Как вычисляется формула кинетической и потенциальной энергии

В специальной теории относительности

Энергия и масса

Основная статья: Эквивалентность массы и энергии

Согласно специальной теории относительности между массой и энергией существует связь, выражаемая знаменитой формулой Эйнштейна:

E=mc2,{\displaystyle E=mc^{2},}

где E{\displaystyle E} — энергия системы;

m{\displaystyle m} — её масса;

c{\displaystyle c} — скорость света в вакууме.

Несмотря на то, что исторически предпринимались попытки трактовать это выражение как полную эквивалентность понятия энергии и массы, что, в частности, привело к появлению такого понятия как релятивистская масса, в современной физике принято сужать смысл этого уравнения, понимая под массой массу тела в состоянии покоя (так называемая масса покоя), а под энергией — только внутреннюю энергию, заключённую в системе.

Энергия тела, согласно законам классической механики, зависит от системы отсчёта, то есть неодинакова для разных наблюдателей. Если тело движется со скоростью v{\displaystyle v} относительно некоего наблюдателя, то для другого наблюдателя, движущегося с той же скоростью, оно будет казаться неподвижным. Соответственно, для первого наблюдателя кинетическая энергия тела будет равна, mv22{\displaystyle mv^{2}/2}, где m{\displaystyle m} — масса тела, а для другого наблюдателя — нулю.

Эта зависимость энергии от системы отсчёта сохраняется также в теории относительности. Для определения преобразований, происходящих с энергией при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой используется сложная математическая конструкция — тензор энергии-импульса.

Зависимость энергии тела от скорости рассматривается уже не так, как в ньютоновской физике, а согласно вышеназванной формуле Эйнштейна:

E=mc21−v2c2,{\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},}

где m{\displaystyle m} — инвариантная масса. В системе отсчёта, связанной с телом, его скорость равна нулю, а энергия, которую называют энергией покоя, выражается формулой:

E=mc2.{\displaystyle E_{0}=mc^{2}.}

Это минимальная энергия, которую может иметь тело, обладающее массой. Значение формулы Эйнштейна также в том, что до неё энергия определялась с точностью до произвольной постоянной, а формула Эйнштейна указывает абсолютное значение этой постоянной.

Энергия и импульс

Специальная теория относительности рассматривает энергию как компоненту 4-импульса (4-вектора энергии-импульса), в который наравне с энергией входят три пространственные компоненты импульса. Таким образом энергия и импульс оказываются связанными и оказывают взаимное влияние друг на друга при переходе из одной системы отсчёта в другую.

Термодинамика

Количество теплоты (энергии) необходимое для нагревания некоторого тела (или количество теплоты выделяющееся при остывании тела) рассчитывается по формуле:

Теплоемкость (С — большое) тела может быть рассчитана через удельную теплоёмкость (c — маленькое) вещества и массу тела по следующей формуле:

Тогда формула для количества теплоты необходимой для нагревания тела, либо выделившейся при остывании тела может быть переписана следующим образом:

Фазовые превращения. При парообразовании поглощается, а при конденсации выделяется количество теплоты равное:

При плавлении поглощается, а при кристаллизации выделяется количество теплоты равное:

При сгорании топлива выделяется количество теплоты равное:

Уравнение теплового баланса (ЗСЭ). Для замкнутой системы тел выполняется следующее (сумма отданных теплот равна сумме полученных):

Если все теплоты записывать с учетом знака, где «+» соответствует получению энергии телом, а «–» выделению, то данное уравнение можно записать в виде:

Работа идеального газа:

Если же давление газа меняется, то работу газа считают, как площадь фигуры под графиком в p–V координатах. Внутренняя энергия идеального одноатомного газа:

Изменение внутренней энергии рассчитывается по формуле:

Первый закон (первое начало) термодинамики (ЗСЭ):

Для различных изопроцессов можно выписать формулы по которым могут быть рассчитаны полученная теплота Q, изменение внутренней энергии ΔU и работа газа A. Изохорный процесс (V = const):

Изобарный процесс (p = const):

Изотермический процесс (T = const):

Адиабатный процесс (Q = 0):

КПД тепловой машины может быть рассчитан по формуле:

Где: Q₁ – количество теплоты полученное рабочим телом за один цикл от нагревателя, Q₂ – количество теплоты переданное рабочим телом за один цикл холодильнику. Работа совершенная тепловой машиной за один цикл:

Наибольший КПД при заданных температурах нагревателя T₁ и холодильника T₂, достигается если тепловая машина работает по циклу Карно. Этот КПД цикла Карно равен:

Абсолютная влажность рассчитывается как плотность водяных паров (из уравнения Клапейрона-Менделеева выражается отношение массы к объему и получается следующая формула):

Относительная влажность воздуха может быть рассчитана по следующим формулам:

Потенциальная энергия поверхности жидкости площадью S:

Сила поверхностного натяжения, действующая на участок границы жидкости длиной L:

Высота столба жидкости в капилляре:

При полном смачивании θ = 0°, cos θ = 1. В этом случае высота столба жидкости в капилляре станет равной:

При полном несмачивании θ = 180°, cos θ = –1 и, следовательно, h < 0. Уровень несмачивающей жидкости в капилляре опускается ниже уровня жидкости в сосуде, в которую опущен капилляр.

Динамика

Второй закон Ньютона:

Здесь: F — равнодействующая сила, которая равна сумме всех сил действующих на тело:

Второй закон Ньютона в проекциях на оси (именно такая форма записи чаще всего и применяется на практике):

Третий закон Ньютона (сила действия равна силе противодействия):

Сила упругости:

Общий коэффициент жесткости параллельно соединённых пружин:

Общий коэффициент жесткости последовательно соединённых пружин:

Сила трения скольжения (или максимальное значение силы трения покоя):

Закон всемирного тяготения:

Если рассмотреть тело на поверхности планеты и ввести следующее обозначение:

Где: g — ускорение свободного падения на поверхности данной планеты, то получим следующую формулу для силы тяжести:

Ускорение свободного падения на некоторой высоте от поверхности планеты выражается формулой:

Скорость спутника на круговой орбите:

Первая космическая скорость:

Закон Кеплера для периодов обращения двух тел вращающихся вокруг одного притягивающего центра:

Примечания

1. ↑ Смит, Кросби. The science of energy: a cultural history of energy physics in Victorian Britain. — The University of Chicago Press, 1998. — ISBN 0-226-76421-4.
2. Томсон, Уильям. Об источниках энергии, доступных человеку для совершения механических эффектов = On the sources of energy available to man for the production of mechanical effect. — BAAS Rep, 1881. С. 513
3. Richard Feynman. The Feynman Lectures on Physics. — США: Addison Wesley, 1964. — Vol. 1. — ISBN 0-201-02115-3.
4. Фейнман, Ричард. Фейнмановские лекции по физике = The Feynman Lectures on Physics. — Т. 1.
5. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теоретическая физика. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — Т. I. Механика. — 224 с. — ISBN 5-9221-0055-6.
6. , с. 11.
7. , с. 18.
8. , с. 19.
9. Джоуль (единица энергии и работы) — статья из Большой советской энциклопедии. Г. Д. Бурдун. 
10. ↑ , с. 134.

Вклад других[править | править код]

Эйнштейн не был единственным, кто соотносил энергию и массу, но он был первым, кто представил это в виде части более обширной теории, и, более того, кто вывел формулу из общих предпосылок теории.
Согласно Умберто Барточи (историку математики из университета Перуджи), уравнение было впервые опубликовано двумя годами ранее неким Олинто де Прето, промышленником из Виченцы в Италии, хотя этот факт обычно не считается правдивым или значительным среди основной части историков. Даже если Де Прето опубликовал формулу, именно Эйнштейн связал её с теорией относительности. Более того, все предпосылки создания формулы Е=mc2, до Эйнштейна, основывались на Ньютоновой механике, ограниченность которой, уже указывалась.

Формула кинетической энергии при вращении

Кинетической называют энергию движения.

Рис. 2. Кинетическая энергия.

Найдем кинетическую энергию вращающейся материальной точки.

Пусть изначально материальная точка с моментом инерции $J = mR^2$ вращается по траектории радиусом $R$ c угловой скоростью $\omega$. Начнем равномерно тормозить вращение, чтобы до полной остановки точка повернулась на угол $\alpha$.

При равномерном торможении сила торможения $F$ и момент этой силы $M=FR$ будут постоянными. А значит, согласно Второму Закону Ньютона, угловое ускорение, получаемое материальной точкой, тоже будет постоянным, и равным:

$$\varepsilon = {M \over J}$$

Для равноускоренного вращения угол поворота и угловая скорость и угловое ускорение связаны соотношением:

$$\alpha ={\omega_2^2-\omega_1^2\over 2\varepsilon}$$

Учитывая полную остановку вращения, и формулу ускорения, получаем:

$$\alpha ={\omega^2\over 2\varepsilon}={\omega^2 J \over 2M}$$

Во время поворота на этот угол на тело постоянно действовал момент силы торможения $M$, а значит была совершена работа:

$$A = \alpha M={\omega^2 J \over 2}$$

Поскольку материальная точка остановилась – то вся первоначальная кинетическая энергия $E_k$ была направлена на совершение работы, и, таким образом, эта энергия равна совершенной работе.

В итоге мы получили формулу полной кинетической энергий вращательного движения материальной точки:

$$E_k ={\omega^2 J \over 2}={\omega^2 mR^2\over 2}$$

Примечания

1. ↑ Смит, Кросби. The science of energy: a cultural history of energy physics in Victorian Britain. — The University of Chicago Press, 1998. — ISBN 0-226-76421-4.
2. Томсон, Уильям. Об источниках энергии, доступных человеку для совершения механических эффектов = On the sources of energy available to man for the production of mechanical effect. — BAAS Rep, 1881. С. 513
3. Richard Feynman. The Feynman Lectures on Physics. — США: Addison Wesley, 1964. — Vol. 1. — ISBN 0-201-02115-3.
4. Фейнман, Ричард. Фейнмановские лекции по физике = The Feynman Lectures on Physics. — Т. 1.
5. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теоретическая физика. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — Т. I. Механика. — 224 с. — ISBN 5-9221-0055-6.
6. , с. 11.
7. , с. 18.
8. , с. 19.
9. Джоуль (единица энергии и работы) — статья из Большой советской энциклопедии. Г. Д. Бурдун. 
10. ↑ , с. 134.

Основы[править | править код]

применимо ко всем объектам с массой или энергией, так как оно утверждает, что масса происходит из энергии, или энергия из массы, и что одно можно превращать в другое, что является основой ядерной энергии.

Обычно это уравнение применяется к объекту, который покоится по отношению к системе отсчёта. Но тот же объект может считаться движущимся с точки зрения другой системы отсчёта, так что уравнение всё равно действительно, но полная энергия (или, эквивалентно, масса) различается по величине в разных системах отсчёта. То есть в отличие от ньютоновской механики, в специальной теории относительности, релятивистская масса различна в различных системах отсчёта.

Для осознания этого надо понять, что существует два разных понятия для слова «масса». Например в одном смысле масса означает обычную массу, которую можно измерить, находясь в покое относительно массы. Это понятие массы покоя, которое обозначается как .

Изучавшим физику знакома ньютоновская формула кинетической энергии : . Это, по сути, то же самое, что и знаменитая формула Эйнштэйна, несмотря на совсем другой вид. В своей специальной теории относительности Эйнштейн обнаружил, что единственно правильным выражением для энергии движущегося тела является

Релятивистская массаправить | править код

Математические формулы будут проще, если мы определим другой тип массы. Релятивистская масса определяется как

,

Используя эту формулу для массы, мы может записать . Теперь до тех пор, пока скорости не станут сравнимы со скоростью света, эта релятивистская масса почти точно равна массе покоя. То есть, если задать , то получим что .

Для понимания различия между массой покоя и релятивистской массой необходимо переписать уравнение в названии статьи либо как при , либо как при .

Приближение малых скоростейправить | править код

Для скоростей, значительно меньших скорости света можно переписать точное уравнение в виде приближенного уравнения:

Таким образом видно, что ньютоновская формула для кинетической энергии просто пренебрегает той частью, о которой Ньютон ничего не знал — . Это могло произойти только из-за того, что Ньютон мог наблюдать объекты, движущиеся со скоростями малыми по сравнению со скоростью света, и вообще не мог наблюдать превращение массы в энергию, как это происходит в ядерных процессах. Эйнштейну потребовалось добавить дополнительный член, чтобы сделать формулу верной и при высоких скоростях. Сделав это он открыл, что масса может превращаться в энергию.

Интересно заметить, что поскольку член является константой, его можно включить в ньютоновскую механику, так как только изменения в энергии имеют какое-либо влияние на то, что происходит с телами. Это было бы большой потерей времени и усилий, хотя именно потому, что этот член не имеет никакого значения до тех пор, пока мы не рассматриваем такие вещи, как ядерные реакции. Те члены высшего порядка, которые мы отбросили, показывают, что относительность является поправкой высших порядков к ньютоновской механике. Ньютоновская механика на самом деле неверна, но достаточно близка к действительности при маленьких скоростях, можно сказать, что ньютонова механика применима при скоростях много меньших скорости света.

Физическая размерность

В системе физических величин LMT энергия имеет размерность ML2T−2{\displaystyle ML^{2}T^{-2}}.

Источники возобновляемой энергии

Возобновляемой энергией считается та, которую извлекают из постоянно происходящих в окружающей среде процессов от неисчерпаемых источников. Её получают из природных ресурсов, источники могут быть разными, такими как:

Энергия ветра

Представляет собой кинетическую энергию воздуха в движении. Ветер наделён энергией и образуется из-за существования неравномерного солнечного нагревания атмосферы (т. е. движение воздуха, появляющееся из-за разницы в атмосферном давлении), вращения земного шара и неровностей поверхности земли.

Скорость ветра выражает сколько кинетической энергии, которую можно трансформировать в электроэнергию или механическую энергию.

Энергия волн

Является энергией, переносимой по поверхности воды от волн. Её используют для добывания электричества, преобразовывается она на специальных волновых электростанциях, установленных в воду.

Энергия приливов и отливов

Эта энергия вырабатывается за счёт силы притяжения Луны и Солнца, т. е. гравитационного градиента или разницы в притяжении Луны и Солнца, которая действует на Землю (её поверхность и центр).

Чтобы преобразовать кинетическую энергию движения воды в электрическую энергию используются приливные электростанции.

Энергия температурного градиента морской воды

Эта энергия вырабатывается за счёт разности температур, которая возникает и на поверхности воды, и на глубине. Её можно применить для электрогенерации.

Преобразование этой энергии осуществляется используя гидротермальные станции, устанавливаемые в особенной океанической акватории.

Гидроэнергия

Это энергия потоков водных масс или генерируемая в результате падения воды. Для этого использовались водяные колёса для преобразования механической энергии, а позднее с развитием технологий, начали применять гидротурбины. Сейчас гидротурбины создают в основном электроэнергию.

Энергия солнечного света

Этот тип энергии достаточно широк в использовании. Ещё идут исследования возможностей применения гелиоустановок (устройство, преобразующее энергию солнца и позволяющее использовать её для другого типа энергии, например тепловую).

На данный момент уже существуют разные способы потребления энергии солнечного света: «солнечные» крыши на частных домах (для тепло- и энергоснабжения), установки на автомобилях (которые заряжают аккумуляторы), большие «солнечные фермы» и другие.

Геотермальная энергия

Это энергия естественного тепла Земли. Широко используется многими странами для теплоснабжения (для обогрева воды, отопления, в промышленности и т. д.) и производства электроэнергии. Её запасы огромны.

Главные типы геотермальной энергии:

• поверхностное тепло Земли (выработано на глубине до нескольких сотен метров);
• магма (полученная от расплавления горных пород);
• гидротермальные системы (резервуары горячей/тёплой воды);
• петрогеотермальные зоны (тепло полученное от сухих горных пород);
• парогидротермальные системы (полученные из месторождения пара и пароводяной смеси).

Биоэнергетика

Энергия из материалов, полученных из биологических источников растительного и животного происхождения, лесного хозяйства и все биологически разлагаемые отходы.

Выработанная энергия может быть использована для тепла, электричества или топлива для двигателей внутреннего сгорания.

Биоэнергетическое топливо это — этанол, метанол, биодизель и другие.

История термина

Термин «энергия» происходит от греческого слова ἐνέργεια, которое впервые появилось в работах Аристотеля и обозначало действие или действительность (то есть действительное осуществление действия в противоположность его возможности). Это слово, в свою очередь, произошло от греческого ἔργον («эргон») — «работа». Праиндоевропейский корень werg обозначал работу или деятельность (ср. англ. work, нем. Werk) и в виде οργ/ουργ присутствует в таких греческих словах, как оргия или теургия и т. п.

Томас Юнг первым использовал понятие «энергия» в современном смысле слова

Прибор Джоуля для измерения механического эквивалента тепла. Нисходящий груз, прикрепленный к струне, вызывает вращение погруженного в воду весла.

Лейбниц в своих трактатах 1686 и 1695 годов ввёл понятие «живой силы» (vis viva), которую он определил как произведение массы объекта и квадрата его скорости (в современной терминологии — кинетическая энергия, только удвоенная). Кроме того, Лейбниц верил в сохранение общей «живой силы». Для объяснения уменьшения скорости тел из-за трения, он предположил, что утраченная часть «живой силы» переходит к атомам.

Маркиза Эмили дю Шатле в книге «Учебник физики» (фр. Institutions de Physique, 1740), объединила идею Лейбница с практическими наблюдениями Виллема Гравезанда.

В 1807 году Томас Юнг первым использовал термин «энергия» в современном смысле этого слова взамен понятия «живая сила». Гаспар-Гюстав Кориолис раскрыл связь между работой и кинетической энергией в 1829 году. Уильям Томсон (будущий лорд Кельвин) впервые использовал термин «кинетическая энергия» не позже 1851 года, а в 1853 году Уильям Ренкин впервые ввёл понятие «потенциальная энергия».

Несколько лет велись споры, является ли энергия субстанцией (теплород) или только физической величиной.

Развитие паровых двигателей требовало от инженеров разработать понятия и формулы, которые позволили бы им описать механический и термический КПД своих систем. Инженеры (Сади Карно), физики (Джеймс Джоуль, Эмиль Клапейрон и Герман Гельмгольц), математики — все развивали идею, что способность совершать определённые действия, называемая работой, была как-то связана с энергией системы. В 1850-х годах, профессор натурфилософии из Глазго Уильям Томсон и инженер Уильям Ренкин начали работу по замене устаревшего языка механики с такими понятиями как «кинетическая и фактическая (actual) энергии». Уильям Томсон соединил знания об энергии в законы термодинамики, что способствовало стремительному развитию химии. Рудольф Клаузиус, Джозайя Гиббс и Вальтер Нернст объяснили многие химические процессы, используя законы термодинамики. Развитие термодинамики было продолжено Клаузиусом, который ввёл и математически сформулировал понятие энтропии, и Джозефом Стефаном, который ввёл закон излучения абсолютно чёрного тела. В 1853 году Уильям Ренкин ввёл понятие «потенциальная энергия». В 1881 году Уильям Томсон заявил перед слушателями:

В течение следующих тридцати лет эта новая наука имела несколько названий, например, «динамическая теория тепла» (англ. dynamical theory of heat) и «энергетика» (англ. energetics). В 1920-х годах общепринятым стало название «термодинамика» — наука о преобразовании энергии.

Особенности преобразования тепла и работы были показаны в первых двух законах термодинамики. Наука об энергии разделилась на множество различных областей, таких как биологическая термодинамика и термоэкономика (англ. thermoeconomics). Параллельно развивались связанные понятия, такие как энтропия, мера потери полезной энергии, мощность, поток энергии за единицу времени, и так далее. В последние два века использование слова энергия в ненаучном смысле широко распространилось в популярной литературе.

В 1918 году было доказано, что закон сохранения энергии есть математическое следствие трансляционной симметрии времени, величины сопряжённой энергии. То есть энергия сохраняется потому, что законы физики не изменяются с течением времени (см. Теорема Нётер, изотропия пространства).

В 1961 году выдающийся преподаватель физики и нобелевский лауреат, Ричард Фейнман в лекциях так выразился о концепции энергии: