чтобы исключить все выбросы, вы в конечном итоге получите систему, для которой требуется слишком много времени, чтобы установить окончательное значение, как показано на следующем графике:

Рисунок 3 – Зависимость времени отклика (времени нарастания фронта) и перерегулирования (выбросов) от коэффициента обратной связи

На среднем графике мы видим некоторый выброс, даже когда β намного ниже значения, которое дает нам достаточно устойчивый усилитель. На нижнем графике мы устранили перерегулирование, но вместо этого мы имеем вялый переходной процесс, который занимает в три или четыре раза больше времени, чтобы достичь необходимого выходного уровня.

Запас — статическая устойчивость

Запас статической устойчивости ( характеризуется коэффициентами запаса статической устойчивости по мощности или ло напряжению на шинах приемной подстанции.
 

Запас статической устойчивости режима качественно определяется близостью к режиму, соответствующему границе области, в которой появляется апериодическое или колебательное нарушение устойчивости. Запас количественно характеризуется коэффициентами запаса Кр по потокам активной мощности в сечениях Р системы и по напряжению в узлах нагрузки Ки, приведенными ниже.
 

Запас статической устойчивости энергосистемы оценивается по наименьшему значению запаса, т.е. по наихудшей точке. В тех случаях, когда наихудшая точка известна, расчет может быть ограничен определением запаса для одной этой точки.
 

Запас статической устойчивости данного режима качественно определяется близостью к режиму, лежащему на границе области, в которой появляется апериодическое или колебательное нарушение устойчивости.
 

Запас статической устойчивости нормального режима для межсистемной связи обычно является определяющим.
 

Коэффициент запаса статической устойчивости по напряжению ( 2 — 10) показывает, на сколько процентов может быть снижено напряжение на шинах приемной подстанции, прежде чем при той же величине передаваемой мощности, произойдет нарушение статической устойчивости.
 

Величина запаса статической устойчивости имеет существенное практическое значение. При изменениях режима системы он может приближаться к режиму, предельному по условиям статической устойчивости. Такое приближение режима к предельному называется ухудшением или утяжелением режима. Имеющийся в данном режиме запас статической устойчивости определяет меру возможности ухудшения режима до нарушения статической устойчивости.
 

Величина запаса статической устойчивости в послеаварийном режиме может быть принята меньшей, чем в нормальном режиме. Эти величины относятся к увеличению мощности Передачи. Указанные величины пока еще не имеют строгих обоснований и базируются на эксплуатационном опыте.
 

Как определяется запас статической устойчивости при утяжелении режима.
 

Требуется определить запас статической устойчивости системы в следующих случаях: а) при отсутствии ЛРВ; б) при АРВ пропорционального типа; в) при АРВ сильного действия.
 

Требуется определить запас статической устойчивости рассматриваемого узла нагрузок.
 

Необходимые коэффициенты запаса статической устойчивости в послеаварийных режимах и условия применения ПА для обеспечения успешности переходных процессов должны соответствовать требованиям по устойчивости энергосистем.
 

Запас устойчивости САУ.

Запас устойчивости – это количественная оценка отклонения значений параметров системы или ее характеристик от зоны, опасной с точки зрения устойчивости. Запас устойчивости по параметрам характеризует расстояние граничной кривой, определяющей область разрешенных значений параметров, от границы области устойчивости. На рис. 7.7 запас устойчивости по параметрам Т и К обозначен через h.

Запас устойчивости по критерию Михайлова равен радиусу окружности r, в которую не должна заходить кривая Михайлова (рис. 7.8). Центром окружности является «опасная» точка при применении критерия Михайлова, т.е. начало координат.

При применении критерия Найквиста «опасной» точкой является точка с координатами -1, j0. Оценка запаса устойчивости, исходя из этого критерия, производится по амплитуде и фазе. Запас устойчивости по амплитуде А (рис. 7.9,а) равен расстоянию от точки пересечения АФЧХ разомкнутой системы вещественной оси до точки -1, j0, а запас по фазе φ₁ (рис. 7.9,а) – углу между вещественной осью и вектором, проведенным из начала координат в точку пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса.

При оценке устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам запас устойчивости по амплитуде определяется как ордината ЛАХ при фазе φ = -π и измеряется в децибелах. Запас устойчивости по фазе φ₁ определяется по фазовой частотной характеристике при частоте среза ω_с, т.е. при частоте пересечения ЛАХ оси частот. В этой точке значение ЛАХ равно нулю, так как модуль АФЧХ в этой точке равен единице.

На рис. 7.9,б запас по амплитуде А€/i>₁ выражен в логарифмическом масштабе. Чем больше по абсолютной величине А₁, тем дальше от точки -1 пересекает АФЧХ устойчивой системы вещественную ось и, следовательно, тем больше величина А (рис. 7.9,а). Отсюда следует, что запасы по амплитудам А и А₁ одинаково характеризуют расположение АФЧХ разомкнутой системы при фазе – π, только измеряются они в разных масштабах.

Внутрепетлевая коррекция

На рисунке 3 показан распространенный способ коррекции, который часто называют внутрипетлевой (in-the-loop) коррекцией. Небольшое последовательно включенное сопротивление R_X отделяет выход усилителя от C_нагр, а небольшая емкость C_F введена в контур обратной связи, обеспечивая развязку от C_нагр на высоких частотах.

Рисунок 3 – Cхема внутрепетлевой коррекции

Для лучшего понимания этой техники рассмотрим отдельно перерисованную обратную связь схемы, показанную на рисунке 4. Точка V_B подключается к инвертирующему входу усилителя.

Рисунок 4 – Обратная связь схемы

Оба конденсатора, C_F и C_нагр, на постоянном токе представляют собой разрыв цепи, а на высоких частотах их можно считать накоротко замкнутыми. Помня об этом и глядя на рисунок 4, применим это рассуждение к каждому конденсатору в отдельности.

Случай 1 (рисунок 5a)

Если C_F замкнут накоротко, R_X<<R_F и R_вых<<R_вх, то полюс и ноль будут определяться значениями C_нагр, R_вых и R_X.

Рисунок 5a – Конденсатор C_F замкнут накоротко

Таким образом,

\

\

Случай 2 (рисунок 5b)

Если C_нагр представляет собой разрыв цепи, то полюс и ноль определяются значением C_F.

Рисунок 5b – Конденсатор C_нагр представляет собой разрыв цепи

Таким образом,

\}\]

\

Приравняв полюс из случая 1 к нулю из случая 2, а полюс из случая 2 – к нулю из случая 1, мы получим следующие два уравнения:

\

\

Формула для C_F содержит член A_ОС (коэффициент усиления усилителя с замкнутой петлей обратной связи, \(1 + R_F/R_{вх}\)). Необходимость включения этого члена в формулу была обнаружена экспериментально. Для описанной схемы этих двух формул достаточно, чтобы рассчитать цепи коррекции для любого операционного усилителя с любой емкостной нагрузкой.

Несмотря на то, что этот метод помогает предотвратить возбуждение при работе на большую емкостную нагрузку, он значительно уменьшает полосу пропускания схемы с замкнутой обратной связью. Полоса здесь определяется не операционным усилителем, а внешними компонентами, C_F и R_F, которые задают полосу пропускания на уровне -3 дБ:

\

Хорошим практическим примером этой техники коррекции может служить AD8510, который безопасно работает на нагрузку до 200 пФ, сохраняя запас по фазе 45° на частоте единичного усиления. Если в схеме, показанной на рисунке 3, использовать AD8510 с коэффициентом усиления 10, то при емкости нагрузки 1 нФ и типовом выходном импедансе 15 Ом значения R_X и C_F, рассчитанные по приведенным выше формулам, составят 2 Ом и 2 пФ соответственно. Реакция схемы на прямоугольные импульсы показана на рисунке 6. Хорошо виден быстрый отклик с колебательным переходным процессом в нескорректированной схеме и более медленный, но монотонный отклик в схеме с коррекцией.

Рисунок 6 – Выходной сигнал AD8510 без коррекцииРисунок 7 – Выходной сигнал AD8510 с коррекцией

Обратите внимание: на рисунке 7 видно, что резистор RX не ухудшает точность по постоянному току, так как он находится внутри петли обратной связи. Однако сопротивление RX должно оставаться достаточно малым, чтобы избежать чрезмерного уменьшения размаха выходного сигнала и ухудшения скорости нарастания

Примечание. Обсуждаемое здесь поведение обычно наблюдается у наиболее распространенных операционных усилителей с обратной связью по напряжению. Усилители с обратной связью по току требуют другого подхода, и это выходит за рамки нашего обсуждения. Если эту технику использовать для усилителей с обратной связью по току, то применение C_F приведет к неустойчивости схемы.