Справочник строителя

7.4. Операторные передаточные функции

Важную роль в методах анализа и синтеза электрических цепей при нулевых начальных условиях играют операторные передаточные функции, которые определяются как отношение изображения выходной реакции цепи к изображению входного воздействия. В соответствии с этим определением различают четыре вида передаточных функций:

где Н_и(р), H_i(p) имеют смысл операторных передаточных функций по напряжению и току; Н_L(р); Н_Y(р) —операторные передаточные сопротивление и проводимость соответственно.

Если в (7.40) заменить оператор р на jw, то получим уравнение комплексных передаточных функций Н(jw), широко используются при частотных методах анализа электрических цепей.

Зная передаточную функцию цепи Н(р), с помощью (7.40) нетрудно найти изображение реакции цепи, а следовательно, и саму реакцию на заданное воздействие.

Операторную передаточную функцию Н(р) для пассивной цепи можно представить как дробно-рациональную функцию с вещественными коэффициентами:

или в виде

где p₀₁, p₀₂, …, p_n — нули; p₁, p₂, …, p_m — полюсы передаточной функции; Н = а_n/b_m.

Степени полиномов числителя п и знаменателя т зависят от числа реактивных элементов пассивной цепи.

Заменив в (7.41) оператор р на jw, получим комплексную передаточную функцию цепи

где АЧХ цепи

ФЧХ цепи

Учитывая, что согласно (7.43) |H(jw)| является иррациональной, обычно при анализе и синтезе цепей имеют дело с квадратом АЧХ:

где коэффициенты с_k и d_k получаются путем объединения коэффициентов при одинаковых степенях переменной w.

Перечислим основные свойства операторных передаточных функций и квадрата АЧХ пассивных цепей:

1. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами. Вещественность коэффициентов объясняется тем, что они определяются элементами схемы.

2. Полюсы передаточной функции располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной р. На расположение нулей ограничений нет. Докажем это свойство на примере передаточной функции Н_и(р) = U₂(р)/U₁(р). Выберем входное воздействие u₁(t) = d(t) или в операторной форме U(р) = l. Изображение выходного напряжения U₂(р) = U₁(р)Н_и(р) в этом случае численно равно Н_и(р), т. е.

где w(p) — полином числителя передаточной функции; A₁, A₂, …, A_m, —коэффициенты разложения дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.

Перейдем от изображения U₂(p) к оригиналу u₂(t):

где в общем случае p_i = a_i + jw_i.

В пассивных и устойчивых активных четырехполюсниках колебания на выходе четырехполюсника после прекращения воздействия должны иметь затухающий характер. Это означает, что в (7.46) вещественные части полюсов p_i должны быть отрицательными (a_i < 0), т. е. полюсы должны находиться в левой полуплоскости переменной р.

3. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не превышают степеней полиномов знаменателей, т. е. п < т. Если бы это свойство не выполнялось, то на бесконечно больших частотах АЧХ принимала бы бесконечно большое значение (так как числитель рос бы с увеличением частоты быстрее знаменателя), т. е. цепь обладала бы бесконечным усилением, что противоречит физическому смыслу.

4. Квадрат АЧХ является четной рациональной функцией переменной w с вещественными коэффициентами. Это свойство с очевидностью вытекает из способа получения квадрата АЧХ по передаточной функции.

5. Квадрат АЧХ не может принимать отрицательных и бесконечно больших значений при w > 0. Неотрицательность следует из свойств квадрата модуля комплексной величины. Конечность значений АЧХ на реальных частотах объясняется так же, как и в свойстве 3.

Понятие о переходном процессе

Переходным процессом называется процесс перехода от одного режима работы ЭЦ к другому, возникающий в результате коммутации в цепи.

Коммутацией называется процесс замыкания или размыкания рубильников, выключателей, в результате которого происходит изменение параметров цепи, её конфигурации, подключение или отключение источников. Будем считать, что коммутация производится мгновенно в момент t = 0.

Изучение переходных процессов даёт возможность установить, как деформируются по форме и амплитуде сигналы при прохождении их через усилители, фильтры и другие устройства, позволяет выявить возможные превышения напряжения и токов на отдельных участках цепи, которые могут в десятки раз превышать их установившиеся значения.

Первый закон. В начальный момент времени после коммутации ток в индуктивности остаётся таким же, каким он был непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется.

(6.1)

Невозможность скачкообразного изменения тока следует из того, что в противном случае на индуктивности появилось бы бесконечно большое напряжение , что лишено физического смысла.

Второй закон. В начальный момент времени после коммутации напряжение на ёмкости остаётся таким же, каким было до коммутации, а затем плавно изменяется.

(6.2)

Невозможность скачкообразного изменения напряжения на ёмкости следует из того, что в противном случае через ёмкость проходил бы бесконечно большой ток , что также лишено физического смысла.

Следует отметить, что скачкообразно могут изменяться:

1) токи в сопротивлениях и емкостях;

2) напряжения на сопротивлениях и индуктивностях.

Значения токов в индуктивности и напряжение на ёмкости в момент коммутации называют независимыми начальными условиями.

Классический метод расчёта переходных процессов

Классический метод расчёта основан на решении неоднородных дифференциальных уравнений, выражающих законы Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений.

Например, переходной процесс в цепи, состоящей из последовательно соединённых R,L,С элементов при включении в неё источника ЭДС е(t) описывается уравнением:

или (6.3)

Решение уравнения (6.3) ищется в виде

,

где  — частное решение неоднородного уравнения

, (6.4)

 — общее решение однородного дифференциального уравнения

. (6.5)

Функция  зависит от вида воздействия и называется принужденной составляющей реакции цепи. Она может быть найдена любым методом расчёта установившегося процесса.

Функция  не зависит от внешнего воздействия, определяется характером цепи, её начальными условиями и называется свободной составляющей реакции цепи (свободная составляющая тока).

В зависимости от параметров элементов цепи и соответственно вида корней характеристического уравнения, общее решение однородного дифференциального уравнения, приведенного в примере, ищется в виде:

1) корни характеристического уравнения действительные

, (6.6)

где А₁, А₂ — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий; p₁, p₂ – корни характеристического уравнения.

В этом случае  изменяется по экспоненциальному закону (рис. 6.1а)

Рис. 6.1. Временная зависимость свободной составляющей тока в случае

а) действительных корней характеристического уравнения б) комплексно-сопряженных корней.

2) Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные p_1,2 = d±jw

Свободная составляющая изменяется по гармоническому закону с частотой w и начальной фазой y, с амплитудой уменьшающейся по экспоненциальному закону (рис. 6.1, б)

Начальные значения величин

Начальные значения (условия) — значения токов и напряжений в схеме при t=0.

Напряжения на индуктивных элементах и резисторах, а также токи, протекающие через конденсаторы и резисторы, могут изменяться скачком, то есть их значения после коммутации t=+{\displaystyle t=0_{+}} чаще всего оказываются не равными их значениям до коммутации t=−{\displaystyle t=0_{-}}.

Независимые начальные значения — это значения токов, протекающих через индуктивные элементы, и напряжений на конденсаторах, известные из докоммутационного режима.

Зависимые начальные значения — это значения остальных токов и напряжений при t=+{\displaystyle t=0_{+}} в послекоммутационной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа.

Возникновение переходных процессов и законы коммутации

Основы > Теоретические основы электротехники

Возникновение переходных процессов и законы коммутации
В электрических цепях могут происходить включения и отключения пассивных или активных ветвей, короткие замыкания отдельных участков, различного рода переключения, внезапные изменения параметров и т. д. В результате таких изменений, называемых часто коммутационными или просто коммутациями, которые будем считать происходящими мгновенно, в цепи возникают переходные процессы, заканчивающиеся спустя некоторое (теоретически бесконечно большое) время после коммутации. Если нет специального указания, будем считать, что начало отсчета времени переходного процесса t=0 начинается с момента коммутации. Этот момент времени непосредственно перед мгновенной коммутацией обозначим 0 — , а сразу после мгновенной коммутации 0 + .Сформулируем два закона коммутации.1. В индуктивном элементе ток (и магнитный поток) непосредственнопосле коммутации в момент, который и назван моментом коммутации t=0+ , или, короче, t=0, сохраняет значение, которое он имел непосредственно перед коммутацией, т. е. при t=0-, и дальше начинает изменяться именно с этого значения:Так, при включении ветви с катушкой, в которой не было тока, ток в этой ветви в момент коммутации равен нулю. Если для такой ветви допустить, что в момент коммутации ток изменится скачком, то напряжение на индуктивном элементе будет бесконечно большим, и в цепи не будет выполняться второй закон Кирхгофа.

Все страницы раздела «Классический метод расчета переходных процессов» на websor Законы коммутации Переходный, установившийся и свободный процессы Короткое замыкание rL-цепи Включение rL-цепи на постоянное напряжение Включение rL-цепи на синусоидальное напряжениеКороткое замыкание rС-цепи Включение rС-цепи на постоянное напряжение Включение rС-цепи на синусоидальное напряжение Переходные процессы в rLC-цепи Апериодическая разрядка конденсатора Предельный случай апериодической разрядки конденсатора Периодическая (колебательная) разрядка конденсатора Включение rLC-цепи на постоянное напряжение Общий случай расчета переходных процессов классическим методом Переходные процессы в цепях с взаимной индуктивностью Включение пассивного двухполюсника к источнику непрерывно меняющегося напряжения Включение пассивного двухполюсника к источнику напряжения произвольной формы Переходная и импульсная переходная характеристики Запись интеграла Дюамеля Метод переменных состояния Численные методы решения уравнений состояния Дискретные модели электрической цепи Переходные процессы при некорректных коммутациях Определение переходного процесса при воздействии периодических импульсов напряжения

2. На емкостном элементе напряжение (и заряд) сохраняет в момент коммутации то значение, которое оно имело непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяется, начиная именно с этого значения:
Так, при включении ветви с конденсатором, который не был заряжен, напряжение на конденсаторе в момент коммутации равно нулю. Если допустить, что в момент коммутации напряжение на емкостном элементе изменяется скачком, то ток будет бесконечно большим, и в цепи не будет выполняться опять-таки второй закон Кирхгофа.С энергетической точки зрения невозможность мгновенного изменения тока и напряжения объясняется невозможностью скачкообразного изменения запасенной в индуктивном и емкостном элементах энергии (энергии магнитного поля и энергии электрического поля ). Действительно, скачкообразное изменение энергии требует бесконечно больших мощностей, что лишено физического смысла, так как реальные источники питания не обладают бесконечно большой мощностью и не могут ее обеспечить.

В этом разделе рассматриваются переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами. Поэтому исключается из рассмотрения нелинейный элемент — электрическая дуга, которая может возникнуть при коммутациях. Чтобы исключить влияние дуги, будем считать, что длительность коммутации по сравнению с продолжительностью переходного процесса очень мала, т. е. теоретически мгновенная.Записанные выше законы коммутации для тока и напряжения в ветвях, содержащих реактивные элементы, при некоторых коммутациях не выполняются. Такие коммутации называют «некорректными» (приводят к требованию скачкообразных изменений токов и напряжений ). Расчет переходных процессов в таких цепях рассматривается в разделе.

Начальные значения величин

Начальные значения (условия) — значения токов и напряжений в схеме при t={\displaystyle t=0}.

Напряжения на индуктивных элементах и резисторах, а также токи, протекающие через конденсаторы и резисторы, могут изменяться скачком, то есть их значения после коммутации t=+{\displaystyle t=0_{+}} чаще всего оказываются не равными их значениям до коммутации t=−{\displaystyle t=0_{-}}.

Независимые начальные значения — это значения токов, протекающих через индуктивные элементы, и напряжений на конденсаторах, известные из докоммутационного режима.

Зависимые начальные значения — это значения остальных токов и напряжений при t=+{\displaystyle t=0_{+}} в послекоммутационной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа.

9.4. Спектры типовых сигналов

Определим спектры наиболее распространенных типов электрических сигналов.

Единичная функция задается уравнением (7.19) (см. рис. 7.2, а). Строго говоря, функция (7.19) не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, поэтому воспользуемся следующим приемом: умножим 1(t) на «гасящий» множитель е–ct(с = const). При этом можно использовать прямое преобразование Фурье (9.6):

Преобразование F(jw, c) носит название обобщенного преобразования Фурье. Для получения спектра единичной функции перейдем к пределу:

Из уравнения (9.38) получаем амплитудный |F(jw)| = 1/w (рис. 9.4, а) и фазовый спектр функции j(w) (рис. 9.4, б): j(w) = = —p/2, т. е. амплитудный спектр при w = 0 обращается в бесконечность, что свидетельствует о наличии в исходной функции 1(t) скачка при t = 0 (см. рис. 7.2, а). Для образования этого скачка в соответствии с (9.38) при t = 0 осуществляется суммирование бесконечно большого числа синусоидальных составляющих. Спектр (9.38) может быть получен и с помощью изображения единичной функции (7.20):

Единичная импульсная функция. Функция d(t) задается аналитически условиями (7.21). Для нахождения спектра d-функции воспользуемся прямым преобразованием Фурье (9.6), которое с учетом (9.8)—(9.10) можно записать в виде

Так как второе слагаемое равно нулю, а первое — единице вследствие свойств (7.21)—(7.23), то окончательно получим

Таким образом, d-функция имеет равномерный амплитудный и нулевой фазовый спектры. Равенство нулю на всех частотах фазового спектра означает, что все гармонические составляющие d-функции, суммируясь с нулевыми начальными фазами, образуют при t = 0 пик бесконечно большого значения.

Следует отметить, что сдвиг d-функции на время t приводит согласно свойствам преобразования Фурье к спектру , т. е. амплитудный спектр функции d(t—t) остается прежним, а фазовый изменяется пропорционально wt.

Из равенства (9.39) согласно обратному преобразованию Фурье (9.7) следует, что

Учитывая условие взаимозаменяемости параметров t и w, последнее выражение можно переписать в следующем виде:

Уравнения (9.40) и (9.41) широко используются в теории сигналов и цепей.

Спектр постоянной составляющей функции a/2 = 1/2 с учетом (9.41) определяется уравнением

Таким образом, спектр постоянной составляющей равен нулю на всех частотах, кроме w = 0, где F(jw) обращается в бесконечность, то есть имеем на частоте w = 0 дискретную составляющую частоты в форме d-функции.

Спектр гармонического колебания. Проиллюстрируем методику использования прямого преобразования Фурье при определении спектра гармонического колебания

Преобразование (9.6) для функции (9.43) имеет вид

Формально функция (9.43) не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, так как имеет показатель роста с = 0. По этому для вычисления интеграла (9.44) воспользуемся формулой Эйлера (3.18) и уравнением (9.41):

т. е. гармоническое колебание имеет дискретный спектр, состоящий из двух спектральных линий на частотах ±w.

Спектр одиночного прямоугольного импульса (см. рис. 9.2) можно найти как непосредственно из прямого преобразования Фурье (9.6), так и путем предельного перехода при q  ¥ (T ¥) в разложении (5.27). В результате получим

На рис. 9.3 изображен спектр одиночного импульса. Сравнение рис. 9.3 и рис. 9.4 показывает, что по своей форме спектр одиночного импульса совпадает с огибающей дискретного спектра последовательности периодических импульсов, однако спектр одиночного импульса является сплошным.

Из условия взаимосвязи между частотными и временными характеристиками сигнала следует, что сигнал с ограниченным по частоте ±w спектром прямоугольной формы (рис. 9.5, а) имеет бесконечную протяженность и форму, аналогичную спектру прямоугольного импульса (рис. 9.5, б).

Спектр радиоимпульса (рис. 9.6) можно найти как произведение видеоимпульса прямоугольной формы (рис. 9.7) и гармонического колебания (9.43). Тогда, воспользовавшись теоремой свертки (9.30), получим:

На рис. 9.8 показан вид спектра радиоимпульса.

Аналогичным образом можно найти спектр сигналов и более сложной формы.

Пример. Найти спектр экспоненциального импульса

В соответствии с прямым преобразованием (9.6) получаем

где — амплитудный (рис. 9.9, а) и —фазовый (рис. 9.9, б) спектры сигнала.

Пример 2. Определить спектр затухающего колебания (рис. 9.10)

Согласно (9.6) находим

Отсюда находим спектры:

амплитудный (рис. 9.11, а)

и фазовый (рис. 9.11, б)

В таблице 9.1 приведены спектры некоторых наиболее распространенных сигналов.

Вид кривых тока и напряжений на элементах цепи

При размыкании цепи с соленоидом, в которой отсутствует разветвление, изменение силы тока протекает более сложным образом. При отключении контакты рубильника расходятся и в цепь последовательно включается сопротивление воздушного промежутка между удаляющимися друг от друга контактами рубильника. Если предположить, что проводимость воздуха весьма мала, то сила тока в такой цепи должна почти мгновенно уменьшиться до нуля, при этом в контуре возникает большая э. д. с. самоиндукции. Она может оказаться во много раз больше, чем э. д. с. источника тока, на которую рассчитана цепь, и это может привести к аварийной ситуации (лампочки в квартире иногда перегорают после выключения цепи с большой индуктивностью).

При размыкании цепи э. д. с. самоиндукции часто создает между расходящимися контактами рубильника настолько сильное электрическое поле, что происходит ионизация воздуха, возможно даже вырывание свободных электронов с поверхности контактов (явление автоэмиссии); в воздушном промежутке возникает искровой или дуговой разряд, разрушающий контакты рубильника.

Таким образом, газовый промежуток между расходящимися контактами рубильника при отключении цепи обладает проводимостью и сила тока в цепи уменьшается до нуля не мгновенно. Сопротивление газового промежутка между контактами выключающего устройства нелинейно; поэтому детальный анализ переходного процесса в этом случае оказывается достаточно сложным.

При размыкании неразветвленной цепи большой мощности со значительной силой тока (сотни и тысячи ампер и более), содержащей большие индуктивности (электродвигатели, трансформаторы), принимают специальные меры против образования дугового разряда между контактами рубильника.

Для гашения дуги применяют масляные выключатели, в которых контакты находятся в жидком масле, имеющем малую проводимость и гасящем дугу, выключатели нагрузки, вакуумные выключатели.

Дополнительно по теме

• Возникновение переходных процессов и законы коммутации
• Переходный, установившийся и свободный процессы
• Короткое замыкание rL-цепи
• Включение rL-цепи на постоянное напряжение
• Включение rL-цепи на синусоидальное напряжение
• Короткое замыкание rС-цепи
• Включение rC-цепи на постоянное напряжение
• Включение rC-цепи на синусоидальное напряжение
• Переходные процессы в rС-цепи
• Апериодическая разрядка конденсатора
• Предельный случай апериодической разрядки конденсатора
• Периодическая (колебательная) разрядка конденсатора
• Включение rLC-цепи на постоянное напряжение
• Общий случай расчета переходных процессов классическим методом
• Пример классического метода
• Переходные процессы в цепях с взаимной индуктивностью
• Включение пассивного двухполюсника к источнику непрерывно меняющегося напряжения
• Включение пассивного двухполюсника к источнику напряжения произвольной формы
• Переходная и импульсная переходная характеристики
• Запись интеграла Дюамеля при помощи импульсной переходной характеристики
• Метод переменных состояния
• Численные методы решения уравнений состояния
• Дискретные модели электрической цепи
• Переходные процессы при некорректных коммутациях
• Определение переходного процесса при воздействии периодических импульсов напряжения

ПОНЯТИЕ О ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССАХ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Установившимися называются процессы, при которых напряжения и токи в цепи являются неизменными (постоянными) или синусоидальными периодическими. Переходным называют процесс в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. Такой процесс возникает, например, при резком изменении сопротивления цепи. Если в электрической цепи имеются только источники ЭДС или тока и активные сопротивления, то переход от одного установившегося режима к другому происходит мгновенно, т. е. без переходного процесса. Возникновение переходного процесса объясняется тем, что в индуктивностях и емкостях цепи энергия не может измениться мгновенно, т. е. скачком. Для того чтобы в цепи с индуктивностью или емкостью токи или напряжения перешли от одного установившегося значения к другому, требуется время.

Длительность переходного процесса теоретически равна бесконечности. В практических расчетах с погрешностью до 3% полагают эту длительность равной Зτ, где τ — постоянная времени цепи. В расчетах с погрешностью до 1 % длительность переходного процесса считают равной 5τ.

В основу расчетов переходных процессов положены законы коммутации.

Первый закон коммутации: ток в цепи с индуктивностью не может измениться скачком.

Второй закон коммутации: напряжение на емкости не может измениться скачком.

Физический смысл первого закона коммутации заключается в том, что запас энергии в индуктивности определяется током в ней, т. е.

W_L = Li2/2.

Так как энергия не может изменяться скачком, то, следовательно, и ток в индуктивности не изменяется скачком.

Запас энергии в емкости определяется напряжением на ней, т. е.

W_C = Cu2/2.

Так как энергия не может измениться скачком, то, следовательно, напряжение на емкости не изменяется скачком.

Рассмотрим простейший пример переходного процесса: включение RL-цепи на постоянное напряжение U с помощью ключа S (рис. 1а).

Рис. 1. Пример переходного процесса

В этом случае до замыкания ключа ток в цепи отсутствует (I_∞1=0), т. е. первый (исходный) установившийся режим заключается в равенстве тока нулю. Второй установившийся режим заключается в прохождении по цепи тока I_∞2= U/R (индуктивность для постоянного тока не представляет сопротивления). В переходном процессе ток i в цепи плавно возрастает по экспоненциальному закону от нулевого значения (первый режим) до значения U/R (второй режим).

Ток в цепи называется переходным и описывается выражением

Можно представить, что ток в цепи состоит из двух составляющих (рис. 1б):

i_пр+i_св

где i_пр = I_∞2 —принужденный; i_CB = I_∞2e-tTa — свободный.

Здесь е = 2,72… — основание натуральных логарифмов; T_a=L/R —постоянная времени цепи.

На рис. 1б приведены временные диаграммы переходного тока и его принужденной и свободной составляющих.

В электрических сетях при КЗ Т_а = 0,3 + 0,01 с, в распределительных сетях Т_а=0,05 с.

Переходные процессы в сложных электрических цепях при включении на постоянное или синусоидальное питающее напряжение рассчитывают с помощью операционного исчисления, а при включении на напряжение произвольной формы — при помощи интеграла Дюамеля.

Процессы в цепях при прохождении по ним коротких импульсов (длительностью в единицы — сотни микросекунд) называются волновыми. Волновые процессы возникают, например, при ударах молнии в линию, а также при коммутациях (включениях и отключениях) электрических цепей с индуктивными или емкостными элементами. Опасность волновых процессов заключается в возможности появления во время их существования импульсных перенапряжений, не допустимых для изоляции электротехнического оборудования. С целью защиты оборудования от таких перенапряжений устанавливают специальные устройства — разрядники и ограничители перенапряжений (ОПН).

Общие понятия о параллельной работе электрических машин

Под параллельной работой нескольких трансформаторов понимается такая работа, когда их вторичные обмотки подключены к общей нагрузки, а первичные обмотки получают питание от одной сети. Параллельная работа находит широкое применение в электрических системах. При параллельной трансформатора следует стремится к тому, что бы каждый из них был нагружен токами, пропорциональными их номинальным мощностям. Для этого необходимо, что бы трансформаторы, включаемые на параллельную работу, имели равные первичные и вторичные номинальные напряжения, а как следствия и одинаковые коэффициенты трансформации, одинаковые группы соединения обмоток, одинаковые напряжения КЗ , ΔPкз→min.

Параллельная работа генераторов постоянного тока

Под параллельной работой понимается работа нескольких генераторов на общую нагрузку. Необходимость в параллельной работе возникает при переменном характере нагрузки, когда она меняется в течении суток или времени года, и для повышения надежности питания.