Компьютеры советской россии с троичной сбалансированной системой счисления

Кратко об основных системах счисления

Десятичная система счисления. Используется в повседневной жизни и является самой распространенной. Все числа, которые нас окружают представлены в этой системе. В каждом разряде такого числа может использоваться только одна цифра от 0 до 9.

Двоичная система счисления. Используется в вычислительной технике. Для записи числа используются цифры 0 и 1.

Восьмеричная система счисления. Также иногда применяется в цифровой технике. Для записи числа используются цифры от 0 до 7.

Шестнадцатеричная система счисления. Наиболее распространена в современных компьютерах. При помощи неё, например, указывают цвет. #FF0000 — красный цвет. Для записи числа используются цифры от 0 до 9 и буквы A,B,C,D,E,F, которые соответственно обозначают числа 10,11,12,13,14,15.

История

Десятичная непозиционная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр (от 1 до 1 000 000) возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. в Древнем Египте (египетская система счисления).

В другой великой цивилизации — вавилонской с её шестидесятеричной системой — за две тысячи лет до н. э. внутри шестидесятеричных разрядов использовалась позиционная десятичная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр. Египетская десятичная система повлияла на аналогичную систему в первых европейских системах письма, таких как критские иероглифы, линейное письмо А и линейное письмо Б.

Древнейшая известная запись позиционной десятичной системы обнаружена в Индии в 595 г. Нуль в то время применялся не только в Индии, но и в Китае. В этих старинных системах для записи одинакового числа использовались символы, рядом с которыми дополнительно помечали, в каком разряде они стоят. Потом перестали помечать разряды, но число всё равно можно прочитать, так как у каждого разряда есть своя позиция. А если позиция пустая, её нужно пометить нулём. В поздних вавилонских текстах такой знак стал появляться, но в конце числа его не ставили. Лишь в Индии нуль окончательно занял своё место, эта запись распространилась затем по всему миру.

Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, затем и в Западную Европу. О ней рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания чисел, записанных в позиционной системе, сделали её особенно популярной.
А поскольку труд аль-Хорезми был написан на арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось иное название — «арабская» (арабские цифры).

Кипу инков

Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы, так и не числовых записей в двоичной системе кодирования.
В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных.
Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта, как двойная запись.

Единичная система счисления.

С первых попыток научиться считать у людей  возникла необходимость записи чисел. Сначала это было легко — зарубка либо черточка на любой поверхности отвечала за один предмет. Таким образом возникла первая система счисления — единичная.

Число в единичной системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.

В более позднее время для упрощения восприятия больших чисел, эти знаки стали группировать по три или по пять. Далее равнообъёмные группы знаков начали заменять новым знаком — так возникли прообразы современных цифр.

У данной системы есть значительные недостатки — чем больше число,  тем длиннее строка из палочек. Кроме того, существует большая вероятность в записи числа, пропустив или случайно дописав палочку.

Изначально в счете использовали пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

Способы записи

В математике

В математике основание системы счисления принято указывать в десятичной системе в нижнем индексе. Например, десятичное число 1443 можно записать как 1443₁₀ или как 5A3₁₆.

В языках программирования

В разных языках программирования для записи шестнадцатеричных чисел используют различный синтаксис:

• В Ада и VHDL такие числа указывают так: «16#5A3#».
• В Си и языках схожего синтаксиса, например, в Java, используют префикс «0x». Например, «0x5A3».
• В некоторых языках ассемблера используют букву «h», которую ставят после числа. Например, «5A3h». При этом, если число начинается не с десятичной цифры, то для отличия от имён идентификаторов (например, констант) впереди ставится «0» (ноль): «0FFh» (255₁₀)
• Другие ассемблеры (AT&T, Motorola), а также Паскаль и некоторые версии Бейсика используют префикс «$». Например, «$5A3».
• В ассемблерах для IBM mainframe (Assembler F, Assembler 2, Assembler H) используется запись X’xx..xx’. Например X’05A3′.
• Некоторые иные платформы, например ZX Spectrum в своих ассемблерах (MASM, TASM, ALASM, GENS и т. д.) использовали запись #5A3, обычно выровненную до одного или двух байт: #05A3.
• Другие версии Бейсика, например Turbo Basic, используют для указания шестнадцатеричных цифр сочетание «&h» или «&H» перед числом. Например, «&h5A3».
• В Unix-подобных операционных системах (и многих языках программирования, имеющих корни в Unix/linux) непечатные символы при выводе/вводе кодируются как 0xCC, где CC — шестнадцатеричный код символа.

Арифметические действия в шестнадцатеричной системе счисления

Сложение и вычитание

Операции сложения и вычитания удобно выполнять с использованием таблицы сложения шестнадцатеричных чисел. И сложение или вычитание выполняются поразрядно, начиная с младшего разряда.

Рис. 2. Таблица сложения шестнадцатеричных чисел

Если при сложении двух чисел одинакового разряда получается двузначное число, то значение его старшего разряда (единицу) добавляют в старший разряд.

Например, 1F + 2D = 4C.

Сначала складываются значения младших разрядов F + D. По таблице получается двузначное число1С, единицу старшего разряда которого переносим и добавляем к сумме следующих по величине разрядов суммируемых шестнадцатеричных чисел.

Сумма цифр старших разрядов 1 + 2 равна 3 и еще прибавляется переносимая единица, то есть получается в сумме 4.

Таким образом, получается число 4C.

При выполнении вычитания часто возникает ситуация, когда необходимо выполнять заем из старшего разряда, если уменьшаемое конкретного разряда меньше вычитаемого. Тогда занимается единица из старшего разряда. Значение разности смотрится по таблице.

Например, 2D – 1F = E.

Сначала находят разность цифр младших разрядов, то есть D – F (в десятичном представлении 13-15). Уменьшаемое меньше вычитаемого, поэтому происходит заем единицы из старшего разряда исходного числа. То есть вычисляют разность 1D – F = E.

После выполненных манипуляций с младшими разрядами переходят к следующим по величине. В текущем примере следует вычислить 2 – 1. Но ранее произошел заем единицы и в старшем разряде уменьшаемого остается не 2, а 1. Поэтому вычисляется разность 1 – 1 = 0.

Умножение и деление

Умножать и делить числа в шестнадцатеричной системе следует также поразрядно. При вычислениях удобно пользоваться таблицей умножения шестнадцатеричной системы счисления.

Рис. 3. Таблица умножения шестнадцатеричных чисел

Например, 1С * 2 = 38. Используя распределительный закон умножения: (10 + С) * 2 = 10 * 2 + С * 2 = 20 + 18 = 38

Операция деления также выполняется столбиком с использованием таблицы умножения: 1С / 2 = Е. В строке таблицы для числа 2, то есть делителя, находится значение 1С (делимое) и пересечение этой строки и столбца, где расположено 1С даст значение частного от деления числа, то есть Е.

Что мы узнали?

В шестнадцатеричной системе счисления для записи числовых значений используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F. Прямой перевод шестнадцатеричного числа в десятичную систему выполняется с использованием развернутой формы записи числа. Обратный перевод выполняется путем деления и записи остатков. Каждую шестнадцатеричную цифру в числе можно заменить тетрадой двоичных чисел. Арифметические операции в шестнадцатеричной системе удобнее всего выполнять поразрядно с использованием таблиц сложения и умножения шестнадцатеричных чисел

Двоично-десятичная система — счисление

Двоично-десятичная система счисления представляет собой десятичную систему счисления, в которой десятичные цифры каждого разряда числа изображены в двоичной системе.
 

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных компьютерах ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно

Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами и в таком виде записываются последовательно друг за другом.
 

Двоично-десятичная система счисления имеет основание d10 и каждая цифра ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) изображается в этой системе счисления четырехразрядным двоичным числом, называемым тетрадой, Она используется в ЭВМ не только в качестве вспомогательной системы счисления при вводе и выводе данных, но и в качестве основной при решении задач, когда в ЭВМ вводится и выводится большое количество чисел, а вычислений над ними производится мало.
 

Двоично-десятичная система счисления используется в машине для представления десятичных чисел.
 

Двоично-десятичная система счисления принята для записи программ станков с ЧПУ.
 

Двоично-десятичная система счисления состоит из десятичных разрядов, однако каждая цифра, выражающаяся десятичный разряд, изображается двоичным кодом.
 

Двоично-десятичная система счисления используется не только как промежуточная система счисления, предназначенная для кодирования входных и выходных чисел. Некоторые отечественные машины, например Мир, Минск-32, Проминь и машины третьего поколения, могут выполнять вычисления не только в двоичной системе счисления, но и в двоично-десятичной.
 

Двоично-десятичную систему счисления используют при решении задач, когда в ЭЦВМ вводится и выводится большое количество чисел, а вычислений над ними производится мало.
 

В двоично-десятичной системе счисления каждая десятичная цифра изображается отдельно в двоичном коде.
 

В двоично-десятичной системе счисления каждая десятичная цифра записывается в коде двоичного числа. Запись десятичных цифр занимает 1 4 двоичных разряда. Кодирование десятичных цифр выполняется в четырех двоичных разрядах, или тетрадах.
 

Широкое распространение получила двоично-десятичная система счисления ( двоично-десятичный код), которая сочетает удобство использования десятичной системы и экономичность двоичной системы.
 

В нем применена двоично-десятичная система счисления, числа представляются с фиксированной запятой.
 

Работает приставка в двоично-десятичной системе счисления и имеет два накопителя для сомножителей. Значность сомножителей составляет 10 X 10, а произведения — 20 десятичных разрядов. Кроме того, в произведении с помощью клавиш % и % о отбрасывается соответственно два и три разряда с печатью знаков этих символов.
 

ЗУ происходит в двоично-десятичной системе счисления. Автоматическую выдачу информации из регистра MR ЗУ ( выполняет электрическая пишущая машина. В свою очередь устройство выдачи используется как обычная пишущая машина для записи различного текста. За время автоматической выдачи информации обычно происходит посылка команд выполнения различных операций. Наличие программного управления обеспечивает поступление в арифметическое, а следовательно, и в запоминающее устройство только тех чисел, которые записываются в предусмотренные для этого графы через устройство ввода. Программное управление работой машины создает полное соответствие записей всех строк с формой обрабатываемого документа. Во время записи текста числовые значения в АУ не поступают и в арифметических операциях не участвуют.
 

Перевод 16 –10

Для прямого перевода шестнадцатеричного числа в десятичную систему удобно пользоваться развернутой формой записи, когда число представляют в виде суммы, в которой слагаемые получаются путем умножения символа разряда (числа или числового эквивалента буквы) на 16 в степени соответствующего разряда.

Например, 1F4 = 1 * (16^2) + 15 * (16^1) + 4 * (16^0) = 256 + 240 + 4 = 500

Обратный перевод выполняется последовательным делением десятичного числа на 16 и взятия остатков от деления. Причем полученные остатки в диапазоне от 10 до 15 надо заменить соответствующей буквой.

Выполняя обратный перевод, следует помнить, что результирующее значение получают путем записи полученных от деления остатков в обратном порядке, начиная с последнего частного. Каждый остаток от деления должен получаться всегда меньше шестнадцати.

Например: 500 / 16 = 31 (остаток 4)

31 / 16 = 1 (остаток 15 заменяем на букву F)

Таким образом, получено шестнадцатеричное число 1F4.

Элементы десятичной системы в эпоху Средневековья и Нового времени

См. также: £sd

В эпоху Средневековья и Нового времени (до XVIII века) в Западной Европе господствовал принцип £sd, при котором самый крупный номинал состоит из 20 более мелких, которые в свою очередь делятся на 12 ещё более мелких. То есть самый крупный номинал состоит из 240 самых мелких. Элементы этой системы встречаются ещё в монетных системах Древней Греции и Древнего Рима (см. выше), они получили развитие в Византийской империи и через варварские подражания древнеримским и византийским монетам были заимствованы германскими государствами, возникшими на территории Европы после падения Римской империи. Окончательное оформление системы £sd произошло в 781 году при Карле Великом, когда был принят Каролингский монетный устав. В соответствии с ним вес либры (фунта) был существенно повышен — до примерно 408 граммов. Саму либру приравняли к 20 солидам (шиллингам) или 240 денариям (1 солид = 12 денариев). В нумизматической литературе эта новая весовая норма получила название «Фунт Карла Великого» или «Каролингский фунт». Документов с указанием точного веса каролингского фунта не сохранилось, поэтому его реконструировали на основании взвешивания денариев того периода, что и дало примерный результат в 408 граммов.

Как система мер и весов каролингская система не закрепилась — к началу XX века у фунта существовало не менее 20 разновидностей весовых норм, а вот как денежная система была впоследствии заимствована всеми ведущими государствами Европы с незначительными модификациями, выражающимися в появлении дополнительных номиналов, которые являлись кратными или дробными по отношению к трём основным, и просуществовала в ряде стран до конца XX века. Так, заимствованная у Карла Великого английская, а позже британская денежная система сохранилась почти в неизменном виде вплоть до 1971 года: фунт стерлингов делился на 20 шиллингов и 240 пенсов.

Эту систему называют l.s.d., £.s.d. или £sd — по первым буквам в названии соответствующих древнеримских денежных и весовых единиц: libra (либра), solidus (солид), denarius (денарий), которые в империи Карла Великого и соседних государствах стали фунтом (лирой в Италии, ливром во Франции), шиллингом (сольдо в Италии, солем во Франции, суэльдо в Испании) и денарием (пфеннигом в Германии, пенни в Англии, денье во Франции). Так, именно первая буква в латинском названии монеты — denarius (d) — стала символом пенни и пфеннига. Символ шиллинга — латинская буква S, с которой начинается слово solidus; само слово шиллинг (англ. shilling), как правило, сокращается как sh. Наконец, от первой буквы в слове libra происходят символы лиры и фунта стерлингов, представляющие собой написанную курсивом латинскую букву L с одной или двумя горизонтальными чертами.

В Восточной Европе и на Балканах денежные системы имели иную организацию.

• Чехия и Польша
• Османская империя
• Древняя Русь (Русское государство, Литовская Русь)