Что такое фильтр нижних частот? руководство по основам пассивных rc фильтров

Два полюса лучше одного?

Давайте посмотрим на результаты работы двухполюсного фильтра для тех же двух частот среза. Следующая схема представляет собой RLC фильтр с критическим затуханием с f_ср ≈ 50 кГц:

Рисунок 12 – Схема моделирования в LTspice: генератор ШИМ сигнала и RLC фильтр нижних частот с частотой среза 50 кГцРисунок 13 – Пульсации напряжения, полученного на выходе RLC фильтра нижних частот с частотой среза 50 кГц

Как и ожидалось, это значительное улучшение по сравнению с однополюсным фильтром 50 кГц; размах пульсаций уменьшился с примерно 2,15 В до менее чем 900 мВ.

Вот схема для RLC фильтра с критическим затуханием с f_ср ≈ 1 кГц:

Рисунок 14 – Схема моделирования в LTspice: генератор ШИМ сигнала и RLC фильтр нижних частот с частотой среза 1 кГцРисунок 15 – Пульсации напряжения, полученного на выходе RLC фильтра нижних частот с частотой среза 1 кГц

Здесь мы почти устранили пульсации; если бы вы увеличили масштаб, то обнаружили бы, что размах пульсаций составляет всего около 500 мкВ. Но теперь у нас снова есть проблема со временем установления (вспомните компромисс № 1):

Рисунок 16 – Время установления напряжения на выходе RLC фильтра нижних частот с частотой среза 1 кГц

В этот момент вы можете подумать о том, как можно улучшить этот фильтр для достижения быстрого отклика в сочетании с низкими пульсациями. Возможно, вы заметили, что для предыдущей схемы требовалось 2,2 миллигенри – это огромная индуктивность. А что насчёт активного фильтра? Фильтр Саллена-Ки? Может быть, фильтр Саллена-Ки после RC фильтра? Подождите, почему бы просто не использовать фильтр с переключаемым конденсатором? Четыре полюса, или даже пять или семь… Это подводит нас ко второму компромиссу:

Компромисс № 2: Фильтры высшего порядка улучшают производительность, но они также увеличивают стоимость и сложность. Вместо того, чтобы тратить время и деньги на внедрение причудливого фильтра для посредственного ЦАП на базе ШИМ, мы просто должны использовать внешний ЦАП! На мой взгляд, вы не должны выходить за пределы одного полюса. Внешние ЦАП (и микроконтроллеры со встроенными ЦАП) настолько широко доступны, что ЦАП на базе ШИМ теряет свою привлекательность, если вы не можете удовлетворить свои требования к производительности с помощью RC фильтра.

Декады и октавы

Последний комментарий о Декадах и Октавах . По шкале частот декада — это десятикратное увеличение (умножение на 10) или десятикратное уменьшение (деление на 10). Например, от 2 до 20 Гц представляют одну декаду, тогда как от 50 до 5000 Гц представляют две декады (от 50 до 500 Гц, а затем от 500 до 5000 Гц).

Октава — это удвоение (умножить на 2) или уменьшение в два раза (деление на 2) по шкале частот. Например, от 10 до 20 Гц представляет одну октаву, а от 2 до 16 Гц — это три октавы (от 2 до 4, от 4 до 8 и, наконец, от 8 до 16 Гц), каждый раз удваивая частоту

В любом случае, логарифмические шкалы широко используются в частотной области для обозначения значения частоты при работе с усилителями и фильтрами, поэтому важно понимать их

Частота среза

Диапазон частот, для которого фильтр не вызывает значительного ослабления, называется полосой пропускания, а диапазон частот, для которых фильтр вызывает существенное ослабление, называется полосой задерживания. Аналоговые фильтры, такие как RC фильтр нижних частот, переходят из полосы пропускания в полосу задерживания всегда постепенно. Это означает, что невозможно идентифицировать одну частоту, на которой фильтр прекращает пропускать сигналы и начинает их блокировать. Однако инженерам нужен способ, чтобы удобно и кратко охарактеризовать амплитудно-частотную характеристику фильтра, и именно здесь в игру вступает понятие частоты среза.

Когда вы посмотрите на график амплитудно-частотной характеристики RC фильтра, вы заметите, что термин «частота среза» не очень точен. Изображение спектра сигнала, «разрезанного» на две половины, одна из которых сохраняется, а другая отбрасывается, неприменимо, поскольку затухание увеличивается постепенно по мере того, как частоты перемещаются от значений ниже частоты среза к значениям выше частоты среза.

Частота среза RC фильтра нижних частот фактически является частотой, на которой амплитуда входного сигнала уменьшается на 3 дБ (это значение было выбрано, поскольку уменьшение амплитуды на 3 дБ соответствует снижению мощности на 50%). Таким образом, частоту среза также называют частотой -3 дБ, и на самом деле это название является более точным и более информативным. Термин полоса пропускания относится к ширине полосы пропускания фильтра, и в случае фильтра нижних частот полоса пропускания равна частоте -3 дБ (как показано на диаграмме ниже).

Рисунок 8 – Данная диаграмма показывает общие особенности амплитудно-частотной характеристики RC фильтра нижних частот. Ширина полосы пропускания равна частоте -3 дБ.

Как объяснялось выше, пропускающее низкие частоты поведение RC фильтра обусловлено взаимодействием между частотно-независимым импедансом резистора и частотно-зависимым импедансом конденсатора. Чтобы определить подробности амплитудно-частотной характеристики фильтра, нам нужно математически проанализировать взаимосвязь между сопротивлением (R) и емкостью (C); мы также можем манипулировать этими значениями, чтобы разработать фильтр, который соответствует точным спецификациям. Частота среза (f_ср) RC фильтра нижних частот рассчитывается следующим образом:

\

Давайте посмотрим на простой пример. Значения конденсаторов являются более сдерживающими, чем значения резисторов, поэтому мы начнем с распространенного значения емкости (например, 10 нФ), а затем воспользуемся формулой для определения необходимого значения сопротивления. Цель состоит в том, чтобы разработать фильтр, который будет сохранять аудиосигнал 5 кГц и подавлять шум 500 кГц. Мы попробуем частоту среза 100 кГц, а позже в этой статье мы более тщательно проанализируем влияние этого фильтра на обе частотные составляющие.

\

Таким образом, резистор 160 Ом в сочетании с конденсатором 10 нФ даст нам фильтр, который дает амплитудно-частотную характеристику, близкую к необходимой.

Многозвенные сглаживающие фильтры

Если с помощью индуктивно-емкостного фильтра необходимо обеспечить коэффициент сглаживания пульсаций более 40…50, то вместо однозвенного фильтра целесообразнее использовать двухзвенный сглаживающий фильтр.

Фильтры с тремя и более звеньями на практике применяются редко. В общем случае коэффициент сглаживания многозвенного фильтра равен произведению коэффициентов сглаживания отдельных звеньев: q = q’q’’q’’’ …

Сглаживающие индуктивно-емкостные фильтры достаточно просты и эффективны в выпрямительных устройствах средней и большой мощностей. Однако масса и габариты таких фильтров весьма значительны, коэффициент сглаживания снижается с ростом тока нагрузки, фильтры малоэффективны при появлении медленных изменений сетевого напряжения. Индуктивные элементы фильтра являются источниками магнитных полей рассеяния, а совместно с паразитными емкостными элементами создают колебательные контуры, способствующие появлению переходных процессов.

Eмкостной сглаживающий фильтр

Емкостной сглаживающий фильтр состоит из конденсатора С_ф, подключённого параллельно сопротивлению нагрузки R_н. Принцип действия заключается в накоплении электрической энергии конденсатором фильтра и последующей отдачи этой энергии в нагрузку. Заряд и разряд конденсатора фильтра происходит с частотой пульсаций f_п выпрямленного напряжения.

Для расчёта ёмкости конденсатора сглаживающего фильтра можно воспользоваться следующей формулой

результируещее значение ёмкости выражено в микрофарадах, S_OH – коэффициент пульсаций в процентах, %; R_H – сопротивление нагрузки в омах, Ом; f_c – частота сети в герцах, Гц; m – число используемых при выпрямлении полупериодов за период напряжения сети,m = 1 – для однополупериодных, m = 2 – для двухполупериодных.

Емкостной фильтр целесообразней всего применять совместно с однофазными и маломощными схемами выпрямления.

Аппроксимации фильтра

До сих пор мы рассматривали низкочастотные и высокочастотные схемы фильтра первого порядка, их результирующие частотные и фазовые характеристики. Идеальный фильтр дал бы нам спецификации максимального усиления полосы пропускания и плоскостности, минимального затухания полосы пропускания, а также очень крутой полосы пропускания, чтобы остановить спад полосы (полоса перехода), и поэтому очевидно, что большое количество сетевых откликов будет удовлетворять эти требования.

Неудивительно, что в линейном дизайне аналоговых фильтров есть ряд «аппроксимационных функций», в которых используется математический подход для наилучшего приближения передаточной функции, которая требуется нам для проектирования фильтров.

Такие конструкции известны как Эллиптический, Баттерворт, Чебышев, Бессель, Кауэр и многие другие. Из этих пяти «классических» функций аппроксимации линейного аналогового фильтра только фильтр Баттерворта и особенно конструкция фильтра Баттерворта нижних частот будут рассматриваться здесь как его наиболее часто используемая функция.

Самый простой LC-фильтр

Самый простой LC-фильтр — это колебательный контур, включенный так как показано на рис. 1. Входное переменное напряжение поступает на контур через резистор R1, а выходное снимается с самого контура.

Рис. 1. Схема LC-фильтра.

Вообще это очень похоже на делитель напряжения на двух резисторах, но вместо одного из резисторов здесь контур. В сущности дела оно так и есть.

На резонансной частоте реактивное сопротивление контура сильно возрастает, а значит, коэффициент деления такого делителя уменьшается.

Эта схема (рис.1) действует как узкополосной полосовой фильтр, центральную частоту которого можно рассчитать по известной формуле:

, где частота в Гц, индуктивность в Гн, емкость в Ф.

Сопротивление контура на резонансной частоте:

где р — характеристическое сопротивление, равное реактивному сопротивлению катушки и конденсатора. Величину р можно рассчитать по формуле:

А вот рассчитать добротность Q значительно сложнее. Эта величина зависит от потерь в контуре. Так как конденсатор обычно вносит минимум потерь, то добротность контура чаще всего практически равна добротности индуктивности, входящей в состав этого контура.

Резонансную частоту и добротность можно определить измерениями. Нужно собрать схему по рисунку 2. Это практически такая же схема как на рис.1.

Переменное напряжение, соответствующее по частоте расчетному значению, подают от генератора «Г» на контур через сопротивление R1. Подстраивая генератор находят такую частоту, при которой возникает резонанс, то есть, при которой вольтметр переменного тока Р1 показывает наибольшую величину.

Рис. 2. Схема для измерения резонансной частоты и добротности.

Эта частота и будет реальной резонансной частотой. Она может отличаться от расчетной из-за погрешностей величин емкости и индуктивности. В идеале — равна расчетной.

На частоте резонанса R1 и резонансное сопротивление контура Ro образуют делитель напряжения, поэтому выходное напряжение Uвых = Uвх * Ro / (R1+Ro).

Измерив входное напряжение Uвх и выходное Uвых из этой формулы можно найти резонансное сопротивление контура Ro, ну а потом, зная величину характеристического сопротивления, из формулы

можно из формулы Ro=pQ найти добротность Q. Другой параметр LC-фильтра — это полоса пропускания где — это отклонение частоты входного напряжения от резонанса в ту или другую сторону, при которой выходное напряжение, соответствующее резонансу (Uвых), уменьшается до 0,7Uвых. Зная величину полосы пропуская можно найти добротность по формуле Q = Fo/(2*дельтаF).

Таким образом становится ясно, что полоса пропускания LC-фильтра прежде всего зависит от добротности контура. При этом нужно учесть, что таким образом будет определена не собственная добротность контура, а величина меньше, из-за шунтирующего действия резистора R1.

Недостаток фильтра по рисунку 1 в том, что на него оказывает сильное влияние величина выходного сопротивления источника входного переменного напряжения.

LC filter application areas

The effects of coil and capacitor are primarily used to filter frequencies. For example, when building loudspeakers, the other frequencies can be filtered on the high, mid and woofers. This significantly improves the sound, as the woofer cannot reproduce high notes and vice versa.

Devices for wireless transmission of signals often generate unwanted frequencies that are not to be emitted. These can be filtered out with a correctly dimensioned LC filter element before being forwarded to the antenna. For large transmission power, such filters are mandatory.

Radio receivers only need the frequency bands that they are supposed to receive. Other frequencies only worsen the signal quality in the form of background noise such as noise and crackling. Eventually, the device starts to transmit signals that it picks up from other frequencies. With the LC filter as band pass, the transmitted frequency number can be limited and the signal quality improves.

Another relevant example of a frequency filter is the station search with radios. If we want to listen to a certain station, we set the radio to its frequency. All other frequencies are filtered out in order to ensure trouble-free reception. In transition areas, an overlay of the two adjacent transmitters is often heard.

Индуктивный сглаживающий фильтр

Применяется в маломощных выпрямителях, но может входить в состав сложных многозвенных фильтров. Параметры дросселя следует выбирать так, чтобы активное сопротивление обмотки rдр было много меньше сопротивления нагрузки (r_др << R_н), а индуктивное сопротивление X_др = 2πf_пL_ф на частоте пульсаций f_п – много больше, чем R_н(X_др >> R_н). В этом случае почти вся постоянная составляющая напряжения будет приложена к нагрузке, а переменная составляющая – к дросселю.

По заданному коэффициенту сглаживания q можно рассчитать необходимую индуктивность сглаживающего фильтра

Индуктивный фильтр прост, дешев, имеет малые потери мощности; коэффициент сглаживания фильтра растёт с увеличением индуктивности дросселя, числа фаз питающего напряжения и с уменьшением сопротивления нагрузки. Поэтому индуктивные фильтры обычно применяются совместно с многофазными мощными выпрямителями. При отключении нагрузки или скачкообразном изменении ее сопротивления возможно возникновение перенапряжений; в этом случае параллельно обмотке дросселя необходимо включать защитные устройства, например разрядники. В маломощных однофазных выпрямителях индуктивный фильтр может являться звеном более сложного фильтра.

Широтно-импульсная модуляция в частотной области

В предыдущей статье мы видели, что сигнал с широтно-импульсной модуляцией можно «сгладить» до достаточно стабильного напряжения в диапазоне от уровня земли до высокого логического уровня (например, 3,3 В); сглаживание выполняется простым фильтром нижних частот. Таким образом, мы можем реализовать цифро-аналоговое преобразование, используя встроенное программное обеспечение или аппаратное обеспечение для изменения коэффициента заполнения в ШИМ сигнале в соответствии со следующей формулой:

\(\text{Необходимое напряжение ЦАП}=A\times \text{коэффициент заполнения}\)

где A («амплитуда») – напряжение высокого логического уровня.

Давайте начнем наше более подробное исследование ЦАП на базе ШИМ с рассмотрения представления ШИМ сигнала в частотной области. Вот схема LTspice:

Рисунок 1 – Схема моделирования в LTspice

Как видно из характеристик PULSE, ширина импульса составляет 5 мкс, а период – 10 мкс. Таким образом, коэффициент заполнения составляет 50%, а несущая частота ШИМ сигнала составляет 100 кГц

Также обратите внимание, что A = 3,3 В, а время нарастания и спада составляет 10 нс. Вот сигнал во временной области:

Рисунок 2 – Представление ШИМ сигнала во временной области

А вот и результаты быстрого преобразования Фурье (БПФ):

Рисунок 3 – Представление рассматриваемого ШИМ сигнала в частотной области

Вы можете узнать в этой диаграмме спектр общего вида, который мы ожидаем увидеть от прямоугольного сигнала, то есть всплеск на несущей частоте, а затем уменьшающиеся по амплитуде гармоники на частотах, равных несущей частоте, умноженной на 3, несущей частоте, умноженной на 5, и так далее. Однако БПФ LTspice не показывает нам постоянной составляющей, которая не равна нулю, потому что этот прямоугольный сигнал не симметричен относительно оси x. Я изменил следующий график, чтобы включить компонент постоянной составляющей:

Рисунок 4 – Измененное представление в частотной области, учитывающее наличие постоянной составляющей

Итак, нам нужны стабильные 1,65 В, расположенные в левом краю, и нам не нужен этот проблемный всплеск на частоте 100 кГц (а также все более высокочастотные всплески). В этот момент вы, вероятно, можете понять, зачем мы используем фильтр нижних частот в ЦАП на базе ШИМ: фильтр сохраняет компонент постоянной составляющей, подавляя всё остальное. Если бы у нас был идеальный фильтр, у нас было бы совершенно стабильное напряжение ЦАП – просто оглянемся на предыдущий график и представим фильтр с АЧХ в виде «кирпичной стены», которая на частоте 50 кГц переходит от отсутствия затухания к полному затуханию. Все не связанные с постоянной составляющей компоненты сигнала будут устранены, и мы получим постоянное напряжение на уровне 1,65 В.

В этот момент вам может быть интересно узнать, как меняется спектр при изменении ширины импульса. Что если частотные составляющие перемещаются так, что фильтр нижних частот становится менее эффективным? Рассмотрим следующие два результата БПФ для коэффициентов заполнения 10% и 90%:

Рисунок 5 – Спектр ШИМ сигнала с коэффициентом заполнения 10%Рисунок 6 – Спектр ШИМ сигнала с коэффициентом заполнения 90%

Спектр, безусловно, изменяется относительно коэффициента заполнения 50%, но одно не меняется: первый всплеск находится на несущей частоте. Таким образом, независимо от коэффициента заполнения, мы имеем довольно большую полосу частот (в данном случае от постоянного напряжения до 100 кГц), в которой фильтр нижних частот может переходить от отсутствия затухания к существенному затуханию.

Фазо-частотная характеристика

ФЧХ расшифровывается как фазо-частотная характеристика, phase response – фазовый отклик. Фазо-частотная характеристика – это зависимость сдвига по фазе между синусоидальными сигналами на входе и выходе устройства от частоты входного колебания.

Разность фаз

Думаю, вы не раз слышали такое выражение, как ” у него произошел сдвиг по фазе”. Это выражение не так давно пришло в наш лексикон и обозначает оно то, что человек слегка двинулся умом. То есть было все нормально, а потом раз! И все :-). И в электронике такое тоже часто бывает)  Разницу между фазами сигналов в электронике называют разностью фаз. Вроде бы “загоняем” на вход  какой-либо сигнал, а выходной сигнал ни с того ни с сего взял и сдвинулся по времени, относительно входного сигнала.

Для того, чтобы определить разность фаз, должно выполняться условие: частоты сигналов должны быть равны. Пусть даже один сигнал будет с амплитудой в Киловольт, а другой в милливольт

Неважно! Лишь бы соблюдалось равенство частот. Если бы  условие равенства не соблюдалось, то сдвиг фаз между сигналами все время бы изменялся

Для определения сдвига фаз используют двухканальный осциллограф. Разность фаз чаще всего обозначается буквой φ и на осциллограмме это выглядит примерно так:

Строим ФЧХ RC-цепи в Proteus

Для нашей исследуемой цепи

Для того, чтобы отобразить ее в Proteus мы снова открываем функцию “frequency response”

Все  также выбираем наш генератор

Не забываем проставлять испытуемый диапазон частот:

Далее нажимаем ПКМ на самой табличке Frequency Response и видим вот такой выплывающий список, в котором нажимаем “Добавить трассы”

Долго не думая, выбираем в первом же окошке наш выход out

И теперь главное отличие: в колонке “Ось” ставим маркер на “Справа”

Нажимаем пробел и вуаля!

Можно его развернуть на весь экран

При большом желании эти две характеристики можно объединить на одном графике

Обратите внимание, что на частоте среза сдвиг фаз между входным и выходным сигналом составляет 45 градусов или в радианах п/4 (кликните для увеличения)

В данном опыте при частоте более 100 КГц разность фаз достигает значения в 90 градусов (в радианах π/2) и уже не меняется.

Строим ФЧХ на практике

ФЧХ на практике можно измерить также, как и АЧХ, просто наблюдая разность фаз и записывая показания в табличку. В этом опыте мы просто убедимся, что на частоте среза у нас действительно разность фаз между входным и выходным сигналом будет 45 градусов или  π/4 в радианах.

Итак, у меня получилась вот такая осциллограмма на частоте среза в 159,2 Гц

Нам надо узнать разность фаз между этими двумя сигналами

Весь период – это 2п, значит половина периода – это π. На полупериод у нас приходится где-то 15,5 делений. Между двумя сигналами разность в 4 деления. Составляем пропорцию:

Отсюда х=0,258п или можно сказать почти что 1/4п. Следовательно, разница фаз между двумя этими сигналами равняется п/4, что почти в точности совпало с расчетными значениями в Proteus.

How inductance and capacitance work

Three types of load resistance are distinguished in electrical engineering: ohmic, inductive and capacitive resistance. Ohmic resistance is independent of the frequency and always remains the same. In contrast, inductive and capacitive resistances change with the frequency of the applied voltage. This is due to the inductive reactance \(X_L\) and the capacitive reactance \(X_C\).

If an alternating current flows through a coil, then a magnetic field is built up and taken down in it. The electronic engineer speaks of induction. The induced voltage counteracts the applied voltage, resulting in the inductive reactance \(X_L\). The effect of induction increases with increasing frequency. The current flow in the coil is always delayed, so the voltage always rushes afterwards.

The capacitor is, in principle, a battery with a very small capacity. It can be charged and discharged again. The capacitor acts like a nearly infinite resistance in a DC circuit. In an AC circuit, however, it is permanently charged and discharged by the alternating current direction. Basically, the current does not really flow through the capacitor. During this continuous charging and discharging, the capacitive reactance \(X_C\) is created. The higher the frequency, the shorter the charging cycles of the capacitor and the lower its reactance.

Заключение

Возможно, вы заметили, что расположение частоты среза на этих графиках Найквиста является чисто геометрическим. Вы не можете прикрепить фиксированное значение частоты к этому местоположению, так как это местоположение одинаково для каждого фильтра нижних частот первого порядка или для каждого фильтра верхних частот первого порядка. Диаграмма Найквиста явно не является заменой для обычных логарифмических амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик. Но тем не менее, она дает более прямой способ передачи информации о передаточной функции системы, и, как мы увидим в следующей статье, это удобный инструмент для анализа устойчивости (стабильности).