Колебательный контур

Практическое применение

Резонансные контуры широко используются как полосовые и режекторные фильтры — в усилителях, радиоприёмниках, а также в различных устройствах автоматики. Например, на самолётах Ил-62М, Ил-76 и установлены блоки регулирования частоты БРЧ-62БМ, в главном элементе которых — блоке измерения частоты БИЧ-1 — имеются два колебательных контура, настроенных на частоты 760 и 840 Гц. На них поступает напряжение с номинальной частотой 800 Гц от генератора (сам генератор при этом выдаёт 400 Гц). При отклонении частоты от номинальной реактивное сопротивление одного из контуров становится больше, чем другого, и БРЧ выдаёт на привод постоянных оборотов генератора управляющий сигнал для коррекции оборотов генератора. Если частота поднялась выше номинальной — сопротивление второго контура станет меньше, чем первого, и БРЧ выдаст сигнал на уменьшение оборотов генератора, если частота упала — то наоборот. Так поддерживается постоянство частоты напряжения генератора при изменении оборотов двигателя.

Происхождение гармоник.

Гармоники являются следствием работы электрооборудования с нелинейными характеристиками. Основной вклад в формирование гармоник вносит следующее оборудование:

1. Силовое электронное оборудование: частотные привода переменного тока, привода постоянного тока, источники бесперебойного питания UPS, выпрямители (шестифазные, по схеме Ларионова), конвертеры, тиристорные системы, диодные мосты, плавильные печи высокой частоты, компьютеры;

2. Сварочное, дуговое оборудование: дуговые плавильные печи, сварочные автоматы, освещение (ДРЛ-ртутные лампы, люминесцентные лампы);

1. Насыщаемые устройства: Трансформаторы, двигатели, генераторы, и т.д. Гармонические амплитуды на этих устройствах являются обычно незначительна по сравнению с элементами силовой электроники и сварочным оборудованием, при условии что насыщение не происходит.Сварочное, дуговое оборудование: дуговые плавильные печи, сварочные автоматы, освещение (ДРЛ-ртутные лампы, люминесцентные лампы).

Сложные формы волны

Обратите внимание, что красные формы волны, приведенные выше, являются фактическими формами сигналов, видимыми нагрузкой, из-за гармонического содержания, добавляемого к основной частоте. Основной сигнал также можно назвать сигналом 1й гармоники. Поэтому вторая гармоника имеет частоту, в два раза превышающую частоту основной, третья гармоника имеет частоту, в три раза превышающую основную, а четвертая гармоника имеет частоту, в четыре раза превышающую основную, как показано в левом столбце

Основной сигнал также можно назвать сигналом 1й гармоники. Поэтому вторая гармоника имеет частоту, в два раза превышающую частоту основной, третья гармоника имеет частоту, в три раза превышающую основную, а четвертая гармоника имеет частоту, в четыре раза превышающую основную, как показано в левом столбце.

Правый столбец показывает сложную форму волны, сгенерированную в результате эффекта между добавлением основной формы волны и форм гармонических колебаний на разных частотах гармоник

Обратите внимание, что форма результирующего сложного сигнала будет зависеть не только от количества и амплитуды присутствующих частот гармоник, но также и от соотношения фаз между основной или базовой частотой и отдельными частотами гармоник

Мы можем видеть, что сложная волна состоит из основной формы волны плюс гармоники, каждая из которых имеет свое пиковое значение и фазовый угол. Например, если основная частота задана как: E = V _MAX (2πƒt) или V _MAX (ωt) , значения гармоник будут заданы:

Для второй гармоники:

Е ₂  = V _2max (2 * 2πƒt) = V _2max (4πƒt) = V _2max (2ωt)

Для третьей гармоники:

E ₃  = V _3max (3 * 2πƒt) = V _3max (6πƒt), = V _3max (3ωt)

Для четвертой гармоники:

E ₄  = V _4max (4 * 2πƒt) = V _4max (8πƒt), = V _4max (4ωt)

и так далее.

Тогда уравнение, данное для значения сложной формы волны, будет иметь вид:

Гармоники обычно классифицируются по их названию и частоте, например, 2- й гармонике основной частоты при 100 Гц, а также по их последовательности. Гармоническая последовательность относится к векторному вращению гармонических напряжений и токов по отношению к основной форме волны в сбалансированной 3-фазной 4-проводной системе.

Гармоника прямой последовательности (4-й, 7-й, 10-й,…) будет вращаться в том же направлении (вперед), что и основная частота. Тогда как гармоника обратной последовательности (2-й, 5-й, 8-й,…) вращается в противоположном направлении (обратном направлении) основной частоты.

Как правило, гармоники прямой последовательности нежелательны, поскольку они ответственны за перегрев проводников, линий электропередач и трансформаторов из-за добавления сигналов.

С другой стороны, гармоники обратной последовательности циркулируют между фазами, создавая дополнительные проблемы с двигателями, поскольку противоположное вращение вектора ослабляет вращательное магнитное поле, необходимое для двигателей, и особенно асинхронных двигателей, заставляя их создавать меньший механический крутящий момент.

Другой набор специальных гармоник, называемых «тройками» (кратными трем), имеют нулевую последовательность вращения. Тройки — это кратные третьей гармоники (3-й, 6-й, 9-й, …) и т.д., отсюда и их название, и поэтому они смещены на ноль градусов. Гармоники нулевой последовательности циркулируют между фазой и нейтралью или землей.

В отличие от гармонических токов прямой и обратной последовательностей, которые взаимно компенсируют друг друга, гармоники третьего порядка не компенсируются. Вместо этого сложите арифметически в общем нейтральном проводе, который подвергается воздействию токов всех трех фаз.

В результате амплитуда тока в нейтральном проводе из-за этих тройных гармоник может быть в 3 раза больше амплитуды фазового тока на основной частоте, что делает его менее эффективным и перегретым.

Затем мы можем суммировать эффекты последовательности, кратные основной частоте 50 Гц:

Обратите внимание, что та же самая гармоническая последовательность также применяется к основным сигналам 60 Гц

Вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс

Вынужденными электромагнитными колебаниями называют периодические изменения заряда, силы тока и напряжения в колебательном контуре, происходящие под действием периодически изменяющейся синусоидальной (переменной) ЭДС от внешнего источника:

где ​\( \varepsilon \)​ – мгновенное значение ЭДС, \( \varepsilon_m \) – амплитудное значение ЭДС.

При этом к контуру подводится энергия, необходимая для компенсации потерь энергии в контуре из-за наличия сопротивления.

Резонанс в электрической цепи – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний силы тока в колебательном контуре с малым активным сопротивлением при совпадении частоты вынужденных колебаний внешней ЭДС с частотой собственных колебаний в контуре.

Емкостное и индуктивное сопротивления по-разному изменяются в зависимости от частоты. С увеличением частоты растет индуктивное сопротивление, а емкостное уменьшается. С уменьшением частоты растет емкостное сопротивление и уменьшается индуктивное сопротивление. Кроме того, колебания напряжения на конденсаторе и катушке имеют разный сдвиг фаз по отношению к колебаниям силы тока: для катушки колебания напряжения и силы тока имеют сдвиг фаз ​\( \varphi_L=-\pi/2 \)​, а на конденсаторе \( \varphi_C=\pi/2 \)​. Это означает, что когда растет энергия магнитного поля катушки, то энергия электрического поля конденсатора убывает, и наоборот. При резонансной частоте индуктивное и емкостное сопротивления компенсируют друг друга и цепь обладает только активным сопротивлением. При резонансе выполняется условие:

Резонансная частота вычисляется по формуле:

Важно! Резонансная частота не зависит от активного сопротивления ​\( R \)​. Но чем меньше активное сопротивление цепи, тем ярче выражен резонанс

Чем меньше потери энергии в цепи, тем сильнее выражен резонанс. Если активное сопротивление очень мало ​\( (R\to0) \)​, то резонансное значение силы тока неограниченно возрастает. С увеличением сопротивления максимальное значение силы тока уменьшается, и при больших значениях сопротивления резонанс не наблюдается.

График зависимости амплитуды силы тока от частоты называется резонансной кривой. Резонансная кривая имеет больший максимум в цепи с меньшим активным сопротивлением.

Одновременно с ростом силы тока при резонансе резко возрастают напряжения на конденсаторе и катушке. Эти напряжения становятся одинаковыми и во много раз больше внешнего напряжения. Колебания напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе всегда происходят в противофазе. При резонансе амплитуды этих напряжений одинаковы и они компенсируют друг друга. Падение напряжения происходит только на активном сопротивлении.

При резонансе возникают наилучшие условия для поступления энергии от источника напряжения в цепь: при резонансе колебания напряжения в цепи совпадают по фазе с колебаниями силы тока. Установление колебаний происходит постепенно. Чем меньше сопротивление, тем больше времени требуется для достижения максимального значения силы тока за счет энергии, поступающей от источника.

Явление резонанса используется в радиосвязи. Каждая передающая станция работает на определенной частоте. С приемной антенной индуктивно связан колебательный контур. При приеме сигнала в катушке возникают переменные ЭДС. С помощью конденсатора переменной емкости добиваются совпадения частоты контура с частотой принимаемых колебаний. Из колебаний всевозможных частот, возбужденных в антенне, контур выделяет колебания, равные его собственной частоте.

Резонанс может привести к перегреву проводов и аварии, если цепь не рассчитана на работу в условиях резонанса.

Добротность контура

С течением времени амплитуды напряжения и тока в контуре уменьшаются — электромагнитные  колебания  затухают,   подобно тому, как затухают колебания маятника или струны (рис. 48, 49).

Затухание электромагнитных колебаний в контуре связано с тем, что всякий раз при «перекачивании» энергии из конденсатора в катушку и обратно часть этой энергии безвозвратно теряется. Основные потери энергии в контуре — это потери в проводе катушки, в соединительных проводах, в изоляции проводов, потери в диэлектрике конденсатора и каркасе катушки, а также на излучение электромагнитных волн.

Таким образом, если мы хотим нарисовать реальную схему контура, то, помимо контурной катушки _Lк и конденсатора С_к, мы должны включить в нее и сопротивления, которые будут характеризовать потери энергии (лист 76). В действительности никаких сопротивлений (имеется в виду отдельная деталь) в контуре, конечно, нет. Но потери энергии в катушке, конденсаторе и т. д. существуют реально. Для того чтобы не забывать об этом, мы и рисуем на схеме не только катушку L_к и конденсатор С_к, но и условные сопротивления, которые отображают фактически существующие потери энергии.

Основные виды потерь — потери в катушке, потери на излучение и другие — условно характеризуются сопротивлением R_к, включенным последовательно, с L_к и С_к (лист 76, упрощенные схемы). Во время колебаний по сопротивлению R_к проходит весь контурный ток и, чем больше R_к, тем больше энергии на нем теряется.

Для учета некоторых видов потерь (потери в конденсаторе, в каркасе и др.) иногда приходится считать, что в контуре имеется еще одно сопротивление R_ш, шунтирующее (лист 32) конденсатор С_к или катушку L_к. Во время разряда конденсатора ток разветвляется: часть его проходит через катушку и создает там запасы энергии в виде магнитного поля. Другая часть разрядного тока проходит через сопротивление R_ш и создает там безвозвратные потери энергии. Чем меньше тем больший ток через него проходит, тем больше энергии теряется на этом сопротивлении.

Таким образом, для того чтобы уменьшить потери в контуре, нужно стремиться к тому,чтобы сопротивление R_к было как можно меньше, а сопротивление R_ш как можно больше (рис 50, 51). Сопротивления R_к и R_ш на схемах радиоаппаратуры не изображаются, так как они не представляют собой самостоятельных деталей. Однако эти сопротивления реально существуют и, потребляя энергию, приводят к затуханию колебаний.

Для характеристики затухания колебаний существует специальная величина,  называемая добротностью  (лист 77).

Добротность обозначается буквой «Q» и представляет собой относительное число, показывающее, во сколько раз энергия, запасаемая в конденсаторе или катушке за четверть периода, больше, чем энергия, теряемая на сопротивлениях R_к и R_ш за то же время. Совершенно очевидно, что, чем выше добротность Q, тем медленнее будут затухать колебания в контуре (лист 78). Добротность реальных колебательных контуров обычно лежит в пределах от 30 (в контуре каждый раз теряется одна тридцатая часть, то есть около 3 % перекачиваемой энергии) до 300 (потери около 0,3% от запасенной энергии). Добротность специальных колебательных систем (кварцевые пластины, объемные резонаторы) достигает нескольких десятков и даже сотен тысяч.

Ухудшить добротность контура (иногда возникает и такая необходимость) можно очень просто: достаточно увеличить потери в контуре, увеличив Rк или уменьшив R_ш. Для этого можно, например, включить в контур обычные сопротивления.

Читать дальше — Борьба за добротность

Принцип работы последовательного колебательного контура

Генератор частоты и последовательный колебательный контур

Давайте проведем классический эксперимент, который есть в каждом учебнике по электронике. Для этого соберем вот такую схему:

Генератор (Ген)у нас будет выдавать синус.

Для того, чтобы снять осциллограмму силы тока через последовательный колебательный контур, мы подключим в схему шунтовый резистор с малым сопротивлением в 0,5 Ом и с него уже будем снимать напряжение. То есть в данном случае мы шунт используем для наблюдения силы тока в цепи.

А вот и сама схема в реальности:

Слева-направо: шунтовый резистор, катушка индуктивности и конденсатор. Как вы уже поняли, сопротивление R – это суммарное сопротивление потерь катушки и конденсатора, так как нет идеальных радиоэлементов. Оно “прячется” внутри катушки и конденсатора, поэтому в реальной схеме отдельным радиоэлементом мы его не увидим.

Теперь нам осталось подцепить эту схему к генератору частоты и осциллографу, и прогнать по некоторым частотам, снимая осциллограмму с шунта U_ш , а также снимая осциллограмму с самого генератора U_ГЕН.

С шунта мы будем снимать напряжение, которое у нас отображает поведение силы тока в цепи, а с генератора собственно сам сигнал генератора. Давайте прогоним нашу схемку по некоторым частотам и глянем что есть что.

Влияние частоты генератора на сопротивление колебательного контура

В схеме я взял конденсатор на 1мкФ и катушку индуктивности на 1 мГн. На генераторе настраиваю синус размахом в 4 Вольта. Вспоминаем правило: если в цепи соединение радиоэлементов идет последовательно друг за другом, значит, через них течет одинаковая сила тока.

Красная осциллограмма – это напряжение с генератора частоты, а желтая осциллограмма – отображение силы тока через напряжение на шунтовом резисторе.

Частота 200 Герц с копейками:

Как мы видим, при такой частоте ток в этой цепи есть, но очень слабый

Добавляем частоту. 600  Герц с копейками

Здесь мы уже отчетливо видим, что сила тока возросла, а также видим, что осциллограмма силы тока опережает напряжение. Попахивает реактивным сопротивлением конденсатора.

Добавляем частоту. 2 Килогерца

Сила тока стала еще больше.

3 Килогерца

Сила тока увеличилась. Заметьте также, что сдвиг фаз стал уменьшаться.

4,25 Килогерц

Осциллограммы почти уже сливаются в одну. Сдвиг фаз между напряжением и силой тока становится почти незаметным.

И вот на какой-то частоте у нас сила тока стала максимальной, а сдвиг фаз стал равен нулю. Запомните этот момент. Для нас он будет очень важен.

Ну а давайте далее будем увеличивать частоту. Смотрим, что получается в итоге.

Еще совсем недавно ток опережал напряжение, а сейчас уже стал запаздывать после того, как выровнялся с ним по фазе. Так как ток уже отстает от напряжения, здесь уже попахивает реактивным сопротивлением катушки индуктивности.

Увеличиваем частоту еще больше

Сила тока начинает падать, а сдвиг фаз увеличивается.

22 Килогерца

74 Килогерца

Как вы видите, с увеличением частоты, сдвиг приближается к 90 градусов, а сила тока становится все меньше и меньше.

Приборы с функцией RMS

Говоря о значениях переменного тока, мы обычно имеем в виду среднюю эффективную выделяемую теплоту или среднеквадратическое (RMS) значение тока. Данное значение эквивалентно значению постоянного тока, действие которого вызвало бы такой же тепловой эффект, что и действие измеряемого переменного тока. Самый распространенный способ измерения такого «среднеквадратического» значения тока при помощи измерительного прибора заключается в выпрямлении переменного тока, определении среднего значения выпрямленного сигнала и умножении результата на коэффициент 1,1. Данный коэффициент учитывает постоянную величину, равную соотношению между средним и среднеквадратическим значениями идеальной синусоиды.

Существует так же способ измерения по пиковому (амплитудному) значению. Если измеряемый сигнал имеет форму правильной синусоиды, тогда действительное значение имеет величину равную 0,707 от пикового значения.

Однако, при отклонении синусоидальной кривой от идеальной формы данные коэффициенты перестают действовать. По этой причине измерители с усредненными показаниями зачастую дают неверные результаты при измерении токов в современных силовых сетях.

Всех вышеперечисленных недостатков лишен способ измерения сигналов RMS (root mean square power — среднеквадратичное значение).

Таблица. Достоверность результата измерения в зависимости от формы измеряемого сигнала (ориентировочно).

Формула — томсон

Формула Томсона показывает, что период свободных электромагнитных колебаний в электрическом контуре прямо пропорционален корню квадратному из значений индуктивности катушки и электроемкости конденсатора.
 

Формула Томсона, как видно из предыдущего, дает возможность установить зависимость произведения растворимости каждого трудно растворимого вещества от размеров кристаллов, в контакте с которыми находится пересыщенный раствор, а эти сведения помогают, в свою очередь, предугадать наиболее вероятный характер выделения осадка из гомогенного раствора.
 

Формула Томсона легко выводится из равенства индуктивного и емкостного сопротивлений.
 

Формула Томсона (11.33) с указанным физическим смыслом константы k позволяет сделать чрезвычайно важный вывод ( так как она применима и к протону), что интенсивность рассеяния от протона, обратно пропорциональная квадрату массы, в 18402 раз слабее, чем от электрона: это рассеяние ничтожно мало и значит расе е я н и е рентгеновых лучей осуществляют только электроны.
 

Формула Томсона позволяет также получить правильную грубую зависимость сечений возбуждения атомов от квантовых чисел состояний.
 

Формула Томсона (3.3) предсказывает универсальное понижение температуры плавления частиц, обратно пропорциональное их радиусу. Применительно к системе частица-расплав формула (3.3) противоречит исходному допущению о равновесии твердой частицы с окружающей средой, так как согласно этой формуле при нагревании системы малая частица должна расплавиться раньше, чем появится расплав массивного твердого тела. Иначе говоря, любая частица конечного размера должна иметь более низкую температуру плавления, чем массивное тело; ясно, что в этом случае реально наблюдаемое равновесие кристалла с жидкостью становится невозможным. Несостоятельность формулы Томсона обусловлена сделанным при ее выводе предположением о постоянстве объема системы твердое тело-расплав и независимости друг от друга изменений объема и массы фаз.
 

Сравнивая формулу Томсона с формулой ( 1) задачи 3.22, находим, что формула Томсона является частным случаем, отвечающим ионизации атома электронным ударом в классическом приближении.
 

Сравнивая формулу Томсона с формулой, определяющей период гармонических колебаний упругого маятника ( см. § 9) Т2л У m / k, мы видим, что масса m тела играет такую же роль, как коэффициент индуктивности L, а жесткость k пружины — такую же роль, как величина, обратная емкости ( 1 / Q.
 

Исходя из формулы Томсона для рассеяния рентгеновских лучей, оценить порядок величины эффективного сечения одного электрона.
 

Экспериментальная проверка формулы Томсона показала, что для легких элементов она довольно хорошо оправдывается.
 

Таким образом, формула Томсона, определяющая собственную частоту колебаний в контуре, к вибратору неприменима.
 

Выражение (5.30) является формулой Томсона, определяющей зависимость собственной частоты колебаний контура / о от параметров L и С. Вследствие потерь колебания в контуре будут затухать, причем время затухания зависит от значения возникших потерь.
 

Это соотношение называется формулой Томсона.
 

Эту формулу называют формулой Томсона.