Главная > Дополнительно > Теорема о циркуляции магнитного поля

Теорема о циркуляции магнитного поля

Содержание

1 Примечания
2 Примечания
3 Обобщение
4 4.Понятие о циркуляции
5 Примечания
6 Текст 7 страницы из документа «БИЛЕТЫ»
7 Примечания
8 Практическое значение
9 Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов
10 Практическое значение
11 Практическое значение

Примечания

↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 235. — 688 с.
Приведено здесь в гауссовой системе единиц; в системе СИ константа в правой части вместо 4πc{\displaystyle {\frac {4\pi }{c}}} записывается как μ{\displaystyle \mu _{0}}.
здесь и ниже использована система СГС, в системе СИ коэффициенты отсутствуют
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 239. — 688 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 241. — 688 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 253. — 688 с.
На практике при написании уравнений для среды индекс f у токов как правило опускается, пишется просто j→{\displaystyle {\vec {j}}}. Также часто не делается оговорок о том, что это именно «свободные» токи. В такой феноменологической теории никаких других токов явно не рассматривается, хотя на самом деле (физически) связанные токи, конечно, есть, просто «спрятаны» в другие величины — I→,H→{\displaystyle {\vec {I}},{\vec {H}}} итп и формально исключены из рассмотрения.
Поскольку это обобщение основывается на верности магнитостатического варианта теоремы Ампера о циркуляции магнитного поля и сохранении заряда (которое может быть принято как постулат) и может быть показано достаточно строго соответствие обобщённого уравнения этим двум посылкам, а при наложении определённых дополнительных условий — и единственность такого обобщения, оно в принципе может быть также сформулировано в виде теоремы.
В гауссовой системе единиц.
В основном тексте — в гауссовой системе единиц. В СИ — так:

∮⁡H→⋅dl→=∫j→⋅ds→+∂∂t∫D→⋅ds→.{\displaystyle \oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}=\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.}

Примечания

↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 235. — 688 с.
Приведено здесь в гауссовой системе единиц; в системе СИ константа в правой части вместо 4πc{\displaystyle {\frac {4\pi }{c}}} записывается как μ{\displaystyle \mu _{0}}.
здесь и ниже использована система СГС, в системе СИ коэффициенты отсутствуют
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 239. — 688 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 241. — 688 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 253. — 688 с.
На практике при написании уравнений для среды индекс f у токов как правило опускается, пишется просто j→{\displaystyle {\vec {j}}}. Также часто не делается оговорок о том, что это именно «свободные» токи. В такой феноменологической теории никаких других токов явно не рассматривается, хотя на самом деле (физически) связанные токи, конечно, есть, просто «спрятаны» в другие величины — I→,H→{\displaystyle {\vec {I}},{\vec {H}}} итп и формально исключены из рассмотрения.
Поскольку это обобщение основывается на верности магнитостатического варианта теоремы Ампера о циркуляции магнитного поля и сохранении заряда (которое может быть принято как постулат) и может быть показано достаточно строго соответствие обобщённого уравнения этим двум посылкам, а при наложении определённых дополнительных условий — и единственность такого обобщения, оно в принципе может быть также сформулировано в виде теоремы.
В гауссовой системе единиц.
Электрическая постоянная
В основном тексте — в гауссовой системе единиц. В СИ — так:

∮⁡H→⋅dl→=∫j→⋅ds→+∂∂t∫D→⋅ds→.{\displaystyle \oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}=\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.}

Обобщение

Основная статья: Закон Ампера — Максвелла

Основным фундаментальным обобщением теоремы является четвёртое уравнение Максвелла. В интегральной форме оно является прямым обобщением на динамический случай магнитостатической формулы, приведённой выше. Для вакуума:

∮⁡B→⋅dl→=1c∫(4πj→+∂E→∂t)⋅ds→{\displaystyle \oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {1}{c}}\int (4\pi {\vec {j}}+{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})\cdot {\vec {ds}}}

для среды:

∮⁡H→⋅dl→=4πc∫j→⋅ds→+1c∂∂t∫D→⋅ds→.{\displaystyle \oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.}

(Как видим, формулы отличаются от приведённых выше только одним добавочным членом со скоростью изменения электрического поля в правой части).

Дифференциальная форма этого уравнения:

rotB→=4πcj→+1c∂∂tE→,{\displaystyle \mathbf {rot} {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {E}},}

rotH→=4πcj→+1c∂∂tD→{\displaystyle \mathbf {rot} {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {D}}}

(в гауссовой системе, для вакуума и среды соответственно) — также можно при желании считать вариантом обобщения теоремы о циркуляции магнитного поля, поскольку она, конечно, тесно связана с интегральной.

4.Понятие о циркуляции

Действие магнитного поля на проводник с током

Пусть в некоторой области пространства существует векторное поле .

Циркуляцией вектора по произвольному замкнутому контуру L
называется следующий криволинейный интеграл:

Здесь — единичный вектор, касательный к контуру в данной точке, направленный в сторону положительного обхода контура.

Существует соглашение, что положительное направление обхода контура (направление ) выбирается таким, чтобы область, охваченная
контуром, оставалась при обходе слева.

Напомним, вкратце, как можно “сконструировать” криволинейный интеграл. Для этого нужно
выбрать точку на контуре, показать в ней вектор , в этой же точке показать единичный вектор
касательной, вычислить скалярное произведение , разбить контур на малые элементы, длину элемента обозначить , вычислить произведение ; проделать это для всех элементов контура; произвести суммирование результатов,
устремляя элемент длины контура к нулю — перейти от суммирования к интегрированию.

Так же, как и поток, циркуляция является ещё одной характеристикой свойств векторного поля. А именно, циркуляция характеризует
степень завихренности векторного поля.

Пример: если в качестве «измерителя» циркуляции поля скоростей жидкости можно взять турбинку, то если она вращается, циркуляция не равна нулю.

Циркуляция – это интегральная характеристика поля.

Примечания

↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 235. — 688 с.
Приведено здесь в гауссовой системе единиц; в системе СИ константа в правой части вместо 4πc{\displaystyle {\frac {4\pi }{c}}} записывается как μ{\displaystyle \mu _{0}}.
здесь и ниже использована система СГС, в системе СИ коэффициенты отсутствуют
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 239. — 688 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 241. — 688 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 253. — 688 с.
На практике при написании уравнений для среды индекс f у токов как правило опускается, пишется просто j→{\displaystyle {\vec {j}}}. Также часто не делается оговорок о том, что это именно «свободные» токи. В такой феноменологической теории никаких других токов явно не рассматривается, хотя на самом деле (физически) связанные токи, конечно, есть, просто «спрятаны» в другие величины — I→,H→{\displaystyle {\vec {I}},{\vec {H}}} итп и формально исключены из рассмотрения.
Поскольку это обобщение основывается на верности магнитостатического варианта теоремы Ампера о циркуляции магнитного поля и сохранении заряда (которое может быть принято как постулат) и может быть показано достаточно строго соответствие обобщённого уравнения этим двум посылкам, а при наложении определённых дополнительных условий — и единственность такого обобщения, оно в принципе может быть также сформулировано в виде теоремы.
В гауссовой системе единиц.
В основном тексте — в гауссовой системе единиц. В СИ — так:

∮⁡H→⋅dl→=∫j→⋅ds→+∂∂t∫D→⋅ds→.{\displaystyle \oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}=\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.}

Индукция магнитного поля. вихревое поле. соленоид. электромагниты

Текст 7 страницы из документа «БИЛЕТЫ»

Билет 18. 1)Вектор напряжённости магнитного поля. Принцип суперпозиции полей. Теорема о циркуляции напряжённости магнитного поля в интегр. и диффер. формах.

В магнетиках, помещённых в магнитное поле возникают токи намагничивания, поэтому циркуляция вектора В определяется не только токами проводимости, но и токами намагничивания Циркуляция намагниченности

отсюда вектор напряжённости (А\м)

Теорема о циркуляции: Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром. инт.форма ротер равен плотности тока проводимости.

Принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими движущимися зарядами или токами равно векторной сумме магн. полей, создаваемым каждым зарядом или током в отдельности.

2)Электроёмкость проводников и конденсаторов . Ёмкость плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов.

Сообщённый проводнику заряд q распределяется по его поверхности так, чтобы напряжённость поля внутри проводника была равна нулю. Отношение плотностей заряда в двух произвольных точках поверхности проводника при любой величине заряда будет одним и тем же. Отсюда вытекает, что потенциал уединённого проводника пропорционален находящемуся на нём заряду. q=C . Коэффициент пропорциональности С между потенциалом и зарядом- электроёмкость проводника С=q/ . (фарады Ф) =(1 Кл/1 В). Конденсатор-система двух проводников, заряженных одинаковыми по величине и разными по знакам зарядами. Проводники-обкладки конденсатора. Электроёмкость конденсатора С=q/U. Вывод ёмкостей:

Сферического.

Ц илиндрического .

Плоский конденсатор ;

Цилиндрический конденсатор

Сферический конденсатор

Сфера

3)Численное значение показателя приломления пересчитать, общий вид такой же.

№3

билет 19. 1)Магнитное поле в веществе. Намагниченность вещества. Связь век-ов индукции магн поля, намагниченности и напряжённости магн поля. Магнитная восприимчивость и проницаемость. Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики. Поле на границе раздела магнетиков.

Если несущие ток провода находятся в какой-либо среде, магнитное поле изменится. Это из-за того, что любое вещество является магнетиком ( способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент(намагничеваться)). Намагниченное вещ-во создаёт магнитное поле В`. Во-магнитное поле обусловленное токами. В= В`+Во

Степень намагничивания магнетика хар-ся магнитным моментом на единицу объёма-намагниченность. Вектор намагниченности характеризует магнитные сво-ва вещества(магнетика).

(А/м)

Связь векторов.

I-ток проводимости I`-ток намагничивания

отсюда вектор напряжённости (А\м)

где -магнитная проницаемость.

1) Диамагнетики – это магнетики, у которых магнитная восприимчивость принимает отрицательные значения, но при этом выполняется 0<µ=1+x<1. Так как откуда то у диамагнетиков вектор намагниченности направлен против вектора индукции магнитного поля. Диамагнетики выталкиваются из области сильного магнитного поля.

2) Парамагнетики – магнетики, у которых у которых магнитная восприимчивость положительна, но не принимает больших значений. Вектор намагниченности сонаправлен с вектором индукции.

Примечания

↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 235. — 688 с.
Приведено здесь в гауссовой системе единиц; в системе СИ константа в правой части вместо 4πc{\displaystyle {\frac {4\pi }{c}}} записывается как μ{\displaystyle \mu _{0}}.
здесь и ниже использована система СГС, в системе СИ коэффициенты отсутствуют
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 239. — 688 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 241. — 688 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 253. — 688 с.
На практике при написании уравнений для среды индекс f у токов как правило опускается, пишется просто j→{\displaystyle {\vec {j}}}. Также часто не делается оговорок о том, что это именно «свободные» токи. В такой феноменологической теории никаких других токов явно не рассматривается, хотя на самом деле (физически) связанные токи, конечно, есть, просто «спрятаны» в другие величины — I→,H→{\displaystyle {\vec {I}},{\vec {H}}} итп и формально исключены из рассмотрения.
Поскольку это обобщение основывается на верности магнитостатического варианта теоремы Ампера о циркуляции магнитного поля и сохранении заряда (которое может быть принято как постулат) и может быть показано достаточно строго соответствие обобщённого уравнения этим двум посылкам, а при наложении определённых дополнительных условий — и единственность такого обобщения, оно в принципе может быть также сформулировано в виде теоремы.
В гауссовой системе единиц.
В основном тексте — в гауссовой системе единиц. В СИ — так:

∮⁡H→⋅dl→=∫j→⋅ds→+∂∂t∫D→⋅ds→.{\displaystyle \oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}=\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.}

Практическое значение

Магнитное поле прямолинейного проводника с током.

Теорема о циркуляции играет в магнитостатике приблизительно ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике. В частности, при наличии определённой симметрии задачи, она позволяет просто находить величину магнитного поля во всём пространстве по заданным токам. Например, для вычисления магнитного поля от бесконечного прямолинейного проводника с током по закону Био — Савара — Лапласа потребуется вычислить неочевидный интеграл, в то время как теорема о циркуляции (с учётом осевой симметрии задачи) позволяет дать мгновенный ответ:

B(r)⋅2πr=4πcI→B(r)=2Icr{\displaystyle B(r)\cdot 2\pi r={\frac {4\pi }{c}}I\to B(r)={\frac {2I}{cr}}}.

Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов

Подобно тому, как любое тело, которое взаимодействует с Землей по закону всемирного тяготения, на разных расстояниях от ее центра имеет различную потенциальную энергию, электрический заряд q на разном расстоянии от другого заряда q имеет различную потенциальную энергию — W. Если заряд q перемещается в электрическом поле из точки 1, где его потенциальная энергия была W₁, в точку 2, где его энергия стала W₂ , работа сил поля A = W₁— W₂ = -(W₂ — W₁) = -ΔW. Как видно из формулы, A и ΔW имеют противоположные знаки. Это объясняется тем, что если заряд q перемещается под действием сил поля (т.е. работа поля А положительная), то его потенциальная энергия уменьшается, прирост энергии ΔW — отрицательный. Если же заряд перемещается против сил поля (А — отрицательная), то потенциальная энергия заряда увеличивается. (Такое же соотношение между потенциальной энергией и работой силы тяжести.)

Как известно, значение потенциальной энергии зависит от выбора нулевого уровня. В электростатике условились потенциальную энергию заряда, размещенного в точке, бесконечно удаленной от заряженного тела, создает поле, считать нулем, W_∞ = 0. Тогда, в случае перемещения заряда q с точки 1 в бесконечность, работа поля A = W₁ — W_∞ = W₁ . То есть потенциальная энергия заряда q, размещенного в какой-либо точке поля, численно равна работе, которую выполняют силы поля, перемещая этот заряд с указанной точки в бесконечность: W = qEd, где d — расстояние от источника поля до точки, в которой находится заряд q.

Если поле создано положительным зарядом, то значение потенциальной энергии другого положительного заряда, размещенного в некоторой точке этого поля, будет положительным, если же поле создано отрицательным зарядом, то значение потенциальной энергии положительного заряда — отрицательно. Для отрицательного заряда, размещенного в электрическом поле, все будет наоборот. Когда поле создано сразу несколькими зарядами, потенциальная энергия заряда q, размещенного в какой-либо точке такого поля, равна алгебраической сумме энергий, обусловленных полем каждого заряда в этой точке.