Универсальная газовая постоянная

Соловецкая верста

Наверняка всем читателям известен Соловецкий мужской монастырь. Он считается мировым культурным наследием и бесконечно ценится не только в России, но и за пределами нашего государства.

В этом прекраснейшем месте давно появилась собственная мера длины – соловецкая верста. Она не намного отличается от путевой версты, но поистине уникальна. Соловецкая верста составляет 1 километр и 84 метра. И вот удивительный факт – верста составляет такую длину, потому что стены монастыря по протяженности равны именно этому числу. Эти версты использовали, чтобы отмерять расстояние на островах, где и расположен монастырь.

Можно многое говорить о значении слова «верста». Оно прочно вошло в культуру нашего народа и, несмотря на то что давно устарело, неотделимо от истории России. Это отразилось в многочисленных устойчивых сочетаниях слов, в пословицах и поговорках. Например, выражение «за семь верст киселя хлебать» означает бессмысленно проделанный путь. Это распространенное выражение, которые и сейчас употребляется. Именно благодаря таким прочным вхождениям в культуру и язык, значение слова «верста» не будет забыто.

По стопам Архимеда

— Какое из двух числе больше 22/7 или 3.14 ?
— Они равны.
— Почему ?
— Каждое из них равно π.
А. А. Власов. Из Экзаменационного билета.

Некоторы полагают, что дробь 22/7 и чисо π тождественно равны. Но это является заблуждением. Помимо вышеприведенного неверного ответа на экзамене (см. эпиграф) к этой группе можно также добавить одну весьма занимательную головоломку. Задание гласит: «переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным».

Решение будет таковым: нужно образовать «крышу» для двух вертикальных спичек слева, используя одну из вертикальных спичек в знаменателе справа. Получится визуальное изображение буквы π.

Многие знают, что приближение π = 22/7 определил древнегреческий математик Архимед. В честь этого часто такое приближение называют «Архимедовым» числом. Архимеду удалось не только установить приближенное значение для π, но также найти точность этого приближения, а именно – найти узкий числовой промежуток, которому принадлежит значение π. В одной из своих работ Архимед доказывает цепь неравенств, которая на современный лад выглядела бы так:

можно записать проще: 3,140 909 < π < 3,1 428 265…

Как видим из неравенств, Архимед нашел довольно-таки точное значение с точностью до 0,002. Самое удивительно то, что он нашел два первых знака после  запятой: 3,14… Именно такое значение чаще всего мы используем в несложных расчетах.

Литература

• Partington J. R. A Text-book of Thermodynamics (with Special Reference to Chemistry). — London: Constable & Company LTD, 1913. — x + 544 p.
• Partington J. R. An Advanced Treatise on Physical Chemistry. Vol. 1. Fundamental Principles. The Properties of Gases. — London — New York — Toronto: Longmans, Green and Co, 1949. — xlii + 943 p.
• Zeuner G. Grundzüge der mechanischen Wärmetheorie. — 2. vollständig umgearbeitete Auflage. — Leipzig: Verlag von Arthur Felix, 1866. — xvi + 568 + xxv p.
• Алымов И. Научные выводы относительно водяного пара (рус.) // Морской сборник. — 1865. — Т. 77, № 3. — С. 87—113.
• Гельфер Я. М. История и методология термодинамики и статистической физики. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 1981. — 536 с.
• Кипнис А. Я. К истории установления уравнения состояния идеального газа (рус.) // Вопросы истории естествознания и техники. — Изд-во АН СССР, 1962. — № 13. — С. 91—94.

Общая информация

И. П. Алымов (1865), Цейнер (1866), Гульдберг (1867), Горстман (1873) и Д. И. Менделеев (1874) пришли к выводу, что произведение индивидуальной для каждого газа постоянной в уравнении Клапейрона на молекулярный вес μ газа должно быть постоянной для всех газов величиной. Д. И. Менделеев вычислил значение константы R, используя закон Авогадро, согласно которому 1 моль различных газов при одинаковом давлении и температуре занимает одинаковый объём (Vμ).{\displaystyle (V_{\mu }).}

Входит в уравнение состояния идеального газа
p=RTVμ,{\displaystyle p={RT \over {V_{\mu }}},} в формулу для коэффициента диффузии сферических броуновских частиц
D=RT6NAπaξ{\displaystyle D={\frac {RT}{6N_{\mathrm {A} }\pi a\xi }}} и в ряд других уравнений молекулярно-кинетической теории.

В Международной системе единиц (СИ) универсальная газовая постоянная, в силу точно установленных численных значений постоянных Авогадро и Больцмана, в точности равна

R = 8,314 462 618 153 24 Дж/(моль∙К).

В системе СГС универсальная газовая постоянная равна R = 8,314 462 618 153 24·107эрг/(моль∙К) (точно).

Универсальная газовая постоянная равна разности молярных теплоёмкостей идеального газа при постоянном давлении и постоянном объёме: R=cP−cV.{\displaystyle R=c_{P}-c_{V}.} Кроме того, поскольку отношение теплоёмкостей данного идеального газа является его показателем адиабаты γ=cPcV,{\displaystyle \gamma =c_{P}/c_{V},} можно записать следующие соотношения:

cV=1γ−1R,{\displaystyle c_{V}={\frac {1}{\gamma -1}}R,}

cP=γγ−1R.{\displaystyle c_{P}={\frac {\gamma }{\gamma -1}}R.}

У идеального газа показатель адиабаты связан с числом степеней свободы f молекулы соотношением γ=1+2f,{\displaystyle \gamma =1+{\frac {2}{f}},} что позволяет сразу вычислять молярные теплоёмкости газов, близких к идеальным. Например, для воздуха (в основном двухатомного газа, молекулы которого при комнатной температуре обладают тремя поступательными и двумя вращательными степенями свободы, f = 3+2 = 5) показатель адиабаты γ = 1 + 2/5 = 7/5, откуда cV≈52R,{\displaystyle c_{V}\approx {\frac {5}{2}}R,} cP≈72R.{\displaystyle c_{P}\approx {\frac {7}{2}}R.} Для аргона (одноатомного газа) у молекулы есть лишь три поступательные степени свободы, откуда γ = 1 + 2/3 = 5/3, а теплоёмкости cV≈32R,{\displaystyle c_{V}\approx {\frac {3}{2}}R,} cP≈52R.{\displaystyle c_{P}\approx {\frac {5}{2}}R.}

Эти соотношения обусловлены законом равнораспределения энергии по степеням свободы, утверждающим, что в тепловом равновесии при температуре T на одну степень свободы вращательного и поступательного движения молекулы приходится в среднем энергия, равная (1/2)kT, а на одну колебательную степень свободы — энергия kT; здесь k — постоянная Больцмана. Для большинства двухатомных газов при комнатной температуре колебательные степени свободы не возбуждаются (это проявление квантового характера осцилляций молекулы), и их не нужно учитывать. При увеличении температуры на 1 кельвин при постоянном объёме энергия каждой молекулы газа по каждой кинетической степени свободы в среднем увеличивается на k/2, а энергия 1 моля газа (число Авогадро молекул, N_A) — на N_Ak/2. Так, энергия молекулы одноатомного газа увеличивается на 32k{\displaystyle {\frac {3}{2}}k}, а энергия моля такого газа — на cV=32R.{\displaystyle c_{V}={\frac {3}{2}}R.} Отсюда становится понятной связь между универсальной газовой константой, постоянной Больцмана и числом Авогадро: R=NAk.{\displaystyle R=N_{\mathrm {A} }k.}

Универсальная газовая постоянная возникает и в приложениях термодинамики, относящихся к жидкостям и твёрдым телам. Так, эмпирический закон Дюлонга — Пти утверждает, что при комнатной температуре молярная теплоёмкость твёрдых простых веществ близка к 3R. Он объясняется тем, что атом в кристаллической решётке имеет три колебательные степени свободы, то есть согласно закону равнораспределения на каждый атом приходится в среднем 3kT/2 кинетической и столько же потенциальной энергии. Отсюда моль атомов обладает тепловой энергией 3NAk=3R.{\displaystyle 3N_{\mathrm {A} }k=3R.} Этот закон выполняется лишь при абсолютных температурах, значительно превышающих так называемую температуру Дебая для данного вещества, которая определяет необходимость учёта квантовой статистики при низких температурах.

Иногда рассматривается также индивидуальная газовая постоянная конкретного газа, равная отношению R к молекулярной массе данного газа (или к средней молекулярной массе смеси газов): R′ = R / μ. Для сухого воздуха R′ ≈ 287 Дж/(кг∙К), для водорода 4125 Дж/(кг∙К).

Такое загадочное 3,14

И правда, оно загадочно. Потому что в честь этих магических цифр устраивают праздники, снимают фильмы, проводят общественные акции, пишут стихи и многое другое.

Например, в 1998 году вышел фильм американского режиссера Даррена Аронофски под названием «Пи». Фильм получил множество наград.

Каждый год 14 марта в 1:59:26 люди, интересующиеся математикой, празднуют «День числа Пи». К празднику люди подготавливают круглый торт, усаживаются за круглый стол и обсуждают число Пи, решают задачи и головоломки, связанные с Пи.

Вниманием это удивительное число не обошли и поэты, неизвестный написал:
Надо только постараться и запомнить всё как есть – три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и шесть

В словаре Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализня

равня́ться,равня́юсь,равня́емся,равня́ешься,равня́етесь,равня́ется,равня́ются,равня́ясь,равня́лся,равня́лась,равня́лось,равня́лись,равня́йся,равня́йтесь,равня́ющийся,равня́ющаяся,равня́ющееся,равня́ющиеся,равня́ющегося,равня́ющейся,равня́ющегося,равня́ющихся,равня́ющемуся,равня́ющейся,равня́ющемуся,равня́ющимся,равня́ющийся,равня́ющуюся,равня́ющееся,равня́ющиеся,равня́ющегося,равня́ющуюся,равня́ющееся,равня́ющихся,равня́ющимся,равня́ющейся,равня́ющеюся,равня́ющимся,равня́ющимися,равня́ющемся,равня́ющейся,равня́ющемся,равня́ющихся,равня́вшийся,равня́вшаяся,равня́вшееся,равня́вшиеся,равня́вшегося,равня́вшейся,равня́вшегося,равня́вшихся,равня́вшемуся,равня́вшейся,равня́вшемуся,равня́вшимся,равня́вшийся,равня́вшуюся,равня́вшееся,равня́вшиеся,равня́вшегося,равня́вшуюся,равня́вшееся,равня́вшихся,равня́вшимся,равня́вшейся,равня́вшеюся,равня́вшимся,равня́вшимися,равня́вшемся,равня́вшейся,равня́вшемся,равня́вшихся

История вычисления константы пи

Ещё в третьем тысячелетии до нашей эры учёные из Древнего Египта, Месопатамии, Индии и Греции замечали, что соотношение длины и диаметра окружности всегда чуть больше трёх независимо от размеров окружности.

Изучение пи в древней Европе

В Месопотамии это соотношение считали равным трём. В Индии отношение длины к диаметру окружности приравнивали к квадратному корню из десяти. Первым математиком, предложившим доказательный метод расчёта пи, был Архимед. Его способ был прост и нагляден. Архимед вписывал в окружность с диаметром в единицу равносторонние многоугольники и описывал такие же многоугольники вокруг окружности, а потом вычислял периметры этих многоугольников. Таким образом, он получал границы для оценки длины окружности: периметр вписанного многоугольника ограничивал длину окружности снизу, а периметр описанного многоугольника — сверху.

Увеличивая количество углов в многоугольниках, Архимед повышал точность своей оценки. Когда он дошёл до 96 углов в многоугольнике, расчётное значение длины окружности оказалось больше, чем 3+10/71, но меньше, чем 3+1/7. Тогда Архимед выбрал верхнюю границу в качестве приблизительного значения константы пи. Согласно этому предположению, число пи равно 22/7 или 3,142857, если представить его в виде десятичной дроби. То есть, Архимед приблизился к числу пи с точностью до второго знака.

Во втором веке нашей эры дело Архимеда продолжил Клавдий Птолемей. Он довёл количество углов в многоугольнике до 720 и получил приблизительное значение числа пи 377/120 или 3,14166667. Клавдию Птолемею удалось высчитать константу пи с точностью до третьей цифры после запятой.

В шестнадцатом веке нашей эры математик из Голландии Лудольф ван Цейлен потратил десять лет на удваивание углов многоугольника и высчитал константу пи с точностью до двадцати знаков после запятой. Он завещал, чтобы найденные им цифры были выбиты на его надгробной плите. А саму константу стали называть числом Лудольфа.

Изучение числа пи в древнем Китае

Наряду с европейскими математиками, число пи пытались рассчитать и в Поднебесной. В третьем веке нашей эры математик из Китая Лю Хуэй вывел алгоритм, для расчёта константы пи с любой возможной степенью точности. В основу алгоритма легла всё та же идея Архимеда. По такому алгоритму самим Лю Хуэем было высчитано приближение пи для многоугольника с 3072 углами. Оно получилось равным 3,14159. Точность возросла до пятого знака после запятой. В пятом веке нашей эры математик Цзу Чунчжи Вычислил пи с точностью до семи цифр после запятой, расположив эту константу между 3,1415926 и 3,1415927.

Число пи: от средневековья до наших дней

В связи с развитием математического анализа во втором тысячелетии нашей эры для нахождения значения числа пи стали использоваться математические ряды:

• Ряд Мадхавы-Лейбница сходился медленно, но после некоторых преобразований позволил вычислить константу пи с точностью до одиннадцати цифр после запятой.
• Формула Виета — первая точная математическая формула для нахождения числа пи — представляет собой бесконечное произведение.
• Формула Валлиса также представляет собой произведение для расчёта константы пи по аналогии с константой е.
• Формула Джона Мэчина имеет в своей основе разложение арктангенса в Ряд Тейлора.
• Бесконечный ряд обратных квадратов, как доказал Эйлер сходится к квадрату пи, деленному на шесть.

Теория вероятностей тоже внесла свой вклад в вычисление пи с помощью метода Монте-Карло и Иглы Бюффона. Но с появлением компьютеров, а также открытием преобразования Фурье, использование рядов для вычисления значения пи позволило достигать астрономической точности.

Количество знаков

Примерно в то же время подтянулись и другие менее известные математики, предложившие новые формулы расчета числа Пи через тригонометрические функции.

Например, вот по какой формуле рассчитывал Пи преподаватель астрономии Джон Мэчин в 1706 году: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). С помощью методов анализа Мэчин вывел из этой формулы число Пи с сотней знаков после запятой.

До эры компьютеров математики занимались тем, чтобы рассчитать как можно больше знаков. В связи с этим порой возникали курьезы. Математик-любитель У. Шенкс в 1875 году рассчитал 707 знаков числа Пи. Эти семь сотен знаков увековечили на стене Дворца Открытий в Париже в 1937 году. Однако спустя девять лет наблюдательными математиками было обнаружено, что правильно вычислены лишь первые 527 знаков. Музею пришлось понести приличные расходы, чтобы исправить ошибку – сейчас все цифры верные.

Когда появились компьютеры, количество цифр числа Пи стало исчисляться совершенно невообразимыми порядками.

По мере совершенствования компьютеров наше знание числа Пи все дальше и дальше уходило в бесконечность. В 1958 году было рассчитано 10 тысяч знаков числа. В 1987 году японцы высчитали 10 013 395 знаков. В 2011 японский исследователь Сигеру Хондо превысил рубеж в 10 триллионов знаков.

В словаре Д.Н. Ушакова

РА́ВНЫЙ, равная, равное; равен, равна, равно.1. ·без·доп. и кому-чему. Одинаковый, совершенно сходный, такой же (по величине, качеству, достоинству и т.п.). Две величины, порознь равные третьей, равны между собой. Равные силы. Бревна равной толщины. Равные способности. При прочих равных условиях. Равным образом (см. образ1 в 6 ·знач. ). «Равны все музы красотой, несходство их в одежде.» Баратынский. «Пышный! ему нет равной реки в мире.» Гоголь (о Днепре).| Чему. Совершенно соответствующий по величине чему-нибудь, равняющийся какой-нибудь величине (мат.). Расстояние, равное 5 километрам. Чему равен остаток после деления?2. ·без·доп. Пользующийся такими же правами, имеющий такое же *****

Какое число пи? Первые 1000 знаков числа пи после запятой:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989…

В обычных условиях приблизительное значение числа пи можно вычислить следуя пунктам,

приведенным ниже:

1. Берем круг, обматываем по его краю нить один раз.
2. Измеряем длину нити.
3. Измеряем диаметр круга.
4. Делим длину нити на длину диаметра. Получили число пи.

В словаре Д.Н. Ушакова

РАВНЯ́ТЬСЯ, равняюсь, равняешься, ·несовер. (к равняться» title=’что такое сравняться, значение слова сравняться в словаре Ушакова’>сравняться).1. страд. к равнять.2. с кем-чем. Сравнивая себя с кем-чем-нибудь, признавать равным, соперничать, тягаться (·разг. ). Где тебе равняться со мной!3. чему. Представлять собой какую-нибудь величину, какое-нибудь число, быть равным чем-нибудь. Расстояние равняется пяти километрам. Дважды два равняется четырем.| перен. Быть равносильным чему-нибудь (·книж. ). Для меня это равняется катастрофе.Примечание. В правописании часто смешивается с ровняться, тем более, что в просторечии ровный может означать то же, что равный.