Кривая персея

Специальные случаи

Если C₁ является окружностью с центром в точке O, то циссоида является конхоидой кривой C₂.

Если C₁ и C₂ — две параллельные прямые, то их циссоида — третья прямая, параллельная этим двум.

Гиперболы

Пусть C₁ и C₂ — две непараллельные прямые и пусть O — начало координат. Пусть C₁ и C₂ задаются в полярных координатах уравнениями

r=a1cos⁡(θ−α1){\displaystyle r={\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha _{1})}}}

и

r=a2cos⁡(θ−α2){\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta -\alpha _{2})}}}.

Мы можем повернуть на угол (α1−α2)2{\displaystyle (\alpha _{1}-\alpha _{2})/2} так, что можем предположить, что α1=α, α2=−α{\displaystyle \alpha _{1}=\alpha ,\ \alpha _{2}=-\alpha }. Тогда циссоида C₁ и C₂ относительно начала координат задаётся уравнением

r=a2cos⁡(θ+α)−a1cos⁡(θ−α){\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta +\alpha )}}-{\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha )}}}

=a2cos⁡(θ−α)−a1cos⁡(θ+α)cos⁡(θ+α)cos⁡(θ−α){\displaystyle ={\frac {a_{2}\cos(\theta -\alpha )-a_{1}\cos(\theta +\alpha )}{\cos(\theta +\alpha )\cos(\theta -\alpha )}}}

=(a2cos⁡α−a1cos⁡α)cos⁡θ−(a2sin⁡α+a1sin⁡α)sin⁡θcos2⁡α cos2⁡θ−sin2⁡α sin2⁡θ{\displaystyle ={\frac {(a_{2}\cos \alpha -a_{1}\cos \alpha )\cos \theta -(a_{2}\sin \alpha +a_{1}\sin \alpha )\sin \theta }{\cos ^{2}\alpha \ \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\alpha \ \sin ^{2}\theta }}}.

Обозначив константные выражения, получим

r=bcos⁡θ+csin⁡θcos2⁡θ−m2sin2⁡θ{\displaystyle r={\frac {b\cos \theta +c\sin \theta }{\cos ^{2}\theta -m^{2}\sin ^{2}\theta }}}

что в декартовых координатах превращается в

x2−m2y2=bx+cy{\displaystyle x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy}.

Эта формула задаёт гиперболу, проходящую через начало координат. Таким образом, циссоида двух непараллельных прямых является гиперболой, проходящей через полюс. Похожие рассуждения показывают, в обратную сторону, что любая гипербола является циссоидой двух непараллельных прямых относительно любой точки на гиперболе.

Циссоиды Зарадника

Циссоида Зарадника (названа по имени ) определяется как циссоида конического сечения и прямой относительно любой точки на сечении. Эти циссоиды образуют широкое семейство рациональных кубических кривых, среди которых некоторые хорошо известны. В частности:

Трисектриса Маклорена, задаваемая формулой

2x(x2+y2)=a(3×2−y2){\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}

является циссоидой окружности (x+a)2+y2=a2{\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}} и прямой x=−a2{\displaystyle x={-{a \over 2}}} относительно начала координат.

Правая строфоида

y2(a+x)=x2(a−x){\displaystyle y^{2}(a+x)=x^{2}(a-x)}

является циссоидой окружности (x+a)2+y2=a2{\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}} и прямой x=−a{\displaystyle x=-a} относительно начала координат.

Циссоида Диокла

x(x2+y2)+2ay2={\displaystyle x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0}

является циссоидой окружности (x+a)2+y2=a2{\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}} и прямой x=−2a{\displaystyle x=-2a} относительно начала координат. Фактически это кривая, по которой семейство названо и некоторые авторы ссылаются на неё просто как на циссоиду.

Циссоида окружности (x+a)2+y2=a2{\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}} и прямой x=ka{\displaystyle x=ka}, где k — параметр. Циссоиду называют конхоидой Слюза (эти кривые не являются реальными конхоидами). Это семейство включает в себя предыдущие примеры.

Декартов лист

x3+y3=3axy{\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}

является циссоидой эллипса x2−xy+y2=−a(x+y){\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}=-a(x+y)} и прямой x+y=−a{\displaystyle x+y=-a} относительно начала координат. Чтобы это показать заметим, что прямую можно задать как

x=−a1+p, y=px{\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}},\ y=px},

а эллипс можно задать как

x=−a(1+p)1−p+p2, y=px{\displaystyle x=-{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}},\ y=px}.

Так что циссоида задаётся уравнением

x=−a1+p+a(1+p)1−p+p2=3ap1+p3, y=px{\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}}+{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}}={\frac {3ap}{1+p^{3}}},\ y=px}

и это уравнение является параметрической форой листа.

Алгоритм «де Кастельжо»

Есть математическая формула для кривых Безье, но давайте рассмотрим её чуть позже, потому что Алгоритм де Кастельжо идентичен математическому определению кривой и наглядно показывает, как она строится.

Рассмотрим его на примере трёх точек (точки 1,2 и 3 можно двигать). Нажатие на кнопку «play» запустит демонстрацию.

Построение кривой Безье c 3 точками по «алгоритму де Кастельжо»:

1. Рисуются опорные точки. В примере это: , , .

2. Строятся отрезки между опорными точками в следующем порядке 1 → 2 → 3. На рисунке они коричневые.

3. Параметр «пробегает» значения от до . В примере использован шаг , т.е. в цикле .

   Для каждого из этих значений :

   • На каждом из коричневых отрезков берётся точка, находящаяся на расстоянии, пропорциональном , от его начала. Так как отрезков два, то и точек две.

     Например, при – точки будут в начале, при – на расстоянии в 25% от начала отрезка, при – 50% (на середине), при – в конце отрезков.

   • Эти точки соединяются. На рисунке ниже соединяющий их отрезок изображён синим.

1. На получившемся синем отрезке берётся точка на расстоянии, соответствующем . То есть, для (левый рисунок) получаем точку в конце первой четверти отрезка, для (правый рисунок) – в середине отрезка. На рисунках выше эта точка отмечена красным.

2. По мере того, как «пробегает» последовательность от до , каждое значение добавляет к кривой точку. Совокупность таких точек для всех значений образует кривую Безье. Она красная и имеет параболическую форму на картинках выше.

Был описан процесс для построения по трём точкам. Но то же самое происходит и с четырьмя точками.

Демо для четырёх точек (точки можно двигать):

Алгоритм для 4 точек:

• Точки по порядку соединяются отрезками: 1 → 2, 2 → 3, 3 → 4. Получается три коричневых отрезка.

• Для на отрезке от до :

  • На отрезках берутся точки, соответствующие текущему , соединяются. Получается два зелёных отрезка .
  • На этих отрезках берутся точки, соответствующие текущему , соединяются. Получается один синий отрезок.
  • На синем отрезке берётся точка, соответствующая текущему . При запуске примера выше она красная.

• Эти точки вместе описывают кривую.

Алгоритм является рекурсивным и может быть обобщён на любое количество контрольных точек.

Дано N контрольных точек:

1. Соединяем их, чтобы получить N-1 отрезков.
2. Затем для каждого от до берём точку на каждом отрезке на расстоянии пропорциональном и соединяем их. Там будет N-2 отрезков.
3. Повторяем 2 шаг, пока не останется одна точка.

Эти точки образуют кривую.

Запускайте и приостанавливайте примеры, чтобы ясно увидеть отрезки и то, как строится кривая.

Кривая, которая выглядит как :

Зигзагообразные контрольные точки тоже работают нормально:

Создание петли возможно:

Негладкая кривая Безье (да, это тоже возможно):

Если в описании алгоритма есть что-то непонятное, посмотрите «живые» примеры выше, они наглядно показывают, как строится кривая.

Поскольку алгоритм является рекурсивным, мы можем построить кривые Безье любого порядка, используя 5, 6 или более контрольных точек. Но на практике много точек не так полезны. Обычно мы берём 2-3 точки, а для сложных линий склеиваем несколько кривых. Это проще для разработки и расчёта.

Как нарисовать кривую через заданные точки?

Для задания кривой Безье используются контрольные точки. Как видим, они не находятся на кривой, кроме первой и последней.

Иногда перед нами стоит другая задача: нарисовать кривую через несколько точек, чтобы все они были на одной гладкой кривой. Эта задача называется интерполяцией, и она за рамками нашего изложения.

Для таких кривых существуют математические формулы, например, полином Лагранжа. В компьютерной графике сплайн-интерполяция часто используется для построения плавных кривых, соединяющих множество точек.

Эллиптические кривые над конечными полями

Эллиптическую кривую E{\displaystyle E} можно определить над конечным полем Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}, где q=pr{\displaystyle q=p^{r}}, а p{\displaystyle p} — простое.

Точное число точек эллиптической кривой E{\displaystyle E} над конечным полем Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} достаточно трудно вычислить, но теорема Хассе об эллиптических кривых утверждает, что

|♯E(Fq)−q−1|<2q.{\displaystyle {\big |}\sharp E(\mathbb {F} _{q})-q-1{\big |}<2{\sqrt {q}}.}

Этот факт можно истолковать и доказать с помощью общей теории; см. Локальная дзета-функция, .

Число точек на конкретной кривой может быть вычислено с помощью алгоритма Шуфа.

Практическое применение

Задача построения кривой погони впервые встала при выборе курса судна с учётом внешних факторов (боковых ветров, течения) для оптимального достижения точки цели путешествия.

Вновь эта проблема возникла при использовании в военных целях подводных лодок, торпед, а позднее и управляемых ракет с целью достижения и поражения движущихся целей. Кроме того, кривая погони применяется в космической навигации.

Системы самонаведения ракет

Основной задачей системы самонаведения ракеты считается обеспечение попадания её в цель или перехват цели с минимальным промахом. Поскольку у управляемых ракет имеется возможность изменять траекторию полёта ракеты сразу же после пуска, то существует множество траекторий, при движении по которым самонаводящаяся ракета поразит цель. Но на практике стараются выбрать ту из них, которая при данных условиях стрельбы обеспечивает наибольшую вероятность поражения цели.

Условие, положенное в основу работы системы наведения ракеты, называется методом наведения. Метод наведения определяет теоретическую траекторию движения ракеты. Выбранный метод наведения реализуется, как правило, с помощью вычислительного устройства, которое получает информацию об относительном положении ракеты и цели, о скоростях и направлениях их движения. На основе этой информации вычисляется желательная траектория движения ракеты и определяется наиболее выгодная точка встречи её с целью. По результатам вычислений формируются команды управления, поступающие на рули управления. Рули управляют ракетой по заданному закону. Одним из методов наведения ракет является использование математических зависимостей, которыми описывается кривая погони.

Общий случай постановки задачи

Чтобы вывести уравнение линии, выберем системы координат, в которой ось абсцисс проходит через начальное положение точек P{\displaystyle P} и A{\displaystyle A}, и точка A{\displaystyle A} находится в начале системы координат xAy. Отношение постоянных скоростей точек обозначим через k.

Если допустить, что за бесконечно малый промежуток времени точка P{\displaystyle P} прошла расстояние dS{\displaystyle dS}, а точка A{\displaystyle A} — расстояние dS1{\displaystyle dS_{1}}, то , согласно поставленному выше условию, получим соотношение dS=kdS1{\displaystyle dS=kdS_{1}}, или

dx2+dy2=kdξ2+dη2.{\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=k{\sqrt {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}}}.} (1)

Далее следует выразить dξ{\displaystyle d\xi } и dη{\displaystyle d\eta } через x, y и их дифференциалы. По условию, координаты точки P{\displaystyle P} должны удовлетворять уравнению касательной к искомой кривой, то есть

η−y=dydx(ξ−x).{\displaystyle \eta -y={\frac {dy}{dx}}(\xi -x).}

Добавляя к этому уравнению заданное условием уравнение траектории F(ξ,η){\displaystyle F(\xi ,\eta )} движения «убегающего», можно определить из полученной системы уравнения ξ{\displaystyle \xi } и η{\displaystyle \eta }. После подстановки этих значений в дифференциальное уравнение (1) оно запишется в виде

Φ(x,y,dydx,d2ydx2)={\displaystyle \Phi \left(x,y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)=0}.

Постоянные интегрирования могут быть найдены из начальных условий (y=;y′={\displaystyle y=0;y’=0} при x={\displaystyle x=0}).

В общем случае для произвольно заданной кривой F(ξ,η){\displaystyle F(\xi ,\eta )} найти решение полученного уравнения достаточно сложно. Задача существенно упрощается, если рассмотреть простейший случай, когда траектория «убегающего» является прямой.

Свойства

• Кривая имеет три особенности (каспа) соответствующие t=,±2π3{\displaystyle t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}} в параметрическом уравнении выше.
• 3 вершины дельтоиды — это 3 вершины равностороннего треугольника.
• Дельтоида является рациональной кривой нулевого рода.
• Длина пересечения области, ограниченной дельтоидой, с любой её касательной фиксирована и равна 43⋅R{\displaystyle {\tfrac {4}{3}}{\cdot R}}, где R{\displaystyle R} — радиус неподвижной окружности.
• Дельтоида — алгебраическая кривая 4 порядка.
• Длина кривой L=163R{\displaystyle \textstyle L={\frac {16}{3}}R}, где R{\displaystyle R} — радиус неподвижной окружности.
• Площадь, ограничиваемая дельтоидой, S=29πR2{\displaystyle \textstyle S={\frac {2}{9}}\pi R^{2}}.
• Касательные к двум ветвям дельтоиды (на рисунке все три ветви черного цвета), проведенные в двух точках концов отрезка касательной к третьей ее ветви (именуемых двумя связными точками, они на рисунке синего цвета), пересекаются всегда под прямым углом (на рисунке не показан). Вершина этого прямого угла всегда лежит на окружности малого круга (на том же рисунке малый круг красного цвета и описан красной точкой в средине синего отрезка), касающегося трех указанных ветвей .

Длина дуги эллипса

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

l=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt.{\displaystyle l=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt.}

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса, получаем следующее выражение:

l=∫t1t2a2sin2⁡t+b2cos2⁡tdt.{\displaystyle l=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,dt.}

После замены b2=a2(1−e2){\displaystyle b^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right)} выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

l=a∫t1t21−e2cos2⁡tdt,e<1.{\displaystyle l=a\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}t}}\,dt,\;\;\;e<1.}

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к E(t,e){\displaystyle E\left(t,e\right)}. В частности, периметр эллипса равен:

l=4a∫π21−e2cos2⁡tdt=4aE(e),{\displaystyle l=4a\int \limits _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}t}}\,dt=4aE(e),}

где E(e){\displaystyle E\left(e\right)} — .

Приближённые формулы для периметра

L≈4πab+(a−b)2a+b.{\displaystyle L\approx 4{\frac {\pi ab+(a-b)^{2}}{a+b}}.}

Максимальная погрешность этой формулы ≈,63 %{\displaystyle \approx 0{,}63\ \%} при эксцентриситете эллипса ≈0,988{\displaystyle \approx 0{,}988} (соотношение осей ≈16,5{\displaystyle \approx 1/6{,}5}).
Погрешность всегда положительна.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:
L≈4⋅(ax+bx)(1x){\displaystyle L\approx 4\cdot \left(a^{x}+b^{x}\right)^{\left(1/x\right)}}, где x=ln⁡2ln⁡π2.{\displaystyle x={\frac {\ln 2}{\ln {\frac {\pi }{2}}}}.}
Максимальная погрешность этой формулы ≈,36 %{\displaystyle \approx 0{,}36\ \%} при эксцентриситете эллипса ≈0,980{\displaystyle \approx 0{,}980} (соотношение осей ≈15{\displaystyle \approx 1/5})
Погрешность также всегда положительна.

Существенно лучшую точность при ,05<ab<20{\displaystyle 0{,}05<a/b<20} обеспечивает формула Рамануджана:
L≈π3(a+b)−(3a+b)(a+3b).{\displaystyle L\approx \pi \left.}

При эксцентриситете эллипса ≈0,980{\displaystyle \approx 0{,}980} (соотношение осей ≈15{\displaystyle \approx 1/5}) погрешность составляет ≈,02 %{\displaystyle \approx 0{,}02\ \%}.
Погрешность всегда отрицательна.

Ещё точней оказалась вторая формула Рамануджана:
L≈π(a+b)1+3(a−ba+b)210+4−3(a−ba+b)2.{\displaystyle L\approx \pi (a+b)\left.}

Точные формулы для периметра

Джеймс Айвори и Фридрих Бессель
независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:

L=π(a+b)1+∑n=1∞(2n−1)!!(2n−1)⋅2n⋅n!(a−ba+b)n2{\displaystyle L=\pi (a+b)\left^{2}\right]}

Альтернативная формула

L=2πaN(1−e2)M(1−e2),{\displaystyle L={\frac {2\pi aN(1-e^{2})}{M({\sqrt {1-e^{2}}})}},}

где M(x){\displaystyle M(x)} — Арифметико-геометрическое среднее 1 и x{\displaystyle x},
а N(x){\displaystyle N(x)} — 1 и x{\displaystyle x}, которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года.

Построение

Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.

Пример скрипта (PHP)

<?php
        $i = 4;
        
        $image = imagecreatetruecolor(600, 200);
        imagefilledrectangle($image, , , imagesx($image) - 1, imagesy($image) - 1,
                imagecolorresolve($image, 255, 255, 255));
        $color = imagecolorresolve($image, , , );
 
        drawKoch($image, , imagesy($image) - 1, imagesx($image), imagesy($image) - 1, $i, $color);
        
        /**
         * Draws koch curve between two points.
         * @return void
         */
        function drawKoch($image, $xa, $ya, $xe, $ye, $i, $color) {
            if($i == )
                imageline($image, $xa, $ya, $xe, $ye, $color);
            else {
                //       C
                //      / \
                // A---B   D---E
                
                $xb = $xa + ($xe - $xa) * 13;
                $yb = $ya + ($ye - $ya) * 13;

                $xd = $xa + ($xe - $xa) * 23;
                $yd = $ya + ($ye - $ya) * 23;

                $cos60 = 0.5;
                $sin60 = -0.866;
                $xc = $xb + ($xd - $xb) * $cos60 - $sin60 * ($yd - $yb);
                $yc = $yb + ($xd - $xb) * $sin60 + $cos60 * ($yd - $yb);

                drawKoch($image, $xa, $ya, $xb, $yb, $i - 1, $color);
                drawKoch($image, $xb, $yb, $xc, $yc, $i - 1, $color);
                drawKoch($image, $xc, $yc, $xd, $yd, $i - 1, $color);
                drawKoch($image, $xd, $yd, $xe, $ye, $i - 1, $color);
            }
        }
 
        header('Content-type: image/png');
        imagepng($image);
        imagedestroy($image);
?>

Пример прямоугольной кривой (Pascal)

uses GraphABC;
procedure Draw(x, y, l, u  Real; t  Integer);
procedure Draw2(Var x, y Real; l, u  Real; t  Integer);
begin
Draw(x, y, l, u, t);
x := x + l*cos(u);
y := y - l*sin(u);
end;
begin
if t >  then
begin
l := l3;
Draw2(x, y, l, u, t-1);
Draw2(x, y, l, u+pi3, t-1);
Draw2(x, y, l, u-pi3, t-1);
Draw2(x, y, l, u, t-1);
end
else
Line(Round(x), Round(y), Round(x+cos(u)*l), Round(y-sin(u)*l))
end;
begin
SetWindowSize(425,500);
SetWindowCaption('Фракталы: Снежинка Коха');
Draw(10, 354, 400, pi3, 4);
Draw(410, 354, 400, pi, 4);
Draw(210, 8, 400, -pi3, 4);
end.

Примечания

1. Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569.
2. Burns, Aidan. Fractal tilings (неопр.) // Mathematical Gazette (англ.)русск.. — 1994. — Т. 78, № 482. — С. 193—196..
3. Слюсар, В. . Электроника: наука, технология, бизнес. — 2007. — № 5. С. 78—83. (2007).
4. Baird, Eric. Alt.Fractals: A visual guide to fractal geometry and design. Chocolate Tree Books (2011) ISBN 0-9557068-3-1 — Chapter 3 «Not the Koch Snowflake», esp. pages 23—24.
5. ↑
6. ↑ Гелашвили Д. Б., Иудин Д. И., Розенберг Г. С., Якимов В. Н., Солнцев Л. А. 2.3. Регулярные фракталы // Фракталы и мультифракталы в биоэкологии. — Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2013. — С. 49. — 370 с. — ISBN 978-5-91326-246-2.
7. ↑ А. А. Потапов, Ю. В. Гуляев, С. А. Никитов, А. А. Пахомов, В. А. Герман. Классические фрактальные кривые и множества // Новейшие методы обработки изображений / А. А. Потапов. — М.: «Физматлит», 2008. — С. 82. — 496 с. — ISBN 978-5-9221-0841-6.

Литература

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 293 с.
• Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — Москва: Физматгиз, 1961. — 263 с.
• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — С. 53—56. — ISBN 0-486-60288-5.
• Michiel Hazewinkel. Encyclopedia of Mathematics. — Springer, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.
• Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.

Определение в топологии

Отображение отрезка

Чаще всего кривая определяется как непрерывное отображение из отрезка в топологическое пространство:

γa,b→X{\displaystyle \gamma \colon \to X}

При этом кривые могут быть различными, даже если их образы совпадают.
Такие кривые называют параметризованными кривыми или, если a,b=,1{\displaystyle =}, путями.

Отношение эквивалентности

Иногда кривая определяется с точностью до репараметризации, то есть с точностью до минимального отношения эквивалентности такого что параметрические кривые

γ1a1,b1→X{\displaystyle \gamma _{1}\colon \to X} и γ2a2,b2→X{\displaystyle \gamma _{2}\colon \to X}

эквивалентны, если существует непрерывная монотонная функция (иногда неубывающая) h{\displaystyle h} из отрезка a1,b1{\displaystyle } на отрезок a2,b2{\displaystyle }, такая что

γ1≡γ2∘h.{\displaystyle \gamma _{1}\equiv \gamma _{2}\circ h.}

Определяемые этим отношением классы эквивалентности называются непараметризованными кривыми или просто кривыми.

Комментарий

Приведённое определение во многом позволяет передать наше интуитивное представление о кривой как о чём-то, «нарисованном без отрыва карандаша». Однако это определение является слишком слабым, поскольку ему удовлетворяют многие фигуры, которые трудно считать кривыми.

Например, возможно построить такое непрерывное отображение отрезка в плоскость, что его образ заполняет квадрат (см. кривая Пеано). Более того, согласно теореме Мазуркевича, любое компактное связное и локально связное топологическое пространство является непрерывным образом отрезка. Таким образом, не только квадрат, но и куб любого числа измерений и даже гильбертов кирпич являются непрерывными образами отрезка.

Вышеизложенное показывает, что кривая не может быть определена как непрерывный образ отрезка, если на отображение не наложить дополнительных ограничений.

Кривая Жордана

Кривая Жордана на плоскости с положительной мерой Лебега.

Кривой Жордана или простой кривой называется образ непрерывного инъективного отображения (вложения) окружности или отрезка в пространство.
В случае окружности кривая называется замкнутой кривой Жордана, а в случае отрезка — жордановой дугой.

Известная теорема Жордана утверждает, что любая замкнутая кривая Жордана на плоскости делит её на «внутреннюю» и «внешнюю» часть.

Кривая Жордана является довольно сложным объектом. Например, возможно построить плоскую кривую Жордана с ненулевой мерой Лебега, что было сделано Осгудом по аналогии с кривой Пеано.
.

Определение

Эллипс — геометрическое место точек M евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F1{\displaystyle F_{1}} и F2{\displaystyle F_{2}} (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

|F1M|+|F2M|=2⋅a{\displaystyle |F_{1}M|+|F_{2}M|=2\cdot a}, причём |F1F2|<2⋅a{\displaystyle |F_{1}F_{2}|<2\cdot a}.

Другие определения

Эллипс также можно определить как:

• фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
• ортогональную проекцию окружности на плоскость
• пересечение плоскости и кругового цилиндра.

Приложения

Эллиптические кривые над конечными полями используются в некоторых криптографических приложениях для факторизации и тестирования простоты чисел. Обычно основная идея, заложенная в этих приложениях, заключается в том, что известный алгоритм, используемый для конкретных конечных групп, переписывается для использования групп рациональных точек эллиптических кривых.

В теории чисел эллиптические кривые были, в частности, использованы Эндрю Джоном Уайлсом (совместно с Ричардом Тейлором) в доказательстве великой теоремы Ферма.

В криптографии они образуют самостоятельный раздел эллиптической криптографии, посвящённый изучению криптосистем на базе эллиптических кривых. В частности, на эллиптических кривых основаны российские стандарты ГОСТ Р 34.10-2001 и сменивший его ГОСТ Р 34.10-2012, описывающие алгоритмы формирования и проверки электронной цифровой подписи.

История

Древнейшим дошедшим до нашего времени источником, в котором рассматриваются кубические кривые, является «Арифметика» древнегреческого математика Диофанта. В этой работе ставится задача найти рациональные и нетривиальные решения уравнения y(6−y)=x3−x{\displaystyle y(6-y)=x^{3}-x}. Диофант решает эту задачу при помощи подстановки x=3y−1{\displaystyle x=3y-1}.

В 1670-х годах Ньютон, используя приёмы аналитической геометрии, делает попытку классифицировать кубические кривые. В ходе исследований Ньютон заметил, что решение Диофанта состоит, по существу, в пересечении кривой, заданной уравнением y(6−y)=x3−x{\displaystyle y(6-y)=x^{3}-x}, с касательной x=3y−1{\displaystyle x=3y-1}. Открытие Ньютона в конечном итоге привело к формулам сложения точек на эллиптической кривой. В XIX веке эллиптические кривые находят применение[] в теории эллиптических функций, которые, в свою очередь, тесно связаны с эллиптическими интегралами. Таким образом, исторически термин «эллиптическая кривая» происходит от термина «эллиптический интеграл».

Алгебраические кривые

Основная статья: Алгебраическая кривая

Алгебраические кривые изучаются в алгебраической геометрии. Плоская алгебраическая кривая — это множество точек с координатами x, y, задаваемое множество решений уравнения f(x, y) = 0, где f — многочлен от двух переменных с коэффициентами в поле F

В алгебраической геометрии обычно принимают во внимание не только точки, координаты которых принадлежат F, но и точки с координатами в алгебраическом замыкании F. Если C — плоская алгебраическая кривая, такая что коэффициенты определяющего её многочлена лежат в поле F, она называется кривой, определённой над F

Точки кривой, определённой над F, все координаты которых принадлежат G, называются рациональными над G (или просто G-точками). Пример: кривая x2 + y2 + 1 = 0, определённая над действительными числами, имеет точки, однако ни одна из них не является действительной точкой.

Алгебраические кривые можно определить и в пространствах большей размерности; они определяются как множество решений системы полиномиальных уравнений.

Любая плоская кривая может быть дополнена до кривой на проективной плоскости. Если плоская кривая определяется многочленом f(x, y) полной степени d, то многочлен

zd⋅f(xz,yz){\displaystyle z^{d}\cdot f(x/z,y/z)}

после раскрытия скобок упрощается до однородного многочлена f(x, y, z) степени d. Значения x, y, z, такие что f(x, y, z) = 0 — однородные координаты пополнения плоской кривой, при этом точки исходной кривой — это точки, для которых z не равно нулю. Пример: кривая Ферма xn + yn = zn в аффинной форме принимает вид xn + yn = 1. Процесс перехода от аффинной кривой к проективной можно обобщить и на более высокие размерности.

Часто встречающиеся примеры плоских кривых — коники (кривые второго порядка) и эллиптические кривые, имеющие важные приложения в криптографии. В качестве примеров алгебраических кривых, задаваемых уравнениями более высоких степеней, можно указать следующие:

• Кривые четвёртого порядка: лемниската Бернулли и овал Кассини.
• Кривые шестого порядка: астроида и нефроида.
• Кривая, определяемая уравнением произвольной чётной степени: (многофокусная) лемниската.

Эллиптические кривые над полем рациональных чисел

Если коэффициенты уравнения эллиптической кривой E{\displaystyle E} рациональны, то можно рассматривать множество рациональных точек на такой кривой (включая O{\displaystyle O}). Это множество образует подгруппу группы действительных точек (включая O{\displaystyle O}) на кривой E{\displaystyle E} с таким же групповым законом сложения точек на кривой. Это можно показать следующим образом: рассмотрим алгебраическую формулу получения координаты суммы двух точек P{\displaystyle P} и Q{\displaystyle Q}, лежащих на кривой E{\displaystyle E}. Если эти точки и коэффициенты уравнения кривой рациональны, то координаты точки R=P+Q{\displaystyle R=P+Q} тоже будут рациональны, так как xR{\displaystyle x_{R}} и yQ{\displaystyle y_{Q}} являются рациональными функциями от коэффициентов кривой E{\displaystyle E} координат точек P{\displaystyle P} и Q{\displaystyle Q}.

Порядком точки P{\displaystyle P} на кривой E{\displaystyle E} называется наименьшее натуральное k{\displaystyle k} такое, что kP=O{\displaystyle kP=O}.

Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел справедлива : на эллиптической кривой E{\displaystyle E} существует такое конечное множество рациональных точек бесконечного порядка P1,P2,…,Pn{\displaystyle P_{1},P_{2},\dots ,P_{n}}, что любая точка на эллиптической кривой представляется в виде

P=a1P1+a2P2+⋯+anPn+Q,{\displaystyle P=a_{1}P_{1}+a_{2}P_{2}+\dots +a_{n}P_{n}+Q,}

где a1,…,an{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} — целые числа, однозначно определённые для точки P{\displaystyle P}, а Q{\displaystyle Q} — точка кручения, являющаяся точкой конечного порядка. Другими словами, теорема гласит, что если поле K{\displaystyle K} — поле рациональных чисел, то группа K{\displaystyle K}-рациональных точек — конечнопорождённая. Это означает, что группа может быть представлена как прямая сумма свободной абелевой группы и конечной подгруппы кручения.

Рангом эллиптической кривой E{\displaystyle E} называется минимальное число рациональных точек бесконечного порядка из теоремы Морделла. Нет общего алгоритма для вычисления ранга свободной подгруппы и, соответственно, ранга эллиптической кривой. Формула для вычисления ранга даётся в гипотезе Бёрча — Свиннертон-Дайера.

На 2014 год эллиптическая кривая с максимальным точно известным рангом описывается следующим уравнением:

y2+xy+y=x3−x2+31368015812338065133318565292206590792820353345x+{\displaystyle y^{2}+xy+y=x^{3}-x^{2}+31\,368\,015\,812\,338\,065\,133\,318\,565\,292\,206\,590\,792\,820\,353\,345\,x+{}}

+302038802698566087335643188429543498624522041683874493555186062568159847.{\displaystyle {}+302\,038\,802\,698\,566\,087\,335\,643\,188\,429\,543\,498\,624\,522\,041\,683\,874\,493\,555\,186\,062\,568\,159\,847.}

Её ранг равен 19, она была найдена Ноамом Элкисом в 2009 году. Про следующую кривую, найденную Элкисом в 2006 году и описываемую уравнением

y2+xy+y=x3−x2+20067762415575526585033208209338542750930230312178956502x+{\displaystyle y^{2}+xy+y=x^{3}-x^{2}+20\,067\,762\,415\,575\,526\,585\,033\,208\,209\,338\,542\,750\,930\,230\,312\,178\,956\,502\,x+{}}

+34481611795030556467032985690390720374855944359319180361266008296291939448732243429,{\displaystyle {}+34\,481\,611\,795\,030\,556\,467\,032\,985\,690\,390\,720\,374\,855\,944\,359\,319\,180\,361\,266\,008\,296\,291\,939\,448\,732\,243\,429,}

известно, что её ранг по крайней мере 28, однако точный ранг этой кривой неизвестен. В 2016 году было опубликовано доказательство того, что ранг этой кривой равен в точности 28, если верна обобщённая гипотеза Римана.