Амплитуда, период, частота колебаний

14.5. Вынужденные колебания

Вынужденные колебания — это колебания, происходящие под действием
периодического внешнего воздействия.

В контур включен последовательно источник переменного напряжения, изменяющегося по гармоническому закону .	На грузик m действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону .
Закон Ома для неоднородного участка цепи:	Второй закон Ньютона :
.	.
Применим законы движения к изучаемым системам:
Получим дифференциальные уравнения:
,	.
Приведем уравнения к каноническому виду — делим на коэффициент при старшей производной и переносим все члены уравнения, содержащие неизвестную функцию, в левую часть:
;	.

наших двух систем будет иметь один и тот же вид:

.

Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний
— ξ(t) — состоит из двух слагаемых:

,

здесь ξ₁(t)
— общее решение однородного уравнения, т.е. уравнения с нулем в правой части
(см. ),

ξ₂(t)
— частное решение неоднородного уравнения, т.е. уравнения с ненулевой правой
частью — ()

    — из (),

здесь —    —
частота затухающих колебаний.

ξ₁(t) убывает с течением времени и его роль существенна при переходных процессах. Стационарное, установившееся значение ξ(t) определяется, в основном,
слагаемым ξ₂(t). Наша задача — найти
ξ₂(t).

Частное решение неоднородного уравнения — ξ₂(t).
Ищем ξ₂(t) в виде
гармонической функции изменяющейся с частотой внешнего воздействия ω
:

.

Первая и вторая производные от этой функции также будут гармоническими
функциями, изменяющиеся с частотой ω. Значит,
в уравнении , в левой его
части, будет сумма трех гармонических функций одинаковой частоты, справа —
гармоническая функция той же частоты, т.е. сумма трех колебаний одной частоты
равна четвертому колебанию той же частоты. Задачу о сложении колебаний мы
решим методом векторных диаграмм (14.3.1.), для этого
и , после нахождения этих производных, запишем
с помощью функции косинуса:

.

14.5.6.1.1. Векторная диаграмма

Изобразим эти колебания с помощью векторов (),
амплитуды которых получаются после умножения
на 2β, а — ξ на ω2.

.

В отличие от () вправо направим
вектор длиной ω2A,
изображающий функцию ω2A
· Cos( ωt — φ) , начальная фаза которой равна
«минус фи».

14.5.6.1.2. Резонанс

Т.к. ,

то

.

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний изменяется
с изменением частоты внешнего воздействия. При определенной частоте амплитуда
достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая
частота — ω_рез
— резонансной. Для определения ω_рез
исследуем функцию A(ω) на максимум, для
этого достаточно найти минимум знаменателя у выражения A(ω)
. Возьмем от него производную по и приравняем к нулю:

,

откуда:

.

При 2β2
> ω2
резонанс отсутствует ( ω_рез
— мнимое число).

14.5.6.1.2.1. Амплитуда при резонансе

Амплитуда при резонансе получается при подстановке найденного
выражения ω_рез
в формулу для A(ω).

.

При β << ω:

.

При ω = 0 отклонение системы
от положения равновесия

.

Найдем отношение A_рез / Aпри условии
β << ω:

,

здесь Q — добротность.

Добротность показывает (при β <<
ω ) во сколько раз амплитуда при
резонансе больше смещения при ω = 0.

14.5.6.1.2.2. Резонансные кривые

График зависимости A(ω)
при различных β носят название резонансных
кривых.

β₁ <
β₂ < β₃,
   2β2₃
> ω2, в этом случае резонанса нет.

Подключение к цепи индуктивной катушки

Включение в ёмкостную цепь катушки индуктивности сразу превращает её в КК. В зависимости от схемы подключения, различают два вида КК 1 класса: параллельный и последовательный.

Параллельный КК

В данной схеме конденсатор С соединён с катушкой L параллельно. Если заряженный конденсатор присоединить к катушке, то энергия, запасённая в нём, передастся ей. Через индуктивную катушку L потечёт ток, вызывая электродвижущую силу (ЭДС).

ЭДС самоиндукции L будет направлена на снижение тока в параллельной цепи. Ток, созданный этой ЭДС, и ток разряда ёмкости сначала одинаковы, а их суммарное значение равно нулю. Конденсатор передаст свою энергию Ec в катушку и полностью разрядится. Индуктивность, получив максимальную магнитную энергию EL, начнёт заряжать ёмкость напряжением уже другой полярности. Когда вся энергия из индуктивности перейдёт в ёмкость, конденсатор будет полностью заряжен. В цепи появляются колебания, такой контур называется колебательным.

Параллельный КК

К сведению. Если бы в такой цепи отсутствовали потери, то такие колебания никогда не стали затухать. На практике, продолжительность процесса зависит от потери энергии. Чем больше потери, тем меньше длительность колебаний.

Параллельное соединение C и L вызывает резонанс токов. Это значит, что токи, проходящие через C и L, выше по значению, чем ток через сам контур, в конкретное число раз. Это число носит название добротности Q. Оба тока (емкостной и индуктивный) остаются внутри цепи, потому что они находятся в противофазе, и происходит их обоюдная компенсация.

Последовательный КК

В этой схеме соединены последовательно друг с другом катушка и конденсатор.

Последовательный КК

В такой схеме происходит resonance напряжений, R контура устремляется к нулю в случае образования резонансной частоты (fрез). Это позволяет использовать подобную систему резонанса в качестве фильтра.

Управление затуханием колебаний

Затухание колебаний в разных случаях может являться как нежелательным, так и желательным явлением. Если затухание колебаний нежелательно – необходимо, во-первых, уменьшить потери в системе, а во-вторых, обеспечить приток энергии для компенсации потерь.

Например, пружинный маятник часов должен колебаться постоянно, и затухание в нем необходимо исключить. Для этого ось маятника устанавливается на специальном подвесе, уменьшающем трение. А кроме того, в часах имеется взведенная пружина, энергия которой через анкерный механизм передается на маятник.

Незатухающие колебания в Природе весьма редки. Например, такими колебаниями являются движение планет, где потери очень невелики. Незатухающими колебаниями можно считать океанские приливы, энергия которых постоянно пополняется за счет обращения Луны вокруг Земли.

Во многих случаях колебания системы нежелательны. Тогда затухание стремятся сделать как можно сильнее. В систему вводятся специальные устройства, характеристики которых способствуют увеличению затухания колебаний – демпфирующие элементы для приборов, амортизаторы для автомобилей и механизмов.

Рис. 3. Амортизаторы.

Что мы узнали?

Если в колебательном процессе происходит потеря энергии, то колебания затухают. Если затухание колебаний нежелательно – необходимо уменьшать потери в системе и обеспечить подвод энергии для восполнения потерь. Если затухание желательно, то в систему вводятся специальные амортизирующие и демпфирующие элементы.

Затухающие колебания

В реальных системах всегда существуют некоторые силы сопротивления, препятствующие развитию колебательных процессов. Для установления характера колебательного движения в этом случае будем считать, что наряду с упругой или квазиупругой силой F_y в системе действует сила трения, пропорциональная скорости и направленная противоположно ей: F_тр = . Тогда учет влияния этих двух сил на характер движения приводит к следующему дифференциальному уравнению:

8)

Разделив левую и правую части уравнения (8) на m , обозначив r/m = 2b и сохранив обозначение к/m = w2 , приведем это уравнение к виду:

(9)

Решение этого уравнения имеет вид:

(10)

Формула (10) представляет собой смещение при затухающем колебании как функцию времени и параметров системы b и w. Коэффициент b = r/2m имеет смысл коэффициента затухания. Из формулы (10) видно, что в затухающих колебаниях амплитуда уменьшается со временем. Причем, колебания затухают тем быстрее, чем больше коэффициент затухания b. По сравнению с гармоническими колебаниями уменьшается также и циклическая частота колебаний w. Это уменьшение зависит от коэффициента затухания. Оказывается, что

(11)

Колебательный процесс может происходить лишь при условии: (w2 — b 2)>0, когда частота w в формуле (11) является действительной величиной . Если же затухание в системе слишком велико (w< b ) , то под корнем в формуле (11) оказывается отрицательная величина, — в этом случае движение не имеет периодического характера.

Графически затухающее колебания представлено на рис.2, где сплошной линией показана зависимость смещения от времени, а пунктирной — экспоненциальный закон убывания амплитуды.

Потери в колебательных процессах

Практически во всех колебательных процессах происходит периодический переход энергии из одного состояния в другое. Если колебания свободные, то энергия переходит, как правило, из внутренней или потенциальной энергии в кинетическую и обратно. При отсутствии потерь колебания тела происходят по гармоническому закону $x=Asin(\omega t+\varphi)$:

Рис. 1. График гармонических колебаний.

Если бы потерь энергии не было бы, такие колебания совершались бы вечно. Однако, переходы энергии всегда сопровождаются потерями. Маятник при движении испытывает трение о воздух, в результате неидеальности нити в ней также возникают неравномерные натяжения волокон, которые в результате трения нагреваются и немного разрушаются (перетираются).

Электромеханические резонаторы

Явление механического резонанса – это повышение амплитуды вынужденных колебательных перемещений. Электромеханический резонатор – это устройство, предназначенное для измерения сил механической природы и её производных. По техническому замыслу он подобен пьезоэлектрическому датчику, но с более высокой добротностью. Основными элементами такого устройства являются:

• пьезоэлектрическая пластина, имеющая форму спаренного камертона (параллельные одинаковые стержни с объединёнными между собой концами);
• электроды, присоединённые к концам пьезоэлектрического компонента.

Для понижения частоты служит сосредоточенная масса, которая с помощью перемычки подсоединяется к средним частям стержней.

Устройство электромеханического резонатора

На приведённой картинке отображены следующие зоны и элементы:

• 1 – стержни (сечение равномерно по всему стержню);
• 2 – объединённые элементы;
• 3 – зона размещения электродов;
• 4 – массы сосредоточения;
• 5 – перемычки;
• 6 – места для закрепления резонатора и подключения цепи для силоизмерения.

К сведению. Электромеханические резонаторы – это детали или устройства, объединяющие в себе свойства механического резонирования и пьезоэлектрических преобразований.

Затухающие колебания пружинного маятника

Модель пружинного маятника. B — демпфер. F — внешняя сила (в примере не присутствует).

Пусть имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

где Fc{\displaystyle F_{c}} — сила сопротивления, Fy{\displaystyle F_{y}} — сила упругости

или в дифференциальной форме

где k — коэффициент упругости в законе Гука, c — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:
ω=km,ζ=c2km.{\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k \over m}},\qquad \zeta ={c \over 2{\sqrt {km}}}.}

Величину ω{\displaystyle \omega _{0}} называют собственной частотой системы, ζ{\displaystyle \zeta } — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Сделав замену x=eλt{\displaystyle x=e^{\lambda t}}, получают характеристическое уравнение

Корни которого вычисляются по следующей формуле

Решения

Зависимость графиков колебаний от значения ζ{\displaystyle \zeta }.

В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность

Если ζ>1{\displaystyle \scriptstyle \zeta >1}, то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница апериодичности

Если ζ=1{\displaystyle \scriptstyle \zeta =1}, два действительных корня совпадают λ=−ω{\displaystyle \scriptstyle \lambda =-\omega _{0}}, и решением уравнения является:

В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание

Если ζ<1{\displaystyle \scriptstyle \zeta <1}, то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

Где ωd=ω1−ζ2{\displaystyle \scriptstyle \omega _{\mathrm {d} }=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}} — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c1{\displaystyle c_{1}} и c2{\displaystyle c_{2}} в каждом из случаев определяются из начальных условий:
{x()=ax˙()=b{\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}x(0)&=&a\\{\dot {x}}(0)&=&b\end{array}}\right.}